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Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (2)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (2)

Herzlich willkommen zum zweiten Video, in denen ich dir zeige, wie quadratische Gleichungen mithilfe des Distributivgesetzes (Ausklammern) gelöst werden können. Im ersten Video hast du bereits gelernt, dass du diese Methode dann anwenden kannst, wenn der Term aus zwei Summanden besteht und beide die Variable x beinhalten. So ist das zum Beispiel bei diesem Term: 20x - 3x² = 0. Im folgenden Video werde ich dir nun demonstrieren wie anhand dieses Beispiels durch Ausklammern die quadratische Gleichung gelöst wird. Im Anschluss kannst klick dich weiter zum nächsten Video zum Thema.

Transkript Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (2)

Hallo! Hier kommt eine quadratische Gleichung, die du durch Ausklammern des x's lösen kannst. Die Gleichung lautet 20x-3x2=0. Nun, wir haben 2 Summanden, wir können das Distributivgesetz anwenden, wir können x ausklammern. Und das möchte ich jetzt mal vormachen. Mein Distributivgesetz kann ich so rum anwenden, und zwar steht hier 20×x-3x×x. -3x2 ist ja das Gleiche wie -3x×x. So, und dann geht dieser Term hier über in den hier. Ich kann dann nämlich jetzt 20 hineinschreiben hier und 3x. Das steht in Klammern, ×x. Bitte schön. Und das bedeutet also, das x hier auszuklammern und ich schreibe den Term ab: (20-3x)×x=0. Und jetzt kommt wieder diese entscheidende Argumentation: Hier handelt es sich bei der linken Seite dieser Gleichung um ein Produkt. Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, es können auch beide 0 werden, ist egal, aber mindestens einer muss =0 sein. Das bedeutet also entweder ist hier das x=0 oder die Klammer. Das hier, das Oder-Zeichen, bedeutet die Klammer kann auch 0 sein, das heißt (20-3x) muss =0 sein. Und das kann man umformen, ist eine einfache lineare Gleichung. Ich kann hier auf beiden Seiten +3x rechnen und dann durch 3 teilen. Dann steht wieder auf der linken Seite hier 20/3=x und den Rest schreib ich ab, oder x=0 und schon sind die beiden Lösungen zu sehen. 20/3 ist die eine Lösung der Gleichung, 0 ist die andere Lösung der Gleichung. Das muss man nicht weiter als Dezimalzahl schreiben, wollt ich nur sagen, Brüche sind auch ganz normale Zahlen, das darf man ruhig so stehen lassen, wenn nichts anderes vorher ausdrücklich gesagt wurde. Und du siehst glaube ich, dass dieses Verfahren, in dem man das x ausklammert, wesentlich einfacher ist als die pq-Formel anzuwenden oder die quadratische Ergänzung zu machen und deshalb wäre es schlau, immer als erstes danach zu gucken, ob man vielleicht das x ausklammern kann, weil man dann die Nullstellen quasi ablesen kann. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Ich bin erst seit ein paar Tagen auf dieser Plattform unterwegs da ich die Einführungsklasse eines bayrischen Gymnasiums besuche und viel aufzuholen habe. Ich bin begeistert das es doch möglich ist Mathe verständlich in 3:15 min zu erklären!

    Von Noura, vor etwa 5 Jahren
  2. Oh nein, peinlich, hat sich erledigt!

    Von Inan, vor fast 9 Jahren
  3. Hallo,
    Weshalb wird aus 20- 3x = 20/3?????? Ich verstehe den Weg dahin nicht....

    Von Inan, vor fast 9 Jahren

Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie bei der quadratischen Gleichung ausgeklammert werden kann.

    Tipps

    Wenn in einer Summe alle Summanden einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser ausgeklammert werden.

    Zum Beispiel $4b+8b=(4+8)b=12b$.

    Schreibe die Potenz $x^2$ als Produkt.

    Du kannst $x$ ausklammern, da kein Term ohne $x$ vorkommt.

    Lösung

    Um die Lösungen der Gleichung $20x-3x^2=0$ zu berechnen, kann man zunächst die Unbekannte $x$ ausklammern.

    Hierfür wird das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ verwendet.

    Zunächst schreibt man $x^2$ als $x\cdot x$:

    $20x-3x\cdot x=0$.

    Nun kann man sehen, dass sowohl im Minuend als auch im Subtrahend der Faktor $x$ steht. Dieser kann ausgeklammert werden:

    $(20-3x)\cdot x=0$.

    Somit ist der Term auf der linken Seite $20x-3x^2$ als Produkt dargestellt: $(20-3x)\cdot x$.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Wenn man eine beliebige Zahl mit $0$ multipliziert, erhält man als Ergebnis $0$.

    Schaue dir beide Terme an, die miteinander multipliziert werden.

    Bei einem der beiden Terme musst du noch umformen.

    Lösung

    Um die Gleichung $20x-3x^2=0$ zu lösen, wird zunächst $x$ ausgeklammert zu

    $(20-3x)\cdot x=0$.

