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Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

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Aline Mittag
Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

In diesem Video werden wir uns speziell mit Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten beschäftigen. Nachdem wir kurz noch einmal das Thema Potenzgleichungen allgemein wiederholt haben, steigen wir in jene mit rationalen Exponenten ein. Dazu schauen wir uns zunächst die Definition und deren Merkmale an und untersuchen danach an Fallbespielen die unterschiedlichen Lösungen und wie man sie berechnet.

Transkript Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

Hallo. Ich bin Aline und wir werden uns in diesem Video mit dem Lösen von Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten beschäftigen. Hierfür werden wir zunächst mit einer kurzen Wiederholung zu Potenzgleichungen starten und uns danach anschauen, was speziell Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten sind. Danach werden wir uns an konkreten Beispielen die verschiedenen Lösungen von Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten anschauen und abschließend alles noch einmal kurz zusammenfassen. Zunächst wollen wir wiederholen, was Potenzgleichungen überhaupt sind. Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form x hoch n gleich a. Wir können Potenzgleichungen unterscheiden in jene mit natürlichen und solche mit rationalen Exponenten. Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten sind definiert als x hoch m durch n gleich a, für alle x größer gleich null. Sowohl der Zähler m als auch der Nenner n gehören zum Bereich der ganzen Zahlen. Wenn wir Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen wollen, können wir das Potenzgesetz x hoch m durch n gleich n-te Wurzel aus x hoch m anwenden. Dabei ist besonders zu beachten, dass das Potenzgesetz nur für positive x und x gleich null zulässig ist. Bei Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten müssen wir vor allem zwischen positiven und negativen Exponenten unterscheiden. Wenn wir für die Gleichung x hoch drei Fünftel gleich a das oben erwähnte Potenzgesetz anwenden, erhalten wir fünfte Wurzel aus x hoch drei gleich a. Nun können wir auf beiden Seiten hoch fünf rechnen und erhalten x hoch drei gleich a hoch fünf. Nachdem wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel gezogen haben, lautet unser Ergebnis x ist gleich die dritte Wurzel aus a hoch fünf. Bei einer Potenzgleichung mit negativem Exponenten, wie zum Beispiel x hoch minus drei Fünftel gleich a, formen wir zunächst die Gleichung in eins durch x hoch drei Fünftel gleich a um. Danach multiplizieren wir mit x hoch drei Fünftel und erhalten die Gleichung eins gleich a mal x hoch drei Fünftel. Jetzt dividieren wir durch a und erhalten eins durch a gleich x hoch drei Fünftel. Nun können wir wie gewohnt weitermachen, indem wir zunächst unser bekanntes Potenzgesetz anwenden. Dadurch erhalten wir eins durch a gleich fünfte Wurzel aus x hoch drei. Nun rechnen wir wieder auf beiden Seiten hoch fünf und ziehen dann aus dem Ausdruck eins durch a hoch fünf gleich x hoch drei die dritte Wurzel und erhalten schließlich das Ergebnis dritte Wurzel aus eins durch a hoch fünf gleich x. Wir haben heute, nach einer kurzen Wiederholung zu Potenzgleichungen, speziell jene mit rationalen Exponenten kennengelernt. Diese besitzen die Form x hoch m durch n gleich a. Dabei müssen wir zum einen beachten, dass die Lösungen nur für x größer gleich null definiert sind und man zwischen positiven und negativen Exponenten unterscheiden muss. Nun wünsche ich euch viel Spaß beim Rechnen mit Potenzgleichungen.

Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Potenz mit einem rationalen Exponenten ist.

    Tipps

    Potenzen mit rationalen Exponenten kann man als Wurzeln schreiben.

    Ist $\sqrt x$ für jedes beliebige $x$ definiert?

    Eine rationale Zahl ist eine Bruchzahl: Im Zähler und im Nenner stehen ganze Zahlen.

    Lösung

    Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten sind definiert als

    $x^{\frac mn}=a$.

    Es muss $x\ge 0$ gelten. Sowohl $m$ als auch $n$ sind ganze Zahlen.

    Zur Lösung von Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten wird das folgende Potenzgesetz verwendet:

    $x^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.

  • Bestimme die Lösung der Potenzgleichung.

    Tipps

    Es gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    Die Umkehrung vom Ziehen der n-ten Wurzel ist das Potenzieren mit $n$.

    Die Umkehrung des Potenzierens mit $n$ ist das Ziehen der n-ten Wurzel.

    Lösung

    Bei dieser Gleichung

    $x^{-\frac35}=a$

    liegt ein negativer rationaler Exponent vor. Zunächst wird ein Potenzgesetz für negative Exponenten angewendet: $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    $\frac1{x^{\frac 35}}=a$.

    Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} \frac1{x^{\frac 35}}&=a&|&\cdot x^{\frac 35}\\ 1&=a\cdot x^{\frac 35}&|&:a\\ \frac 1a&=x^{\frac 35}. \end{align*}$

    Nun wird zunächst mit $5$ potenziert zu

    $\left(\frac 1a\right)^5=x^3$

    und dann die dritte Wurzel gezogen:

    $\sqrt[3]{\left(\frac 1a\right)^5}=x$.

  • Stelle die Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln dar.

    Tipps

    Verwende $a^\frac mn=\sqrt[n]{x^m}$.

    Bei negativem Exponenten gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    Schreibe zuerst den negativen Exponenten um.

    Lösung

    Um Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln zu schreiben, verwendet man das folgende Potenzgesetz:

    $a^\frac mn=\sqrt[n]{x^m}$.

    Bei negativen Exponenten wird zusätzlich noch

    $a^{-n}=\frac 1{a^n}$

    verwendet.

    • $a^\frac32=\sqrt{a^3}$
    • $a^\frac23=\sqrt[3]{a^2}$
    • $a^{-\frac32}=\frac1{a^\frac32}=\frac1{\sqrt{a^3}}$
    • $a^{-\frac23}=\frac1{a^\frac23}=\frac1{\sqrt[3]{a^2}}$

  • Gib zu jeder der Potenzgleichungen die Lösung an.

    Tipps

    Es gilt

    • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$ sowie
    • $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Um die n-te Wurzel aufzulösen, potenziert man mit $n$.

    Um die eine Potenz mit $n$ umzuformen, zieht man die n-te Wurzel.

    Lösung

    Potenzen mit ganzrationalen Exponenten können als Wurzel geschrieben werden:

    $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.

    • $x^\frac32=8$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\sqrt{x^3}=8$. Zunächst wird die Gleichung quadriert zu $x^3=64$ und dann die dritte Wurzel gezogen zu $x=4$.
    • $x^{-\frac32}=8$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\frac1{x^{\frac32}}=\frac1{\sqrt{x^3}}=8$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\sqrt{x^3}=\frac18$. Zunächst wird die Gleichung quadriert zu $x^3=\frac1{64}$ und dann die dritte Wurzel gezogen zu $x=\frac14$.
    • $x^\frac23=4$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\sqrt[3]{x^2}=4$. Zunächst wird die Gleichung mit drei potenziert zu $x^2=64$ und dann die Wurzel gezogen zu $x=8$.
    • $x^{-\frac23}=4$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\frac1{\sqrt[3]{x^2}}=4$. Wenn auf beiden Seiten der Kehrwert gebildet wird, erhält man $\sqrt[3]{x^2}=\frac14$. Zunächst wird die Gleichung mit drei potenziert zu $x^2=\frac1{64}$ und dann die Wurzel gezogen zu $x=\frac18$.

  • Ergänze die Erklärung zu Potenzgleichungen.

    Tipps

    Bei einer Potenz wird die Basis potenziert. Die Basis ist der Term oder die Zahl, welche unten steht.

    Potenziert wird die Basis mit dem Term oder der Zahl, welche oben, im Exponenten, steht.

    Lösung

    Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form

    $x^n=a$.

    Man kann unterscheiden zwischen Potenzgleichungen

    • mit natürlichen und
    • mit rationalen Exponenten.

  • Arbeite die Lösung der Potenzgleichung heraus.

    Tipps

    Addiere zunächst $x^\frac16$.

    Schreibe auf beiden Seiten der Gleichung die Potenzen als Wurzeln.

    Potenziere die Gleichung mit dem größeren der beiden Wurzelexponenten.

    Du erhältst eine Gleichung vom Grad 4 in $x$, bei welcher $x$ ausgeklammert werden kann.

    Lösung

    Zur Lösung der Gleichung

    $2 x^ \frac23-x^ \frac16 = 0$

    kann man zunächst $x^\frac16$ addieren zu

    $2 x^ \frac23=x^ \frac16$.

    Auf beiden Seiten der Gleichung können die Potenzen als Wurzeln geschrieben werden.

    $2\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[6]x$.

    Der Wurzelexponent auf der linken Seite ist $3$, der auf der rechten $6$. Es wird mit dem höheren der beiden Wurzelexponenten potenziert, dieser ist $6$:

    $2^6 \cdot x^4=x$.

    Nun kann $x$ subtrahiert und ausgeklammert werden:

    $x(64x^3-1)=0$.

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist

    • enweder $x_1=0$
    • oder $64x^3-1=0$, also $64x^3=1$ oder $x^3=\frac1{64}$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man eine weitere Lösung $x_2=\frac14=0,25$.
    Bei Wurzelgleichungen – und um eine solche handelt es sich hier – muss man eine Probe mit den gefundenen Lösungen durchführen:
    • $x_1=0$: $2\cdot 0^ \frac23-0^ \frac16 = 0$ $\surd$
    • $x_2=0,25$: $2\cdot 0,25^ \frac23-0,25^ \frac16 = 0$ $\surd$

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