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Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

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Aline Mittag

Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen

In diesem Video werden wir uns speziell mit Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten beschäftigen. Nachdem wir kurz noch einmal das Thema Potenzgleichungen allgemein wiederholt haben, steigen wir in jene mit rationalen Exponenten ein. Dazu schauen wir uns zunächst die Definition und deren Merkmale an und untersuchen danach an Fallbespielen die unterschiedlichen Lösungen und wie man sie berechnet.

Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Potenz mit einem rationalen Exponenten ist.

    Tipps

    Potenzen mit rationalen Exponenten kann man als Wurzeln schreiben.

    Ist $\sqrt x$ für jedes beliebige $x$ definiert?

    Eine rationale Zahl ist eine Bruchzahl: Im Zähler und im Nenner stehen ganze Zahlen.

    Lösung

    Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten sind definiert als

    $x^{\frac mn}=a$.

    Es muss $x\ge 0$ gelten. Sowohl $m$ als auch $n$ sind ganze Zahlen.

    Zur Lösung von Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten wird das folgende Potenzgesetz verwendet:

    $x^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.

  • Bestimme die Lösung der Potenzgleichung.

    Tipps

    Es gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    Die Umkehrung vom Ziehen der n-ten Wurzel ist das Potenzieren mit $n$.

    Die Umkehrung des Potenzierens mit $n$ ist das Ziehen der n-ten Wurzel.

    Lösung

    Bei dieser Gleichung

    $x^{-\frac35}=a$

    liegt ein negativer rationaler Exponent vor. Zunächst wird ein Potenzgesetz für negative Exponenten angewendet: $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    $\frac1{x^{\frac 35}}=a$.

    Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} \frac1{x^{\frac 35}}&=a&|&\cdot x^{\frac 35}\\ 1&=a\cdot x^{\frac 35}&|&:a\\ \frac 1a&=x^{\frac 35}. \end{align*}$

    Nun wird zunächst mit $5$ potenziert zu

    $\left(\frac 1a\right)^5=x^3$

    und dann die dritte Wurzel gezogen:

    $\sqrt[3]{\left(\frac 1a\right)^5}=x$.

  • Stelle die Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln dar.

    Tipps

    Verwende $a^\frac mn=\sqrt[n]{x^m}$.

    Bei negativem Exponenten gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    Schreibe zuerst den negativen Exponenten um.

    Lösung

    Um Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln zu schreiben, verwendet man das folgende Potenzgesetz:

    $a^\frac mn=\sqrt[n]{x^m}$.

    Bei negativen Exponenten wird zusätzlich noch

    $a^{-n}=\frac 1{a^n}$

    verwendet.

    • $a^\frac32=\sqrt{a^3}$
    • $a^\frac23=\sqrt[3]{a^2}$
    • $a^{-\frac32}=\frac1{a^\frac32}=\frac1{\sqrt{a^3}}$
    • $a^{-\frac23}=\frac1{a^\frac23}=\frac1{\sqrt[3]{a^2}}$

  • Gib zu jeder der Potenzgleichungen die Lösung an.

    Tipps

    Es gilt

    • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$ sowie
    • $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Um die n-te Wurzel aufzulösen, potenziert man mit $n$.

    Um die eine Potenz mit $n$ umzuformen, zieht man die n-te Wurzel.

    Lösung

    Potenzen mit ganzrationalen Exponenten können als Wurzel geschrieben werden:

    $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.

    • $x^\frac32=8$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\sqrt{x^3}=8$. Zunächst wird die Gleichung quadriert zu $x^3=64$ und dann die dritte Wurzel gezogen zu $x=4$.
    • $x^{-\frac32}=8$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\frac1{x^{\frac32}}=\frac1{\sqrt{x^3}}=8$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\sqrt{x^3}=\frac18$. Zunächst wird die Gleichung quadriert zu $x^3=\frac1{64}$ und dann die dritte Wurzel gezogen zu $x=\frac14$.
    • $x^\frac23=4$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $\sqrt[3]{x^2}=4$. Zunächst wird die Gleichung mit drei potenziert zu $x^2=64$ und dann die Wurzel gezogen zu $x=8$.
    • $x^{-\frac23}=4$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\frac1{\sqrt[3]{x^2}}=4$. Wenn auf beiden Seiten der Kehrwert gebildet wird, erhält man $\sqrt[3]{x^2}=\frac14$. Zunächst wird die Gleichung mit drei potenziert zu $x^2=\frac1{64}$ und dann die Wurzel gezogen zu $x=\frac18$.

  • Ergänze die Erklärung zu Potenzgleichungen.

    Tipps

    Bei einer Potenz wird die Basis potenziert. Die Basis ist der Term oder die Zahl, welche unten steht.

    Potenziert wird die Basis mit dem Term oder der Zahl, welche oben, im Exponenten, steht.

    Lösung

    Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form

    $x^n=a$.

    Man kann unterscheiden zwischen Potenzgleichungen

    • mit natürlichen und
    • mit rationalen Exponenten.

  • Arbeite die Lösung der Potenzgleichung heraus.

    Tipps

    Addiere zunächst $x^\frac16$.

    Schreibe auf beiden Seiten der Gleichung die Potenzen als Wurzeln.

    Potenziere die Gleichung mit dem größeren der beiden Wurzelexponenten.

    Du erhältst eine Gleichung vom Grad 4 in $x$, bei welcher $x$ ausgeklammert werden kann.

    Lösung

    Zur Lösung der Gleichung

    $2 x^ \frac23-x^ \frac16 = 0$

    kann man zunächst $x^\frac16$ addieren zu

    $2 x^ \frac23=x^ \frac16$.

    Auf beiden Seiten der Gleichung können die Potenzen als Wurzeln geschrieben werden.

    $2\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[6]x$.

    Der Wurzelexponent auf der linken Seite ist $3$, der auf der rechten $6$. Es wird mit dem höheren der beiden Wurzelexponenten potenziert, dieser ist $6$:

    $2^6 \cdot x^4=x$.

    Nun kann $x$ subtrahiert und ausgeklammert werden:

    $x(64x^3-1)=0$.

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist

    • enweder $x_1=0$
    • oder $64x^3-1=0$, also $64x^3=1$ oder $x^3=\frac1{64}$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man eine weitere Lösung $x_2=\frac14=0,25$.
    Bei Wurzelgleichungen – und um eine solche handelt es sich hier – muss man eine Probe mit den gefundenen Lösungen durchführen:
    • $x_1=0$: $2\cdot 0^ \frac23-0^ \frac16 = 0$ $\surd$
    • $x_2=0,25$: $2\cdot 0,25^ \frac23-0,25^ \frac16 = 0$ $\surd$

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