30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Bewertung

Ø 4.4 / 9 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Hallo und herzlich willkommen zu meinem Video zu den periodischen Funktionen. Wenn man „ periodisch “ beim Duden nachschlägt, so erhält man die Erklärung: „ in gleichen Abständen, regelmäßig [auftretend] … “. Ebenso lässt sich der Begriff in der Mathematik anwenden. In diesem Video werde ich dir periodische Funktionen vorstellen. Die Definition lautet hierfür: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl p gibt, so dass für alle reellen Zahlen x gilt: f(x + p) = f(x). Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft heißt Periode.

Transkript Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Hallo! Hier auf dieser gelben Folie steht die Definition einer periodischen Funktion. Sie lautet: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl p gibt, sodass für alle reelle Zahlen gilt: f(x+p)=f(x). Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft heißt Periode. Nun das ist vielleicht eine etwas sperrige Definition. Ich zeige sie am Ende nochmal und möchte in der Zwischenzeit das Mal mit einem Beispiel mit etwas Leben füllen. Mario Barth hat mal gesagt: "Männer sind zwar primitiv, aber glücklich". U.a. festgemacht hat er das am Kleidungsverhalten eines Mannes bezüglich der gefühlten Außentemperatur. Das geht so: draußen kalt- Jacke an. Draußen warm- Jacke aus. Wenn nun eine Frau wissen möchte, wann, zu welchem Zeitpunkt im Jahr ihr Mann eine Jacke tragen wird, dann kann man das für die Frau ganz einfach darstellen. Ich sage das deshalb aus Perspektive der Frau, weil ein Mann ja weiß, ob er eine Jacke an hat oder nicht. Sollten ihn gewisse Umstände daran hindern das zu wissen, dann ist es sowieso egal. Hier haben wir ein Koordinatensystem. Ich lege fest, hier ist eine 1. Das soll die Zeitspanne eines Jahres veranschaulichen. Hier ist auch eine 1 und hier ist eine -1. Jetzt kann man das in Viertel einteilen. Hier ist die 1. Hälfte, da ist die 2. Hälfte. Hier haben wir das 1. Viertel, 2. Viertel, 3. Viertel, 4. Viertel. Also haben wir hier den x-Wert 0,25. Hier ist 0,5 und da ist 0,75. Ja es ist vielleicht nicht ganz so groß geschrieben, aber ich hoffe, es ist sichtbar. Jetzt möchte ich mal eine Funktion einzeichnen. Wir nehmen an im 1. Viertel eines Jahres ist Winter. Da zieht der Mann die Jacke an. Also haben wir hier den Funktionswert bei 1. Im 2. Viertel und im 3. Viertel hat der Mann keine Jacke an und deshalb ist hier der Funktionswert bei -1. Im letzten Viertel hat der Mann wieder seine Jacke an. Also letztes Viertel ist 1. Bis Ende des Jahres hat der Mann die Jacke an. Diese Funktion hier, die jetzt ein bisschen herumspringt, sie hat Sprungstellen, gibt an, wann der Mann die Jacke anhat bzw. sie gibt das Bekleidungsverhalten des Mannes an. Man ahnt es schon, das ist jedes Jahr gleich. Man kann sich hier jetzt auch das Jahr 2 vorstellen (um das mal so ähnlich zu machen). Hier wieder die Hälfte. Jede Hälfte besteht aus 2/4. Das ist mir nicht ganz gelungen, aber ist auch nicht so wichtig. Im 1. Viertel hat der Mann die Jacke an. Machen wir die Einteilung hier, ist die 1. In den nächsten beiden Vierteln hat er die Jacke aus. In dem darauf folgenden Viertel hat er die Jacke wieder an. Das wird auch weiter so sein, also auch hier hinten. Nach dem 2. Jahr wird das so sein und da geht es immer weiter. Es war auch schon immer so, übrigens. Zumindest kann man das so empfinden, dass es schon immer so war. Rein mathematisch kann es nicht immer so sein, weil kein Mann der Welt schon ewig gelebt hat. Voriges