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Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (1)

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (1)

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Vielleicht kennst du bereits die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel. In einer kleinen Videoreihe möchte ich dir nun eine weitere Möglichkeit aufzeigen: Das Ausklammern. Bei Thermen wie zum Beispiel x² - 3x = 0 ist es möglich, das Distributivgesetz anzuwenden und dadurch die Variable x auszuklammern. Man erhält dadurch den Term x • ( x – 3 ) = 0. Im Video werde ich dir erklären, inwiefern dadurch etwas gewonnen ist und die quadratische Gleichung lösbar wird. Viel Spaß!

Transkript Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (1)

Hallo beim Lösen quadratischer Gleichungen gerät öfter, oder geraten öfter ein bis zwei Verfahren ins Hintertreffen die man eigentlich verwenden sollte bevor man die Q Formel Mitternachtsformel, quadratische Ergänzung etc. verwendet. Die Verfahren heißen normaler weise x ausklammern und faktorisieren. Inwieweit das das Gleiche ist oder nicht, möchte ich jetzt nicht weiter drauf eingehen. Ich möchte hier beide hintereinander behandeln und fangen wir mal an mit dem x ausklammern. Und dazu haben wir gegeben eine quadratische Gleichung die sieht zum Beispiel so aus: x² -3X=0. Und aus der linken Seite dieser Gleichung können wir das X ausklammern und geht natürlich mit dem Distributivgesetz, rein zufällig hab ich hier mal ein Distributivgesetz vorbereitet. Wir haben diese Situation hier stehen, wenn wir nämlich das a ersetzen durch das x und dann  - ja das auch noch weg - und b können wir auch ersetzen durch das X.  Das + Zeichen ersetzen wir durch das - Zeichen und hier kommt eine 3 hin. Ja ich hoffe das ist gut erkennbar. Diese beiden Terme hier sind gleich, da statt X×X steht hier x² klar, und statt -3x steht hier -X× 3, ich hoffe ich muss das nicht weiter erklären, dass das das Gleiche ist. Dann können wir also hier das Distributivgesetz verwenden, indem wir nämlich wieder das a durch das X ersetzen und das b durch das X ersetzen und das, oh das ist ein X, und das +-Zeichen durch das  - Zeichen ersetzen und das c durch 3. Zu dem Term dürfen wir jetzt übergehen, also steht hier erst mal das = Zeichen und dann X × X -3=0. So was hat das jetzt gebracht? Jetzt kommt eine Argumentation, die sehr wichtig ist für deine weitere mathematische Karriere. Wir haben hier ein Produkt, und die Argumentation ist, ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Das ist ein Faktor, das ist der andere Faktor. Dieses Produkt soll 0 werden, das bedeutet entweder wird der erste Faktor 0 ,erst das = Zeichen, entweder der erste Faktor wird 0, es können natürlich auch beide 0 werden, das ist jetzt mit dem entweder so, weil hier nur einer von beiden 0 werden kann, aber normalerweise können auch alle Faktoren 0 sein eines Produktes dann ist es auch 0. Das X ist gleich 0, wenn das X gleich 0 ist, wenn man für X 0 einsetzt und X-3 könnte auch 0 sein, X-3 ist der zweite Faktor hier. Das bedeutet also diese Funktionsgleichung ist richtig, wenn man für x 0 einsetzt, der erste Faktor ist damit 0. Das ist das oder Zeichen hier. Oder es kann auch X=3 sein, ja x-3 ist =0 wenn X=3 ist, muss man auch nicht weiter erklären. Und damit kann man eigentlich die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung ablesen, wenn man nämlich das X ausklammert, und das hab ich hier gemacht und damit glaub ich ist alles gesagt dazu, ja das war es, ich hör auf, bis bald, tschüss.  

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Ich hab es nicht verstanden quadratische Klammergleichung

    Von Itslearning Nutzer 2535 1139597, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Emelyuksek,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  3. ich hab garnichts verstanden

    Von Emelyuksek, vor mehr als 2 Jahren
  4. Weiter so, immer sehr hilfreiche Videos :)

    Von Deleted User 261699, vor fast 5 Jahren
  5. kann es sein dass es x*(x+3) heißen muss?

    Von Julius Schlosser, vor mehr als 7 Jahren
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Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie bei der quadratischen Gleichung ausgeklammert werden kann.

    Tipps

    Wenn in einer Summe alle Summanden einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser ausgeklammert werden.

    Zum Beispiel $3a+4a=(3+4)a=7a$.

    Schreibe die Potenz $x^2$ als Produkt.

    Du kannst $x$ ausklammern, da kein Term ohne $x$ vorkommt.

    Lösung

    Um die Lösungen der Gleichung $x^2-3x=0$ zu berechnen, kann man zunächst die Unbekannte $x$ ausklammern.

    Hierfür wird das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ verwendet.

    Zunächst schreibt man $x^2$ als $x\cdot x$:

    $x\cdot x-3x=0$.

    Nun kann man sehen, dass sowohl im Minuend als auch im Subtrahend der Faktor $x$ steht. Dieser kann ausgeklammert werden:

    $x\cdot (x-3)=0$.

    Somit ist der Term auf der linken Seite $x^2-3x$ als Produkt dargestellt: $x\cdot (x-3)$.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Wenn man eine beliebige Zahl mit $0$ multipliziert, erhält man als Ergebnis $0$.

    Schaue dir beide Terme an, die miteinander multipliziert werden.

