Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften Übung

• Fasse Eigenschaften der Hyperbeln mit geradem Exponenten zusammen.

  Tipps

  Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.

  Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Funktionsgraph anschmiegt, sie aber nie berührt oder schneidet.

  Lösung

  Hyperbeln sind die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich diese Graphen.

  Wir betrachten den Fall, dass der Exponent gerade ist. Als Beispiel können wir folgende Funktionsgleichung betrachten:
  $f(x)=x^{-2}$
  Ihren Funktionsgraphen siehst du in der Abbildung.

  Der Funktionsgraph besteht aus zwei Hyperbelästen. Dies können wir an dem abgebildeten Graphen erkennen. Die beiden Hyperbeläste verlaufen achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Außerdem verlaufen sie durch die Punkte $(1 \vert 1)$ und $(-1 \vert 1)$, jedoch nicht durch den Punkt $(-1 \vert -1)$.

  Im Bereich der negativen $x$-Werte ist der Graph monoton steigend und für positive $x$-Werte monoton fallend.

  Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte wir in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen. In unserem Fall dürfen wir alle Zahlen einsetzen, außer der $0$. Wir können dies begründen, indem wir die Funktionsgleichung als Bruch schreiben: $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$. Wenn wir für $x=0$ einsetzen würden, müssten wir durch $0$ dividieren. Dies ist jedoch in der Mathematik nicht erlaubt. Der Definitionsbereich umfasst daher alle reellen Zahlen, außer der $0$. Wir schreiben: $\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$. Den Wert $x = 0$, welchen wir nicht einsetzen dürfen, nennen wir Definitionslücke.

  Der Wertebereich gibt an, welche Funktionswerte die Funktion annehmen kann. Wir sehen, dass der Graph vollständig oberhalb der $x$-Achse verläuft. Das bedeutet, es werden nur positive Funktionswerte angenommen. Wir schreiben: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$

  Asymptoten sind Geraden, an welche sich der Graph anschmiegt, sie dabei jedoch nie berührt oder schneidet. Die Hyperbel als Graph von Potenzfunktionen mit negativem, geradem Exponenten hat zwei Asymptoten: Die $y$-Achse ist senkrechte Asymptote, die $x$-Achse ist waagerechte Asymptote einer Hyperbel.

• Beschreibe Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten.

  Tipps

  Eine Funktionsgleichung zu einer solchen Hyperbel lautet zum Beispiel $f(x)=x^{-3}$.

  Definitionslücken sind Werte, die nicht für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.

  Lösung

  Hyperbeln sind die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich diese Graphen.

  Wir betrachten den Fall, dass der Exponent ungerade ist. Als Beispiel betrachten wir die folgende Funktionsgleichung:
  $f(x)=x^{-1}$
  Ihren Funktionsgraphen siehst du in der Abbildung.

  Der Funktionsgraph besteht aus zwei Hyperbelästen, die wir an dem abgebildeten Graphen erkennen können. Die beiden Hyperbeläste verlaufen punktsymmetrisch zum Ursprung und durch die Punkte $(1 \vert 1)$ und $(-1 \vert -1)$.

  Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte wir in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen. In unserem Fall dürfen wir alle Zahlen einsetzen, außer der $0$. Wir können dies begründen, indem wir die Funktionsgleichung als Bruch schreiben: $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$. Wenn wir für $x=0$ einsetzen würden, müssten wir durch $0$ dividieren, dies ist jedoch in der Mathematik nicht erlaubt. Das heißt, der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, außer der $0$. Wir schreiben: $\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$. Den Wert, welchen wir nicht einsetzen dürfen, nennen wir Definitionslücke.

  Der Wertebereich gibt an, welche Funktionswerte die Funktion annehmen kann. Wir sehen im Graphen, dass dieser oberhalb und unterhalb der $x$-Achse verläuft. Die $x$-Achse berührt der Graph allerdings nie. Daher kann die Funktion alle reellen Zahlen außer $0$ als Funktionswerte annehmen. Wir schreiben: $\mathbb{W}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$

• Ordne jedem Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

  Tipps

  Lösung

  Je nachdem, ob der Exponent einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich die zugehörigen Hyperbeln:

  • Ist der Exponent gerade, so verlaufen die Hyperbeläste oberhalb der $x$-Achse, sie sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Ist der Exponent ungerade, so verlaufen die Hyperbeläste oberhalb und unterhalb der $x$-Achse, sie sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

  Wir können daher die gegebenen Funktionsgleichungen aufteilen:

  • $g(x)$ und $h(x)$ gehören zu dem roten und blauen Graphen.
  • $f(x)$ und $j(x)$ gehören zu dem grünen und gelben Graphen.

  Um die beiden Funktionen jeweils zu unterscheiden, gilt folgender Zusammenhang: Je kleiner der Exponent ist, umso stärker schmiegt sich der Graph an die Asymptoten an.