Jahr (ich muss das hier einteilen) hatte der Mann im ersten Viertel des Jahres die Jacke an. In den nächsten beiden Vierteln hatte er die Jacke aus und danach hatte er die Jacke wieder an. Das geht hier genauso weiter. Das teile ich jetzt nicht nochmal alles ein. Ich glaube es ist klar geworden, wie die Jacke hier so verläuft. Wir haben somit jetzt eine Funktion bekommen, die sich wiederholt. Jetzt kann man nochmal diese Definition dazunehmen und mal gucken, was das jetzt bedeutet. Also wir können jetzt eine Zahl p finden für die gilt, das f(x+p)=f(x). Diese Zahl ist, da es hier um ganze Jahre geht, schlauerweise die 1. Wenn ich jetzt  bei x 0,5 einsetze, dann erhalte ich den gleichen  Funktionswert wie an der Stelle 0,5+1. Es ist ja jedes Jahr wieder so, dass in der Mitte des Jahres der Mann die Jacke aus hat. Also der Funktionswert bei 0,5=-1. Der Funktionswert bei 0,5+1 ist auch -1. Das gilt für alle Funktionswerte. Wir können auch mal 0,2 einsetzen. Das ist im 1. Viertel des Jahres, das der Mann die Jacke anhat. Da ist der Funktionswert +1. Also f(0,2)=1 und f(0,2+1)=1=der Mann hat die Jacke an. Jetzt ist hier davon die Rede, das p eine positive Zahl sein soll, damit das p Periode sein kann. Vielleicht ist ja aus anschaulichen Gründen nicht weiter überraschend, dass man für p hier auch eine negative Zahl einsetzen kann.Dann wäre der Funktionswert bei 0,5 der gleiche wie bei 0,5-1. Das ist also hier. Wir sehen, beides mal ist der Funktionswert gleich. Das ist natürlich möglich eine negative Zahl hier einzusetzen. Aber man hat sich darauf geeinigt, das man positive Zahlen als Periode bezeichnet. Einfach deshalb, damit man verschiedene periodische Funktionen besser vergleichen kann. Das ist ein großes Thema, das man periodische Funktionen miteinander vergleichen möchte und deshalb hat man sich darauf geeinigt eine positive Zahl zu verwenden, dann wird die ganze Sache einfacher. Es soll außerdem die kleinste positive Zahl sein. Nun hier kann man das vielleicht auch sehen. Ich nehme wieder den Funktionswert bei 0,5. Wenn ich den vergleiche mit 0,5+2=2,5 dann habe ich auch den Funktionswert -1. Die Funktionswerte sind also an der Stelle gleich, aber hier möchte man den kleinsten positiven Wert haben, also das kleinste p für das gilt, das sich die Funktion dann wiederholt. Warum hat man das gemacht? Auch damit man eine gemeinsame Grundlage hat. Es ist uns auch aus dem Alltag geläufig, z.B. wenn ich einem Kind die Wochentage erklären möchte, dann werde ich auch nicht sagen, das sich der heutige Tag (heute ist Mittwoch) alle 14 Tage wiederholt. Das ist zwar richtig, das sich der alle 14 Tage wiederholt, aber sinnigerweise sage ich natürlich, das sich der jede Woche wiederholt (sonst würde ich da irgendwas verstellen). Also alle 7 Tage ist Mittwoch. Wir kennen das auch aus dem Alltag, das wir auch immer die kleinste Zeitspanne nehmen, oder die kleinste Angabe, ab der sich etwas wiederholt. Wenn sich etwas täglich wiederholt sagen wir auch nicht es wäre wöchentlich. Das wäre zwar auch richtig, das, wenn jeden morgen die Sonne aufgehen würde, dann wäre das nächste Woche auch so, aber es ist auch jeden Tag so. Deshalb würden wir sagen, das es jeden Tag so ist. Wir nehmen immer die kleinste Zeitspanne in solchen Angelegenheiten. Ja und ich glaube damit ist hier die Sache hinreichend abgearbeitet. Das ist hier nochmal die Definition. Letzten Endes sagt die aus, dass sich Funktionswerte wiederholen. Viel Spaß damit, tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Ein witziges Beispiel, illustriert aber wirklich gut was periodische Vorgänge sind

