Produktregel – Einführung

Produktregel – Einführung Übung

• Beschreibe, wie ein Produkt abgeleitet wird.

  Tipps

  Die abzuleitende Funktion muss die Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ haben.

  Zuerst sammeln wir alle Elemente, die für die Ableitung von $f$ nötig sind und setzen dann alles in die Formel der Produktregel ein.

  Lösung

  Wenn wir eine Funktion der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ableiten wollen, identifizieren wir zuerst die einzelnen Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$. Diese Teilfunktionen leiten wir jeweils getrennt voneinander ab und erhalten damit $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$.

  Nun haben wir alle Bausteine, um die Ableitung $f^\prime(x)$ aufzustellen. Dafür setzen wir die Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ zusammen mit ihren Ableitungen $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$ in die folgende Funktion ein:

  $f^\prime(x) = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

  Damit erhalten wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ mithilfe der Produktregel.

• Bestimme die Ableitung mithilfe der Produktregel.

  Tipps

  Die Funktion $f$ wird mit einem Multiplikationsoperator in zwei Teile geteilt.

  Leite beide Teilfunktionen mithilfe der Potenzregel ab.

  Überlege, welche Elemente für die Formel der Produktregel notwendig sind und setze sie ein.

  Lösung

  Die Funktion $f(x)$ ist ein Produkt mit den Faktoren $u(x)$ und $v(x)$. Um die Ableitung von $f$ zu erhalten, müssen wir beide Faktoren jeweils einzeln ableiten und sie zusammen mit ihren Ableitungen $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$ in die Formel der Produktregel $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$ einsetzen. Das Ergebnis kann, falls möglich, dann noch weiter zusammengefasst werden.

  Beispiel

  Die Funktion $f(x) = (x^2 + 1)\cdot \sqrt x$ enthält die Faktoren

  $u(x) = x^2 +1$ und $v(x) = \sqrt x$ mit den Ableitungen $u^\prime(x) = 2x$ und $v^\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$.

  Daraus erhalten wir die Ableitung: $f^\prime(x) = 2x \cdot \sqrt x + (x^2 + 1)\cdot \frac{1}{2\sqrt x}$.

  Das Ergebnis können wir jetzt noch weiter vereinfachen, indem wir die Klammer im zweiten Term auflösen:

  $f^\prime(x) = 2x\cdot \sqrt x + \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x}$.

  Außerdem können wir den ersten Term mit $2\sqrt x$ erweitern, um alle Terme auf den gleichen Nenner zu bringen:

  $\large{f^\prime(x) = \frac{4x {\sqrt x}^2}{2\sqrt x} + \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{4x^2}{2\sqrt x} + \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x}}$.

  Als Letztes können wir die Brüche addieren:

  $\large{f^\prime(x) = \frac{4x^2 + x^2 + 1}{2\sqrt x} = \frac{5x^2 +1}{2\sqrt x}}$.

• Ermittle die Ableitung mithilfe der Produktregel.

  Tipps

  Die Formel der Produktregel lautet $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

  Versuche die Ableitung durch Ausklammern in eine andere Form zu bringen.

  Achte auf die Vorzeichen bei den trigonometrischen Funktionen.

  Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.

  Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$ und die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.

  Lösung

  Das Vorgehen ist immer dasselbe. Zuerst ermitteln wir die einzelnen Faktoren, dann leiten wir sie ab und setzen sie in die Formel für die Produktregel ein. Am Ende können wir die Formel noch vereinfachen oder umstellen.

  Für die Funktion $f(x) = \underbrace{5x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$ erhalten wir die Ableitung $f^\prime(x) = \underbrace{15x^2}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{e^x}_{v(x)} + \underbrace{5x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{e^x}_{v^\prime(x)}$.

  Wenn wir $e^x$ ausklammern, erhalten wir $f^\prime(x) = (15x^2 + 5x^3)\cdot e^x $.

  Die Funktion $f(x) = \underbrace{\sin(x)}_{u(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{v(x)}$ besitzt die Ableitung

  $f^\prime(x) = \underbrace{\cos(x)}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{v(x)} + \underbrace{\sin(x)}_{u(x)}\cdot \underbrace{(-\sin(x))}_{v^\prime(x)} = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.

  Achtung: Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.

  Für die Funktion $f(x) = \underbrace{\frac{1}{x}}_{u(x)}\cdot \underbrace{(3x^4 + 6x + 2)}_{v(x)}$ erhalten wir auf die gleiche Weise die Ableitung

  $f^\prime(x) = \underbrace{-\frac{1}{x^2}}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{(3x^4 + 6x + 2)}_{v(x)} + \underbrace{\frac{1}{x}}_{u(x)}\cdot \underbrace{(12x^3 + 6x)}_{v^\prime(x)}$.

  Dieses Ergebnis können wir noch weiter vereinfachen, indem wir die Klammern auflösen und zusammenfassen:

  $f^\prime(x) =-\frac{1}{x^2}\cdot (3x^4 + 6x + 2) + \frac{1}{x}\cdot (12x^3 + 6x) = -3x^2 -\frac{6}{x} - \frac{2}{x^2} + 12x^2 + \frac{6}{x} = 9x^2 - \frac{2}{x^2}$.

  Alternativ: Hier können wir auch zuerst die Klammern auflösen und dann die Ableitung mithilfe der Potenzregel berechnen, statt die Produktregel anzuwenden. Die Ableitung lässt sich dann folgendermaßen bestimmen:

  $f(x) = \frac{1}{x}\cdot (3x^4 + 6x + 2) = 3x^3 + 6 + \frac{2}{x}$

  $f^\prime(x) = 9x^2 - \frac{4}{2x^2} = 9x^2 - \frac{2}{x^2}$.

  Die Funktion $f(x) = \underbrace{x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)}$ gibt mit der Formel der Produktregel folgende Ableitung:

  $f^\prime(x) = \underbrace{3x^2}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)} + \underbrace{x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{v^\prime(x)}$.

  Hier können wir $x^2$ aus beiden Produkten ausklammern, um die gewünschte Form zu erhalten:

  $f^\prime(x) = x^2\cdot (3\sin(x) + x\cos(x))$.

• Bestimme die ersten zwei Ableitungen mithilfe der Produktregel.

  Tipps

  Schreibe den Bruch als Multiplikation.

  Durch $2x^2$ zu teilen ist das Gleiche, wie mit $\frac{1}{2x^2}$ zu multiplizieren.

  Lösung

  Wir identifizieren zuerst die beiden Faktoren:

  $u(x) = \frac{1}{2x^2}$ und $v(x) = 3\cos(x)$.

  Dann bestimmen wir die Ableitungen der beiden Faktoren:

  $u^\prime(x) = -\frac{2}{2x^3} = -\frac{1}{x^3}$ und $v^\prime(x) = -3\sin(x)$.

  Die Ableitung von $f$ setzt sich dann mithilfe der Produktregel folgendermaßen zusammen:

  $f^\prime(x) = -\frac{1}{x^3}\cdot 3\cos(x) + \frac{1}{2x^2}\cdot (-3\sin(x)) = -\frac{3}{x^3}\cos(x) - \frac{3}{2x^2}\sin(x)$.

  Da sich bei der Ausgangsfunktion nach dem ersten Ableiten die Produkte nicht auflösen, müssen wir auch beim zweiten Ableiten die Produktregel verwenden. Diesmal haben wir zwei Produkte statt einem und müssen daher vier Faktoren in $f^\prime$ identifizieren:

  $u_2(x) = -\frac{1}{x^3}$

  $v_2(x) = 3\cos(x)$

  $\bar{u}_2(x) = \frac{1}{2x^2}$

  $\bar{v}_2(x) = -3\sin(x)$.

  Diese Teilfunktionen können wir jetzt jeweils ableiten:

  $u^\prime_2(x) = \frac{3}{x^4}$

  $v^\prime_2(x) = -3\sin(x)$

  $\bar{u}^\prime_2(x) = -\frac{1}{x^3}$

  $\bar{v}^\prime_2(x) = -3\cos(x)$.

  Schließlich führen wir alles zusammen für die zweite Ableitung von $f$:

  $f^{\prime\prime}(x) = \frac{3}{x^4}\cdot 3\cos(x) + (-\frac{1}{x^3})\cdot (-3\sin(x)) + (-\frac{1}{x^3})\cdot (-3\sin(x)) + \frac{1}{2x^2}\cdot -3\cos(x)$.

• Bestimme die einzelnen Teile in der Formel der Produktregel.

  Tipps

  Die Formel der Produktregel lautet $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

  Lösung

  Um die einzelnen Elemente der Produktregel zu bekommen, identifizieren wir zuerst

  $u(x) = x^2$ und $v(x) = 4x - 5$.

  Diese können wir direkt in der Ableitung erkennen und markieren.

  Dann leiten wir $u$ und $v$ jeweils ab und erhalten

  $u^\prime(x) = 2x$ und $v^\prime(x) = 4$.

  Nun können wir auch diese in der Ableitung von $f$ mithilfe der Formel

  $f^\prime(x) = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$

  markieren.

• Bestimme die Ableitung und vereinfache soweit wie möglich.

  Tipps

  Die Formel der Produktregel lautet $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

  Für eine Funktion $f(x) = u(x)\cdot v(x)\cdot w(x)$ erhalten wir mithilfe der Produktregel die Ableitung $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot (v(x)\cdot) + u(x)\cdot (v^\prime(x)\cdot w(x) + v(x)\cdot w^\prime(x))$.

  Lösung

  Beim Verwenden der Produktregel gehen wir immer auf die gleiche Weise vor, auch wenn wir diese mehrfach anwenden müssen. Für eine Funktion

  $f(x) = x^4 \cdot e^x \cdot \ln(x)$

  können wir zuerst die Teilfunktionen $u(x) = x^4$ und $v(x) = e^x \cdot \ln(x)$ identifizieren und damit die Formel der Produktregel verwenden:

  $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

  Bis auf $v^\prime(x)$ können wir hier schon alles einsetzen:

  $f^\prime(x) = 4x^3\cdot e^x\cdot \ln(x) + x^4 \cdot v^\prime(x)$.

  Um $v^\prime(x)$ zu bestimmen, müssen wir nochmal die Produktregel anwenden:

  $v^\prime(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x}$

  Das können wir jetzt auch in $f^\prime$ einsetzen, um die Ableitung von $f$ zu erhalten:

  $f^\prime(x) = 4x^3\cdot e^x\cdot \ln(x) + x^4 \cdot (e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x})$.

  Dieses Ergebnis können wir nun noch weiter vereinfachen und Elemente, die in allen Termen vorkommen, ausklammern. Wir sehen, dass $x^3$ und $e^x$ in allen Termen vorkommen und ziehen diese deshalb vor die Klammer. Außerdem können wir den Term $x^4 \cdot \frac{1}{x}$ zu $x^3$ vereinfachen.

  $f^\prime(x) = x^3 \cdot e^x (4\ln(x) + x\cdot \ln(x) + 1)$.

  Damit erhalten wir die vereinfachte Form der Ableitung von $f$.