    Nun steht links von dem Gleichheitszeichen ein Produkt. Dieses wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Das bedeutet, dass

    • entweder $20-3x=0$ ist oder
    • $x=0$.
    Die obere lineare Gleichung kann wie folgt gelöst werden:

    $\begin{align*} 20-3x&=0&|&+3x\\ 20&=3x&|&:3\\ \frac{20}3&=x. \end{align*}$

  • Ordne jeder der Gleichungen die zugehörige ausgeklammerte Gleichung zu.

    Tipps

    Beachte, dass für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Das heißt für den Fall des Ausklammerns, dass

    $x^2-2x=(x-2)\cdot x=x\cdot (x-2)$

    gilt.

    Wenn in einer Summe die Summanden einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser ausgeklammert werden.

    Zum Beispiel ist

    $4b+3b=(4+3)b=7b$.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung hat allgemein die Form

    $ax^2+bx+c=0$.

    Durch Division durch $a$ erhält man eine quadratische Gleichung in Normalform

    $x^2+px+q=0$

    mit $p=\frac ba$ und $q=\frac ca$, welche mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden kann.

    Wenn $c=0$ ist, also auch $q=0$, dann ist die p-q-Formel natürlich immer noch anwendbar. Jedoch kann man hier auch $x$ ausklammern und die Lösungen dann dadurch berechnen, dass die einzelnen Faktoren betrachtet werden. Denn wenn einer der Faktoren $0$ wird, wird auch das Produkt $0$.

    • $30x-2x^2=0$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(30-2x)=0$.
    • $30x^2-2x=0$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(30x-2)=0$.
    • $8x^2-5x=$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(8x-5)=0$.
    • $5x^2-x=0$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(5x-1)=0$.

  • Ermittle zu den gegebenen Gleichungen die Lösungen.

    Tipps

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    Ein Faktor ist in allen drei Beispielen gleich. Das bedeutet, dass in allen drei Beispielen eine Lösung gleich ist.

    Beachte, dass $x+3=0$ gilt für $x=-3$.

    Du kannst die Lösung durch Äquivalenzumformungen erhalten.

    Lösung

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, können in jedem der drei Beispiele die Faktoren betrachtet werden. In jedem Beispiel kommt der Faktor $x$ vor, also ist $x=0$ eine Lösung von jedem der Beispiele.

    $x \cdot (30-2x) = 0$:

    • Entweder ist $x=0$
    • oder $30-2x=0$. Durch Addition von $2x$ erhält man $30=2x$ sowie durch Division durch $2$ die zweite Lösung $x=15$.
    $x\cdot(5x-1)=0$
    • Entweder ist $x=0$
    • oder $5x-1=0$. Durch Addition von $1$ erhält man $5x=1$ sowie durch Division durch $5$ die Lösung $x=\frac15$.
    $(4x+12)\cdot x=0$
    • Entweder ist $4x+12=0$
    • oder $x=0$.
    $4x+12=0$ kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} 4x+12&=0&|&-12\\ 4x&=-12&|&:4\\ x&=-3 \end{align*}$

  • Gib an, warum zum Lösen der quadratischen Gleichung ausgeklammert wird.

    Tipps

    Wenn man eine beliebige Zahl mit $0$ oder $0$ mit einer beliebigen Zahl multipliziert, erhält man als Ergebnis $0$.

    Durch Ausklammern erhält man ein Produkt.

    Das so erhaltene Produkt soll $0$ sein.

    Lösung

    Beim Lösen von quadratischen Gleichungen durch Ausklammern wird das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a \cdot c$ verwendet. Denn ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Schauen wir uns das Beispiel $x^2-2x=0$ an.

    • Hier können wir $x$ ausklammern. Es ergibt sich dann $x^2-2x=x \cdot x -2x=(x-2)x$.
    • $(x-2)x=0$ bedeutet, dass entweder $x-2=0$, also $x=2$, oder $x=0$ gilt.
  • Leite die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung her.

    Tipps

    Bringe die obige Gleichung erst einmal auf die Form

    $x^2+px=0$.

    Verwende dafür die dritte binomische Formel

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Wenn du die Form $x^2+px=0$ hast, kannst du $x$ ausklammern zu $x\cdot(x+p)=0$.

    Verwende dann die Argumentation, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Lösung

    Es soll die quadratische Gleichung

    $ (x+1)\cdot(x-1) + 2x + 3 = 2$

    gelöst werden. Diese sieht nun nicht so aus wie die Gleichung $20x-3x^2=0$. Man kann zunächst Äquivalenzumformungen anwenden, um auf eine solche Form zu kommen. Zunächst wird $(x+1)\cdot(x-1)=x^2-1$ mit der dritten binomischen Formel berechnet und dann werden die Terme zusammengefasst zu

    $\begin{align*} (x+1)\cdot(x-1) + 2x + 3&=2\\ x^2-1+2x+3&=2\\ x^2+2x+2&=2&|&-2\\ x^2+2x&=0. \end{align*}$

    Nun kann der Faktor $x$ ausgeklammert werden zu

    $x\cdot (x+2)=0$.

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, erhält man

    • entweder $x=0$ oder
    • $x+2=0$ und somit $x=-2$.

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