    Von Webersab, vor etwa 2 Jahren

Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere, was eine periodische Funktion ist.

    Tipps

    Dieser Graph zeigt eine periodische Funktion.

    Überprüfe die Definition an diesem Beispiel.

    Unter einer Periode versteht man einen Zeitraum, nach dem sich Werte wiederholen.

    Heute ist Freitag, in sieben Tagen ist wieder Freitag. Auch dies ist eine Periode, mit der Länge von sieben Tagen.

    Lösung

    Was versteht man unter einer periodischen Funktion?

    Eine Funktion $f$ heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl $p$ gibt, so dass für alle reellen Zahlen $x$ gilt

    $f(x+p)=f(x)$.

    Die kleinste positive Zahl $p$ mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion $f$.

  • Beschreibe, warum es sich bei dem Beispiel mit der Jacke um eine periodische Funktion handelt.

    Tipps

    Prüfe die Definition der Periodizität:

    Eine Funktion $f$ heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl $p$ gibt, so dass für alle reellen Zahlen $x$ gilt:

    $f(x+p)=f(x)$.

    Die kleinste positive Zahl $p$ mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion $f$.

    Beachte, dass man unter der Periode die kleinste Zahl versteht, die die obige Definition erfüllt.

    Wenn die Definition für ein $p$ erfüllt ist, dann sicherlich auch für jedes ganzzahlige Vielfache von $p$. Jedoch wird dieses ganzzahlige Vielfache nicht als Periode bezeichnet.

    Lösung

    Wenn man sich dieses Beispiel anschaut, kann man schon an den farbigen Balken erkennen, dass eine Regelmäßigkeit vorliegt.

    Auch die Beschreibung zeigt dies bereits an:

    • Im ersten Vierteljahr (Januar bis März) wird die Jacke angezogen.
    • In den kommenden beiden Vierteljahren (April bis Juni und Juli bis September) bleibt die Jacke zu Hause, sie wird also nicht angezogen.
    • Im vierten Vierteljahr (Oktober bis Dezember) aber wird sie wieder angezogen.
    Wenn man das immer wieder so tut und auch immer genau so gemacht hat, liegt ein periodisches Verhalten vor.

    Dies kann man sich auch mit der Definition der Periodizität vergegenwärtigen:

    Eine Funktion $f$ heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl $p$ gibt, so dass für alle reellen Zahlen $x$ gilt: $f(x+p)=f(x)$.

    Die kleinste positive Zahl $p$ mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion $f$.

    Da in jedem Jahr das Verhalten genau gleich ist, ist diese Zahl $p=1$. Auch $p=2$ gibt eine Periode an, allerdings wird hier die Definition gestört, wonach $p$ minimal sein soll, also kleinstmöglich.

    Es ist klar, dass ein Vorgang, der sich alle drei Tage wiederholt, sich auch in Abständen wiederholt, die ein ganzzahliges Vielfaches von drei sind. Trotzdem sagt man eher nicht, dass sich der Vorgang alle $12$ Tage wiederholt, sondern alle drei Tage.

    Also ist hier $p=1$. Es muss gelten $f(x+p)=x$ für jedes $x$.

    Schauen wir uns dies an einem Beispiel an:

    Das erste Viertel ist jeweils direkt hinter den ganzen Zahlen $-2$, $-1$, $0$ oder $1$. Der jeweilige Strich befindet sich bei „Jacke an“. Dies kann man ebenso bei den anderen Vierteln prüfen. Hier liegt also eine periodische Funktion vor mit der Periode $p=1$.

  • Bestimme die jeweilige Periode.

    Tipps

    Beachte, dass $p$ die kleinste Zahl ist, in der sich ein Vorgang wiederholt.

    Überlege dir jeweils, wie viele von der kleineren Einheit in die größere passen.

    Der kleine Sekundenzeiger muss einmal im Kreis herum sein, damit die nächste Minute beginnt. Die Periode, welche den Zusammenhang von Sekunde und Minute beschreibt, ist also $p=60$ Sekunden.

    Lösung

    Wenn man die Definition der Periodizität etwas anders formulieren möchte, könnte man sagen, dass sich etwas in immer gleichen Abständen wiederholt.

    Wenn heute Sonntag ist, dann ist in sieben Tagen wieder Sonntag und in weiteren sieben Tagen wiederum.

    Die Maßangaben bei Zeiten sind ein schönes Beispiel für Periodizität (regelmäßige Wiederkehr):

    • Der Zusammenhang von Tag zu Woche wird beschrieben durch die Periode $p=7$ Tage.
    • $60$ Minuten sind eine Stunde, also ist die Periode hier $p=60$ Minuten.
    • Jeder Tag besteht aus $24$ Stunden, dann beginnt wieder ein neuer Tag. Die Periode ist also $p=24$ Stunden.
    • Ein Jahr hat $52$ Wochen. Nach Ablauf der $52$ Wochen beginnt wieder ein neues Jahr. Hier ist $p=52$ Wochen.
    Die Wochen eines Jahres werden auch als Kalenderwochen bezeichnet. Dabei muss man jedoch beachten, dass je nachdem, an welchem Tag ein Jahr beginnt, ein Jahr durchaus $53$ Kalenderwochen hat. Dabei beinhaltet die erste Kalenderwoche ggf. noch Tage aus dem alten Jahr und die $53.$ bereits Tage aus dem kommenden Jahr. Kalenderwochen werden mit „KW“ abgekürzt. Diese Angaben findet man auch manchmal in einem Kalender.

  • Beschreibe den periodischen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der dargestellte Verlauf entspricht dem einer trigonometrischen Funktion. Die Periode ist erkennbar an dem Abstand zweier aufeinander folgender Maxima (oder auch Minima).

    Der minimale Wert ist $350~ cm$ und der maximale $650~ cm$. Die jeweiligen Funktionswerte sind für die Betrachtung der Periodizität nicht von Bedeutung, da sowohl die Minimal- als auch die Maximalwerte immer übereinstimmen.

