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Produktregel – Beispiel (1)

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Martin Wabnik
Produktregel – Beispiel (1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Produktregel – Beispiel (1)

Was ist die Produktregel?

In Mathe kommt die Produktregel bei der Ableitung von Funktionen vor, die als Produkt anderer Funktionen geschrieben werden können. Die Funktion $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist das Produkt der Funktionen $u$ und $f$. Die Produktregel erklärt, wie sich die Ableitung des Produktes aus den Ableitungen der Faktoren zusammensetzt.

Produktregel – Formel

Die Ableitung der Funktion $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist durch folgende Formel gegeben:

$f' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Hierbei ist $u'$ die Ableitung der Funktion $u$ und $v'$ die Ableitung der Funktion $v$. Du kannst die Formel der Produktregel auch für die Auswertung der Funktionen an der Stelle $x$ aufschreiben:

Produktregel – Formel

Produktregel – Beispiel

Die Funktion $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ ist das Produkt der Funktionen $u(x) = x$ und $v(x) = \sqrt{x}$. Der Definitionsbereich der Funktionen $v$ und $f$ ist $\mathbb D = \mathbb R^{+}$, denn die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert. Bei $x=0$ können wir die Funktion $v$ zwar definieren, aber nicht differenzieren. Für die Anwendung der Kettenregel berechnen wir die Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$:

$u(x) = x \qquad \implies \qquad u'(x) = 1 \newline v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad \implies \qquad v'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Mit der Formel aus der Produktregel erhalten wir die Ableitung der Funktion $f$, indem wir die Funktionen und ihre Ableitungen einsetzen:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$

Zur Überprüfung des Ergebnisses kannst du die Ableitung der Funktion $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ auch mit der Potenzregel berechnen, denn die Funktion $f$ ist eine Potenzfunktion:

$f(x) = x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}} =x^{\frac{3}{2}}$

Für eine beliebige Potenzfunktion $g(x) = x^{n}$ gilt die Potenzregel:

$g'(x) = (x^{n})' = n \cdot x^{n-1}$

Angewendet auf die Potenz $n = \frac{3}{2}$ erhältst du:

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Dieses Ergebnis stimmt genau mit dem Ergebnis aus der Anwendung der Produktregel überein. Dass du die Ableitung einer Funktion auf verschiedene Arten ausrechnen kannst – wie hier mit der Produktregel oder mit der Potenzregel – ist eine sehr spezielle Situation. Für die meisten Funktionen hast du keine Auswahl, welche Ableitungsregeln du anwenden musst.

Dieses Video

In diesem Video wird die Produktregel für die Ableitung von Produktfunktionen verständlich erklärt. An einem Beispiel wird die Ableitung mit der Produktregel und mit der Potenzregel berechnet.

Transkript Produktregel – Beispiel (1)

Hallo. Diese Funktion hier kannst du nach Produktregel ableiten. Wir haben f(x)=x×\sqrtx. Da es sich hier um eine Wurzel handelt, müssen wir eben auch überlegen, was ist mit dem Definitionsbereich. Wurzeln aus negativen Zahlen sind ja im reellen Bereich nicht definiert. Deshalb sagen wir das der Definitionsbereich aus einem positiven, reellen Zahlen besteht. Hier eben ausgedrückt durch das R+. Übrigens bei 0 funktioniert das auch nicht. Diese Funktion hat bei 0 keine Ableitung. Es könnte natürlich sich auch nur um eine rechtsseitige Ableitung handeln. Aber auch die existiert nicht. Und das wollte ich schon mal vorgreifen. Wenn du dir die Frage stellst, warum steht hier keine 0. So wie schon gesagt Produktregel ist das Thema. Hier ist die Produktregel. Sie lautet (u×v) abgeleitet ist u'×v+u×v'. Oft schreibt man das auch mit u von x×v von x. Wenn du jetzt hier also das x vermisst, u und v stehen hier einfach für irgendwelche differenzierbaren Funktionen. Ja und dann können wir das also hier einsetzen. Wir wissen, dass es sich hier bei dem Funktionsterm um ein Produkt handelt. u=x und v=\sqrtx. Und dann wissen wir auch gleich das u'=1 ist. Denn die Ableitung von x ist 1. Wir müssen v einfach wieder hinschreiben. v=\sqrt. Wird hier hingeschrieben. Plus Zeichen abschreiben, u abschreiben, das ist x und dann kommt die Ableitung von \sqrtx. Und die ist 1÷2\sqrtx. Falls du da Schwierigkeiten hast, warum ist die Ableitung von \sqrtx=1÷2×\sqrtx, zeige ich hier, wie das funktioniert. Wenn du das nicht wissen möchtest oder das sowieso schon weißt und keine Erläuterung haben möchtest, kannst du ja den Film einfach an späterer Stelle wieder einschalten und das hier überspringen. Das ist ja der Vorteil bei diesen Filmen. Man kann ja auch nur Ausschnitte sehen, wenn man möchte. Und wenn dir das überhaupt zu viele Erklärungen sind, kannst du sowieso ans Ende klicken. Und dann siehst du ja hier die gesamte Rechnung auf einmal und kannst vielleicht einfach nur die Lösungen vergleichen. Also zur Ableitung von \sqrtx. \sqrtx ist ja das gleiche wie x^½. Hast du früher gemacht. Weißt du noch. Wenn wir x^½ ableiten wollen können wir das mit Potenzregel machen. Wir können ja xn ableiten. Für n kann man übrigens alle Zahlen einsetzen. Die Ableitung von xn=n×xn-1. Das ist auch nichts Besonderes. Und nichts Neues für dich hoffe ich. Dann setzen wir für n ½ ein und erhalten also als Ableitung ½×x^½-1. Nun ½-1=-½. Und deshalb steht hier x^-½. Nun weißt du ja das negative Exponenten so definiert sind, das man einfach das - Zeichen weglassen kann und die ganze Potenz dann in den Nenner schreibt. So wie ich das hier gemacht habe. ½ habe ich abgeschrieben und x^½ steht jetzt im Nenner. Und das - Zeichen bedeutet also das, das hier im Nenner steht. Also brauche ich jetzt nur noch übersetzen. x^½=\sqrtx. Und dann haben wir hier ½×1÷\sqrtx=1÷2×\sqrtx. Das weißt du aus der Bruchrechnung. Und das ist hoffentlich nichts Neues. Nur eben zur Wiederholung. Warum ist das alles so. Welche Gesetze werden hier verwendet? Nachdem wir das jetzt also klar haben, können wir diese Sache hier noch ein bisschen zusammenfassen und es kommt Folgendes raus. Das brauche ich jetzt auch nicht mehr, weg damit. Wir schreiben \sqrtx einfach ab und die 1 wird dann natürlich weggelassen. So dann können wir hier dieses Produkt folgendermaßen schreiben. x kann jetzt natürlich in den Zähler und x=\sqrtx×\sqrtx. Und jetzt kommt der Punkt warum habe ich anfangs gesagt es geht nur um positive Zahlen? Erstens wenn x=\sqrtx×\sqrtx sein soll, dann kann es sich dabei nur um positive Zahlen oder auch 0 handeln. Denn die Wurzeln aus negativen Zahlen sind ja nicht definiert. Also zumindest nicht im Reellen. Ich könnte also wenn jetzt x=-5 wäre, könnte ich nicht schreiben -5=\sqrt-5×\sqrt-5. Brauchen wir aber auch nicht, weil ja x nur im positiven Bereich ist. Warum habe ich die 0 hier nicht stehen? Warum ist die ganze Sache hier für 0 nicht definiert? Weil wir hier sonst durch 0 teilen würden. Denn \sqrt0=0 und deshalb müssen wir hier an dieser Stelle durch 0 teilen. Und deshalb ist die Ableitung bei 0 nicht definiert. Und deshalb habe ich hier die 0 nicht hingeschrieben, um da gar nicht erst irgendwelche Probleme aufkommen zu lassen. Da jetzt x=\sqrtx×\sqrtx ist, siehst du gleich das du hier einmal \sqrtx kürzen kannst. Es bleibt also übrig \sqrtx+\sqrtx÷2. So und wie kommt man jetzt darauf? \sqrtx=2/2×\sqrtx. 2/2\sqrtx+½\sqrtx=3/2\sqrtx. Und da steht es schon etwas lediert hier von der Pappe, die drüberlag. Aber ich glaube es ist noch zu erkennen. Die Ableitung von x×\sqrtx ist einfach 3/2\sqrtx. Und das haben wir bekommen nach der Produktregel. Und mit ein bisschen Anwendung der Potenzregel. Warum steht dieses Beispiel bei fast allen Büchern mit an erster Stelle? Weil man nämlich hier seine Erkenntnisse die Produktregel betreffend auch noch mal überprüfen kann. Und das geht folgendermaßen. Man kann ja diese Funktion x×\sqrtx auch anders schreiben. Und zwar als x3/2. Wir wissen x=x1. x1=x2/2. \sqrtx=x½. Wenn wir also rechnen x2/2×x^½. Brauchen wir nur die Exponenten addieren. Hast du in der Mittelstufe alles gemacht in der Potenzrechnung. 2/2+½=3/2. Kein Problem. Diese Funktion kann man auch schreiben als x3/2. Wenn wir x3/2 haben, dann können wir auch nach Potenzregel ableiten. n ist dann einfach, jetzt liegt es da unten. Macht nichts. Aber kennst du auch auswendig die Potenzregel. n=3/2. Also haben wir n×xn-1. Hier also 3/2×x3/2-1. Das ist die Ableitung davon. 3/2-1 ist wie 3/2-2. ½ bleibt übrig. Und x^½=\sqrtx. Deshalb haben wir 3/2\sqrtx. Und das Gleiche haben wir hier auch. Und wir können deshalb feststellen, dass wir hier richtig gerechnet haben. Ja vielleicht sagt sich mancher, wieso dann hätte ich das doch so machen können. Das wäre doch einfacher gewesen. Richtig. Dann hättest du aber nicht deine Kenntnisse über die Produktregel überprüfen können. Und hättest das nicht üben können. Es gibt genügend Beispiele für die Anwendung der Produktregel, bei denen man das nicht so schreiben kann. Da gibt es keine andere Möglichkeit als nur die Produktregel abzuwenden. Das kommt aber später. Und hier haben wir das einfach mal geübt. Viel Spaß damit, tschüs.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. @V Diers: Die Ableitung von f(x)=1/x=x^(-1) ist f'(x)=-1/(x²) und die Potenzregel gilt auch in diesem Fall.