    Bei einem der beiden Terme musst du noch umformen.

    Lösung

    Um die Gleichung $x^2-3x=0$ zu lösen, wird zunächst $x$ ausgeklammert

    $x\cdot (x-3)=0$.

    Links von dem Gleichheitszeichen steht ein Produkt. Dieses wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Das bedeutet, dass

    • entweder $x=0$ ist oder
    • $x-3=0$, was äquivalent ist zu $x=3$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Du kannst immer dann ausklammern, wenn in einer Summe jeder Summand einen gemeinsamen Faktor besitzt.

    Ganz allgemein sieht eine quadratische Gleichung wie folgt aus

    $ax^2+bx+c=0$.

    Durch Division durch $a$ gelangt man zu einer Gleichung der Form

    $x^2+px+q=0$.

    Dies ist die sogenannte Normalform.

    Quadratische Gleichungen werden ganz allgemein mit der p-q-Formel gelöst. Wichtig ist dabei nur, dass es sich um eine quadratische Gleichung handelt und dass der Faktor vor dem $x^2$ die $1$ ist.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung der Form

    $ax^2+bx+c=0$

    soll gelöst werden. Man dividiert zunächst durch $a$ und kann dann die p-q-Formel auf die Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ anwenden.

    Wenn $c=0$ oder $q=0$ ist, ist die p-q-Formel natürlich immer noch anwendbar, jedoch kann in dem Fall auch $x$ ausgeklammert werden. Ausklammern ist tatsächlich nur in dem Fall sinnvoll, dass $c=0$ ist.

    Nach dem Ausklammern von $x$ erhält man ein Produkt, welches $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    Man erhält mit der p-q-Formel die gleichen Ergebnisse, jedoch geht das Verfahren mit dem Ausklammern schneller.

    Wenn man zum Beispiel bei $2x^2+4x=0$ den gemeinsamen Faktor $x$ ausklammert, erhält man $x\cdot (2x+4)=0$.

  • Ordne jeder der Gleichungen die zugehörige ausgeklammerte Gleichung zu.

    Tipps

    Schreibe jeweils $x^2$ als Produkt $x^2=x\cdot x$.

    Wenn in einer Summe die Summanden einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser ausgeklammert werden.

    Zum Beispiel ist

    $3a+7a=(3+7)a=10a$.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung hat allgemein die Form

    $ax^2+bx+c=0$.

    Durch Division durch $a$ erhält man eine quadratische Gleichung in Normalform

    $x^2+px+q=0$

    mit $p=\frac ba$ und $q=\frac ca$, welche mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden kann.

    Wenn $c=0$ ist, also auch $q=0$, dann ist die p-q-Formel natürlich immer noch anwendbar, jedoch kann man hier auch $x$ ausklammern und die Lösungen dann dadurch berechnen, dass die einzelnen Faktoren betrachtet werden. Denn: Wenn einer der Faktoren $0$ wird, wird auch das Produkt $0$.

    • $2x^2-3x=0$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(2x-3)=0$.
    • $2x-3x^2=0$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(2-3x)=0$.
    • $x^2-4x=$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(x-4)=0$.
    • $4x^2-x=0$ wird durch Ausklammern von $x$ zu $x\cdot(4x-1)=0$.

  • Nenne die Gesetze und/oder Merkregeln, welche beim Lösen von quadratischen Gleichungen durch Ausklammern verwendet werden.

    Tipps

    $a\cdot b=0$:

    • $a\cdot b$ ist ein Produkt und
    • $a$ und $b$ sind die Faktoren.

    Es ist $0\cdot b=0$ sowie $a\cdot 0=0$.

    Es gilt, dass zwei Äpfel plus drei Äpfel sind $2+3=5$ Äpfel.

    Lösung

    Beim Lösen von quadratischen Gleichungen durch Ausklammern, zum Beispiel $x^2-4x=0$, gilt

    • zum einen das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a \cdot c$ und
    • zum anderen die Merkregel: Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.
    $x^2-2x=x\cdot x -2x=(x-2)x$ - hier wird $x$ ausgeklammert

    $(x-2)x=0$ bedeutet, dass

    • entweder $x-2=0$, also $x=2$ ist
    • oder $x=0$.

  • Leite die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung her.

    Tipps

    Bringe die obige Gleichung erst einmal auf die Form

    $x^2+px=0$.

    Verwende dafür die erste binomische Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Wenn du die Form $x^2+px=0$ hast, kannst du $x$ ausklammern zu $x\cdot(x+p)=0$.

    Verwende dann die Argumentation, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Lösung

    Es soll die quadratische Gleichung

    $ (x+1) ^ 2 + 2x + 3 = 4$

    gelöst werden. Diese sieht nun nicht so aus wie die Gleichung $x^2-3x=0$. Man kann zunächst Äquivalenzumformungen anwenden, um auf eine solche Form zu kommen. Zunächst wird $(x+1)^2=x^2+2x+1$ mit der ersten binomischen Formel berechnet und dann werden die Terme zusammengefasst zu

    $\begin{align*} x^2+2x+1+2x+3&=4\\ x^2+4x+4&=4&|&-4\\ x^2+4x&=0. \end{align*}$

    Nun kann der Faktor $x$ ausgeklammert werden zu

    $x\cdot (x+4)=0$.

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, erhält man

    • entweder $x=0$ oder
    • $x+4=0$ und somit $x=-4$.

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