    Periodizität bedeutet, dass immer gleiche Funktionswerte in gleichen Abständen auftauchen.

    Lösung

    Gemäß der Definition der Periodizität muss es mindestens ein $p$ geben, so dass

    $f(x+p)=f(x)$

    für alle reellen $x$ gilt. Der kleinste positive Wert solcher $p$ wird als Periode bezeichnet.

    Wenn man sich bei diesem Bild die höchsten Wasserstände anschaut bei $650 ~cm$, kann man feststellen, dass diese nach $6$ Stunden, $18$ Stunden und $30$ Stunden auftauchen, also alle $12$ Stunden.

    Dies ist auch bei den minimalen Werten ($350~ cm$) zu Beginn, nach $12$ Stunden, nach $24 $ Stunden und auch nach $36$ Stunden zu erkennen; also auch hier alle $12$ Stunden.

    Wenn man sich verschiedene andere Funktionswerte anschaut, dann gilt dies auch. Es liegt also eine periodische Funktion vor mit der Periode $p=12$ Stunden.

  • Gib an, was eine periodische Funktion auszeichnet.

    Tipps

    Beachte: Es sollte immer nur „Jacke an“ oder „Jacke aus“ geben.

    Es muss eine Periode $p$ geben, so dass $f(x+p)=f(x)$ ist.

    Ist dies nicht der Fall, liegt kein periodisches Verhalten vor.

    Die Periode ist hier $p=1$.

    Es stellt nur ein Graph ein periodisches Verhalten dar.

    Lösung

    Dieser Graph zeigt das periodische Verhalten.

    Warum erfüllen die anderen die Definition nicht?

    Eine Funktion $f$ heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl $p$ gibt, so dass für alle reellen Zahlen $x$ gilt

    $f(x+p)=f(x)$.

    Die kleinste positive Zahl $p$ mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion $f$.

    • Bei dem ersten Graphen hat der Mann echt große Probleme, da er während des zweiten Jahres im Frühling wie im Sommer sowohl die Jacke anhat als auch nicht. Das ist schwer vorstellbar.
    • Beim dritten Graphen hatte der Mann im kompletten letzten Jahr die Jacke an. Da dies aber ansonsten nicht der Fall ist, kann kein periodisches Verhalten vorliegen.
    • Beim vierten Graphen hatte der Mann vor zwei Jahren im Übergang vom Herbst zum Winter des letzten Jahres eine halbe Jacke an. Wie auch immer die verschobenen Linien interpretiert werden, an dieser Stelle wird die Regelmäßigkeit und damit die Periodizität durchbrochen.
  • Gib zu jeder der periodischen Funktionen die Periode an.

    Tipps

    Wenn du meinst, eine Periode erkannt zu haben, überprüfe diese mithilfe der Definition:

    Eine Funktion $f$ heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl $p$ gibt, so dass für alle reellen Zahlen $x$ die hier abgebildete Bedingung erfüllt ist.

    Die kleinste positive Zahl $p$ mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion $f$.

    Beachte, dass man unter der Periode die kleinste positive Zahl $p$ versteht.

    Mindestens einmal liegt keine Periode vor.

    Lösung

    Woran kann man erkennen, ob eine Periode vorliegt? Es muss in immer gleichen Abständen immer der gleiche Funktionswert auftauchen. Dies liegt bei dem oberen Graphen nicht vor. Denn hier ist $f(0)=f(15)=f(35)=90^\circ$. Die Abstände sind also verschieden.

    Und wenn man erkannt hat, dass eine Periode vorliegt, wie ermittelt man dann die Periode?

    Bei allen übrigen drei Graphen liegt Periodizität vor. Die jeweilige Periode ist die Länge des kürzesten Intervalls auf der x-Achse, nach welchem sich die Funktionswerte wiederholen.

    Von oben nach unten, beginnend mit dem zweiten Graphen:

    • $f(0)=f(10)=f(20)=f(30)=60^\circ$. Jeweils im Abstand von $10$ wiederholen sich die Funktionswerte. Dies kann man an weiteren Werten überprüfen: $f(5)=f(15)=f(25)=f(35)=80^\circ$, also auch hier die Wiederholung nach jeweils $10$ Zeiteinheiten. Dies ist die gesuchte Periode $p=10$.
    Ebenso können die Perioden für die beiden übrigen Graphen bestimmt werden:
    • $f(0)=f(15)=f(30)=90^\circ$: Die Periode $p=15$ kann für weitere Funktionswerte überprüft werden.
    • $f(0)=f(20)=f(40)=90^\circ$: Hier ist die Periode $p=20$, welche auch wieder mit anderen Funktionswerten überprüft werden kann.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.842

Lernvideos

44.348

Übungen

38.969

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden