Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen Übung

• Beschreibe, was eine Potenz mit einem rationalen Exponenten ist.

  Tipps

  Potenzen mit rationalen Exponenten kann man als Wurzeln schreiben.

  Ist $\sqrt x$ für jedes beliebige $x$ definiert?

  Eine rationale Zahl ist eine Bruchzahl: Im Zähler und im Nenner stehen ganze Zahlen.

  Lösung

  Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten sind definiert als

  $x^{\frac mn}=a$.

  Es muss $x\ge 0$ gelten. Sowohl $m$ als auch $n$ sind ganze Zahlen.

  Zur Lösung von Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten wird das folgende Potenzgesetz verwendet:

  $x^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.

• Bestimme die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Es gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

  Die Umkehrung vom Ziehen der n-ten Wurzel ist das Potenzieren mit $n$.

  Die Umkehrung des Potenzierens mit $n$ ist das Ziehen der n-ten Wurzel.

  Lösung

  Bei dieser Gleichung

  $x^{-\frac35}=a$

  liegt ein negativer rationaler Exponent vor. Zunächst wird ein Potenzgesetz für negative Exponenten angewendet: $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

  $\frac1{x^{\frac 35}}=a$.

  Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

  $\begin{align*} \frac1{x^{\frac 35}}&=a&|&\cdot x^{\frac 35}\\ 1&=a\cdot x^{\frac 35}&|&:a\\ \frac 1a&=x^{\frac 35}. \end{align*}$

  Nun wird zunächst mit $5$ potenziert zu

  $\left(\frac 1a\right)^5=x^3$

  und dann die dritte Wurzel gezogen:

  $\sqrt[3]{\left(\frac 1a\right)^5}=x$.

• Stelle die Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln dar.

  Tipps

  Verwende $a^\frac mn=\sqrt[n]{x^m}$.

  Bei negativem Exponenten gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

  Schreibe zuerst den negativen Exponenten um.

  Lösung

  Um Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln zu schreiben, verwendet man das folgende Potenzgesetz:

  $a^\frac mn=\sqrt[n]{x^m}$.

  Bei negativen Exponenten wird zusätzlich noch

  $a^{-n}=\frac 1{a^n}$

  verwendet.

  • $a^\frac32=\sqrt{a^3}$
  • $a^\frac23=\sqrt[3]{a^2}$
  • $a^{-\frac32}=\frac1{a^\frac32}=\frac1{\sqrt{a^3}}$
  • $a^{-\frac23}=\frac1{a^\frac23}=\frac1{\sqrt[3]{a^2}}$

• Gib zu jeder der Potenzgleichungen die Lösung an.

  Tipps

  Es gilt

  • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$ sowie
  • $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Um die n-te Wurzel aufzulösen, potenziert man mit $n$.

  Um die eine Potenz mit $n$ umzuformen, zieht man die n-te Wurzel.

  Lösung

  Potenzen mit ganzrationalen Exponenten können als Wurzel geschrieben werden:

  $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.

  • $x^\frac32=8$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\sqrt{x^3}=8$. Zunächst wird die Gleichung quadriert zu $x^3=64$ und dann die dritte Wurzel gezogen zu $x=4$.
  • $x^{-\frac32}=8$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\frac1{x^{\frac32}}=\frac1{\sqrt{x^3}}=8$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\sqrt{x^3}=\frac18$. Zunächst wird die Gleichung quadriert zu $x^3=\frac1{64}$ und dann die dritte Wurzel gezogen zu $x=\frac14$.
  • $x^\frac23=4$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\sqrt[3]{x^2}=4$. Zunächst wird die Gleichung mit drei potenziert zu $x^2=64$ und dann die Wurzel gezogen zu $x=8$.
  • $x^{-\frac23}=4$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\frac1{\sqrt[3]{x^2}}=4$. Wenn auf beiden Seiten der Kehrwert gebildet wird, erhält man $\sqrt[3]{x^2}=\frac14$. Zunächst wird die Gleichung mit drei potenziert zu $x^2=\frac1{64}$ und dann die Wurzel gezogen zu $x=\frac18$.

• Ergänze die Erklärung zu Potenzgleichungen.

  Tipps

  Bei einer Potenz wird die Basis potenziert. Die Basis ist der Term oder die Zahl, welche unten steht.

  Potenziert wird die Basis mit dem Term oder der Zahl, welche oben, im Exponenten, steht.

  Lösung

  Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form

  $x^n=a$.

  Man kann unterscheiden zwischen Potenzgleichungen

  • mit natürlichen und
  • mit rationalen Exponenten.

• Arbeite die Lösung der Potenzgleichung heraus.

  Tipps

  Addiere zunächst $x^\frac16$.

  Schreibe auf beiden Seiten der Gleichung die Potenzen als Wurzeln.

  Potenziere die Gleichung mit dem größeren der beiden Wurzelexponenten.

  Du erhältst eine Gleichung vom Grad 4 in $x$, bei welcher $x$ ausgeklammert werden kann.

  Lösung

  Zur Lösung der Gleichung

  $2 x^ \frac23-x^ \frac16 = 0$

  kann man zunächst $x^\frac16$ addieren zu

  $2 x^ \frac23=x^ \frac16$.

  Auf beiden Seiten der Gleichung können die Potenzen als Wurzeln geschrieben werden.

  $2\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[6]x$.

  Der Wurzelexponent auf der linken Seite ist $3$, der auf der rechten $6$. Es wird mit dem höheren der beiden Wurzelexponenten potenziert, dieser ist $6$:

  $2^6 \cdot x^4=x$.

  Nun kann $x$ subtrahiert und ausgeklammert werden:

  $x(64x^3-1)=0$.

  Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist

  • enweder $x_1=0$
  • oder $64x^3-1=0$, also $64x^3=1$ oder $x^3=\frac1{64}$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man eine weitere Lösung $x_2=\frac14=0,25$.

  Bei Wurzelgleichungen – und um eine solche handelt es sich hier – muss man eine Probe mit den gefundenen Lösungen durchführen:

  • $x_1=0$: $2\cdot 0^ \frac23-0^ \frac16 = 0$ $\surd$
  • $x_2=0,25$: $2\cdot 0,25^ \frac23-0,25^ \frac16 = 0$ $\surd$