  Der Funktionsgraph von $h(x)=x^{-3}$ schmiegt sich stärker an die $x$- und $y$-Achse an als der Graph von $g(x)=x^{-1}$, da $-3 \lt -1$. Daher gilt:

  • $g(x)$: roter Graph
  • $h(x)$: blauer Graph

  Der Funktionsgraph von $j(x)=x^{-6}$ schmiegt sich stärker an die $x$- und $y$-Achse an als der Graph von $f(x)=x^{-2}$, da $-6 \lt -2$. Daher gilt:

  • $j(x)$: gelber Graph
  • $f(x)$: grüner Graph

• Beschreibe den Graphen, der zu der angegebenen Funktion gehört.

  Tipps

  Du solltest zuerst kategorisieren, ob die Hyperbeläste achsensymmetrisch zu $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen. Dies kannst du am Exponenten erkennen.

  Der Graph hat eine senkrechte und eine waagerechte Asymptote.

  Lösung

  Hyperbeln sind die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich diese Graphen.

  Wir betrachten den Fall, dass der Exponent $-8$, also gerade, ist:
  $f(x)=x^{-8}$
  Ihren Funktionsgraphen siehst du in der Abbildung. Wir können den Graphen folgendermaßen beschreiben:

  Der Funktionsgraph besteht aus zwei Hyperbelästen, die wir in der Abbildung erkennen können. Die beiden Hyperbeläste verlaufen achsensymmetrisch zur $y$-Achse und durch die Punkte $(1 \vert 1)$ und $(-1 \vert 1)$.

  Die Funktion nimmt nur positive Funktionswerte an, der Graph verläuft also oberhalb der $x$-Achse. Wir können auch sagen: Die Hyperbeläste liegen im $\text{I}.$ und $\text{II}.$ Quadranten. Dies wird durch den Wertebereich beschrieben, wir schreiben: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$

  Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte wir in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen: Nämlich alle Zahlen, außer der $0$. Wir können dies begründen, indem wir die Funktionsgleichung als Bruch schreiben: $f(x)=x^{-8}=\frac{1}{x^8}$. Wenn wir für $x=0$ einsetzen würden, müssten wir durch $0$ dividieren, dies ist jedoch in der Mathematik nicht erlaubt.
  Wir schreiben: $\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$
  Den Wert $x = 0$, den wir nicht einsetzen dürfen, nennen wir Definitionslücke.

  Asymptoten sind Geraden, an welche sich der Graph anschmiegt, sie jedoch nie berührt oder schneidet. Die abgebildete Hyperbel hat zwei Asymptoten: Die $y$-Achse ist die senkrechte Asymptote, die $x$-Achse ist die waagerechte Asymptote der Hyperbel.

• Stelle den Term in einer anderen Schreibweise dar.

  Tipps

  Allgemein gilt: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

  $3^{-4}=\frac{1}{3^4}$

  Lösung

  Eine Potenz mit einem negativen Exponenten können wir als Bruch schreiben. Allgemein gilt:
  $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$
  Wir können dies auch an einem Beispiel betrachten:
  Beispiel: $3^{-2}=\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

  Für die Beispiele in der Aufgabe ergeben sich damit folgende Gleichungen:

  • $x^{-1}=\frac{1}{x^1}=\frac{1}{x}$
  • $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$
  • $x^{-4}=\frac{1}{x^4}$
  • $x^{-5}=\frac{1}{x^5}$
  • $x^{-6}=\frac{1}{x^6}$

• Ermittle die Funktionsgleichung der verschobenen Hyperbel.

  Tipps

  Überlege dir zunächst, wie der Graph verschoben wurde und welchen Funktionsterm die Hyperbel ursprünglich hatte.

  Die Hyperbel wurde um eine Einheit nach oben verschoben. Das heißt, jeder Funktionswert ist um $1$ größer.

  Lösung

  Die abgebildete Hyperbel ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Die Funktionsgleichung muss daher eine Potenzfunktion mit negativem, geradem Exponenten sein. Wir können damit die Funktionsgleichungen $f_3(x)$ und $f_5(x)$ ausschließen.

  Die Hyperbel ist um eine Einheit nach oben verschoben. Das heißt, jeder Funktionswert ist um $1$ erhöht. Der Funktionsterm muss daher folgende Form haben: $x^{-n}+1$. Damit bleibt der Term $f_2(x)$, welche zu dem abgebildeten Graphen der verschobenen Hyperbel gehört:

  $f_2(x)=x^{-2}+1$

  Hinweis: Wird eine Zahl bei $x$ in Klammern addiert bzw. subtrahiert, wie bei $f_1(x)$ und $f_6(x)$, so bewirkt dies eine Verschiebung des ursprünglichen Graphen in Richtung der $x$-Achse, also nach links bzw. rechts.