    Von Martin Wabnik, vor 5 Monaten
  2. an mich
    Hallo,
    die Kettenregel nutzt man immer dann, wenn man ineinander verschachtelte Funktionen hat.
    z.B (x+2)³ => Hierbei wäre x+2 die innere und (..)³ die äußere Funktion.
    Die Produktregel wird verwendet, wenn du ein Produkt von Funktionen hast:
    z.B (x+2) * x . Hierbei wäre x+2 die eine und x die andere Funktion.

    In Wirklichkeit gibt es keinen großen Unterschied, denn man kann Kettenregel und Produktregel ineinander überführen:
    z.B (x+2)². Hierbei kann man die Kettenregel anwenden, x+2 wäre die Innere und ()² die äußere Funktion.
    Allerdings kann man auch schreiben (x+2) * (x+2) . Hier müsstem man nun die Produktregel anwenden, welche in diesem Fall aber komplizierte ist als die Kettenregel.
    Letzten Endes ist meistens eine der beiden Regeln leichter auf die Aufgabe anzuwenden und dementsprechend zu empfehlen.

    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Julia S., vor mehr als 3 Jahren
  3. was ist der unterschied zwischen ketten und Produkt Regel?? wann benutzt man welche??

    Von chelsea w., vor mehr als 3 Jahren
  4. wollt nur mal kurz erwähnen, dass du echt tolle videos machst!!

    Von Vinimitable 1, vor mehr als 6 Jahren
  5. @Daniel B.:
    Wurzel (x) * Wurzel (x) = ( Wurzel (x) )²
    Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.
    Also gilt:
    Wurzel (x) * Wurzel (x) = ( Wurzel (x) )² = x
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 7 Jahren
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