Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten lösen

Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten lösen Übung

• Gib die Lösung der Potenzgleichung an.

  Tipps

  Eine Potenz löst man immer mit der passenden Wurzel auf:

  $x^2 \to \sqrt{~}$

  $x^3 \to \sqrt[3]{~}$

  Überlege, ob und wie viele Lösungen diese Gleichung haben kann und beachte das Vorzeichen.

  Lösung

  Zum Lösen dieser Potenzgleichung ziehen wir die dritte Wurzel.

  Wir erhalten $x=-4$

  Doch kann das Ergebnis einer Wurzel negativ sein? Wir machen die Probe.

  $(-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64$

  Unsere Lösung ist korrekt.

  Merke: Ist das a unserer Potenzgleichung negativ, der Exponent aber ungerade, erhalten wir trotz Wurzelziehen ein Ergebnis.

• Ergänze die Eigenschaften der Potenzgleichungen.

  Tipps

  Um eine Potenzgleichung zu lösen, welche $2$ als Exponent besitzen, zieht man die zweite Wurzel.

  Aus welchen Zahlen darf bzw. kann man keine Wurzel ziehen?

  Führe die Probe durch und achte dabei besonders auf die Vorzeichen.

  Bei Pozentgleichungen mit $3$ als natürlichem Exponenten muss man die dritte Wurzel ziehen und bei der Probe entsprechend das Ergebnis drei Mal mit sich selbst multiplizieren.

  Lösung

  Gehen wir diese Aufgaben Schritt für Schritt durch.

  Die erste Aufgabe ist eine quadratische Gleichung, hier ziehen wir die Wurzel und erhalten so zwei Lösungen.

  Damit erhalten wir $x=8$ oder $x=-8$, denn bei der Probe sehen wir:

  $\begin{align} 8 \cdot 8 &= 64 \\ (-8) \cdot (-8) &= 64 \end{align}$

  Ist der Exponent ungerade, so wie bei $x^3=64$, dann gibt es nur eine Lösung.

  $x=4$, denn $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

  Merke: Ist das Ergebnis der Potenzgleichung also das a null, so ist auch unser $x$ (egal ob der Exponent gerade oder ungerade ist) ebenfalls null.

  Nun zu einem negativen a:

  Bei Gleichungen mit einem geraden Exponenten und einem negativen a, so wie bei

  $x^2 = -64$

  lässt sich keine gerade Wurzel ziehen. Bei ungeraden Exponenten ist das anders.

  Merke: Bei geraden Exponenten und einem negativen a erhält man keine Lösung.

• Bilde die richtigen Paare.

  Tipps

  Ist der Exponent gerade und a positiv, erhältst du zwei Ergebnisse.

  Ist der Exponent ungerade erhältst du immer ein Ergebnis, auch bei einem negativen a.

  Indem man durch den Faktor vor dem $x$ teilt, kann man die Potenzgleichung in die allgemeine Form $x^n=a$ bringen und sie dann lösen.

  Lösung

  Bestimmen wir die Ergebnisse nacheinander.

  $\begin{align} 2x^2 &= 8 &|& :2 \\ x^2 &= 4 &|& \sqrt{~} \\ \end{align}$

  Wir erhalten $x=2$ und $x=-2$

  Hier haben wir die Gleichung in die allgemeine Form gebracht und sie dann gelöst. Weiter mit der nächsten:

  $\begin{align} x^3 &= -27 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= -3 \end{align}$

  Wir überprüfen das Ergebnis:

  $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$

  Nun zur nächsten Gleichung:

  $\begin{align} -4x^3 &= 32 &|& :(-4) \\ x^3 &= -8 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= -2 \end{align}$

  Auch hier haben wir die Gleichung gelöst, nachdem wir sie in die allgemeine Form gebracht haben.

  Weiter mit der letzten Gleichung:

  $\begin{align} 6x^2 &= 96 &|& :6 \\ x^2 &= 16 &|& \sqrt{~} \\ \end{align}$

  Hier erhalten wir, wie bei der ersten Gleichung, zwei Ergebnisse.

  $x=4$ und $x=-4$

• Berechne die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Ist der Exponent ungerade, so gibt es in jedem Fall eine Lösung (wenn es während der Rechnung zu keinem Widerspruch kommt).

  Versuche die Gleichung in folgende Form zu bringen bevor du sie löst:

  $x^n=a$

  Das Ergebnis erreichst du im letzten Schritt durch das Ziehen der dritten Wurzel.

  Lösung

  Berechnen wir hier die Lösung Schritt für Schritt.

  Zunächst versuchen wir die Summanden mit der Variable nach links und die übrigen nach rechts zu bringen.

  Dann formen wir die Gleichung so um, dass sie in der Form

  $x^n=a$ steht.

  Zum Schluss ziehen wir die Wurzel und prüfen das Ergebnis.

  $\begin{align} 6x^3 + 74 &= -6x^3 + 14 &|& +6x^3 \\ 12x^3 + 74 &= 14 &|& -74 \\ 12x^3 &= -60 &|& :12 \\ x^3 &= -5 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= -1,709976 \\ x &\approx -1,71 \end{align}$

  Probe:

  $(-1,71) \cdot (-1,71) \cdot (-1,71) = -5,000211 \approx -5$

• Benenne die Potenzgleichungen mit natürlichem Exponenten.

  Tipps

  Die allgemeine Form ist:

  $x^n=a$

  Natürliche Exponenten sind natürliche, also positive ganze Zahlen.

  Lösung

  Wir betrachten in dieser Übung Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten.

  Daher ist es genauso wichtig, sie zu erkennen, wie sie lösen zu können.

  Natürliche Exponenten sind ganze Zahlen, die größer sind als Null $(1, 2, 3, 4, ...)$

  Negative oder Bruchzahlen gehören nicht dazu. Somit kommen

  $x^{-4}=16$ und

  $2x^{\frac{2}{3}} = 18$ nicht in Frage.

  Was ist mit den Übrigen? Die allgemeine Form einer Potenzgleichung sieht so aus:

  $x^n=a$

  Damit zählt $x^2=81$ zu den gesuchten Gleichungen.

  Was aber ist mit

  $4x^4=80$ und

  $3x^4=74$?

  Auch sie gehören dazu. Denn vor dem $x$ kann immer ein Faktor stehen. Teilt man durch diesen, so erhält man die Potenzgleichung in ihrer allgemeinen Form und kann sie lösen.

• Ermittle die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Auch wenn es nicht so aussieht, ist dies eine Potenzgleichung mit natürlichem Exponenten.

  Versuche sie in diese Form zu bringen:

  $x^n=a$

  Da es sich um einen ungeraden Exponenten handelt, erhältst du genau ein Ergebnis.

  Lösung

  In diesem Beispiel müssen wir zuerst den Bruch auflösen und dann die Summanden mit der Variable auf die linke Seite der Gleichung bringen. Alle übrigen Summanden kommen auf die rechte Seite.

  Wenn wir es schaffen, die Gleichung in die Form

  $x^n=a$

  zu bringen, können wir sie mit Hilfe der dritten Wurzel lösen.

  $\begin{align} \frac{2x^3 + 5}{-6} &= x^3 + 20 &|& \cdot (-6) \\ 2x^3 + 5 &= -6x^3 - 120 &|&+6x^3 \\ 8x^3 + 5 &= -120 &|&-5 \\ 8x^3 &= -125 &|&:8 \\ x^3 &= -15,625 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= -2,5 \\ \end{align}$