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Ortslinie und Ortskurve – Beispiel

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Martin Wabnik
Ortslinie und Ortskurve – Beispiel
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ortslinie und Ortskurve – Beispiel

In dem Video „Ortslinie, Ortskurve “ habe ich dir bereits das Grundlegendste darüber erklärt, was den genau eine Ortslinie oder Ortskurve ist. Wir haben festgehalten, dass sie beide im Zusammenhang mit Funktionenscharen auftreten, indem besondere Punkte einer Art ( zum Beispiel alle Maxima ) miteinander verbunden werden. Diese gerade oder Kurve nennt man dann entsprechend Ortslinie oder Ortskurve der Funktionenschar. Die allgemeine Methode der Bestimmung von Ortskurven von Extrema wird in diesem Video nun an einem einfachen Beispiel besprochen. Viel Spaß dabei!

Transkript Ortslinie und Ortskurve – Beispiel

Hallo! Wir kennen schon das Verfahren, wie man Ortskurven bestimmt. Hier hab ich es aufgeschrieben für die Ortskurve der Extrema einer Funktionenschar. Und dieses Beispiel nachher, das sieht halt so aus wie Parabeln die da alle auf einer Geraden ihre Minima haben. Und das möchte ich jetzt mal hier als Beispiel vorstellen. Wir haben eine Funktionenschar, die folgendermaßen definiert ist. Wir haben fk(x), das soll sein =(x-2k)2+k. Das ist unsere Funktionenschar und ich glaube, dir fällt gleich auf, wir haben hier quadratische Funktionen vorliegen, und das ist auch gleich die Scheitelpunktform. Ich schreibe es der Vollständigkeit halber noch auf, falls du das vergessen haben solltest. Die Scheitelpunkte dieser Funktionenschar liegen also bei 2k und k. x- und y-Koordinate, jeweils. Und so, wie ich das hier aufgemalt habe, glaube ich, ist also unschwer zu erkennen, das sind diese Parabeln, die durch diese Funktionenschar definiert werden und hier ist diese Ortslinie der Minima. Wie können wir jetzt dieses Verfahren anwenden, was ich hier schon allgemein gezeigt habe? Nun, wir müssen also die 1. Ableitung hier gleich 0 setzen. Die 1. Ableitung fk'(x)=, nun, wenn wir das ausmultiplizieren, haben wir hier vorne x2 stehen, das ist also 2x, und nach binomischer Formel bekommen wir dann also (x2-2×2k+2k)2. Das sind also -4k, in der Ableitung hier und alles andere enthält nur ein k, ist also für ein bestimmtes k an diesem Fall hier eine Konstante. Und die Ableitung dieser Konstanten ist dann 0. Das brauche ich hier nicht mehr hinschreiben, hier ist die Ableitung. Wenn ich jetzt diese Ableitung gleich 0 setze, diesen Term gleich 0 setzte, dann kann ich den nach k auflösen. In diesem Fall klappt das. Wir kriegen etwas Eindeutiges heraus, und zwar kriegen wir dann heraus k=(1/2)x. Und jetzt muss ich noch - ich hoffe, das ist kein Problem, muss ich nicht weiter vormachen, nicht wahr. Jetzt muss ich noch dieses k hier in diesen allgemeinen Funktionsterm einsetzen. Also haben wir f(1/2)x(x) und das sieht dann folgendermaßen aus: Klammer auf, das x setze ich ganz normal ein, wie immer. Aber das k, wie das in den Büchern steht, wird substituiert, durch das, was wir hier herausgefunden haben. Also, ich setze für k=(1/2)x ein und bekomme dann -2×1/2x)2, und hier hinten steht noch +(1/2)x. So, das ist das Eingesetzte. Jetzt habe ich hier keinen Platz mehr, dann schreibe ich auf Grün weiter. Das, was hier herauskommt, ist einfach f(1/2)x(x)=(1/2)x=y. Dass das jetzt hier (1/2)x und (1/2)x das Gleiche ist, das ist ein Zufall, das ist keine Regelmäßigkeit. Also, dass hier letzten Endes, dieses Ding, was hier steht, das ist unsere Funktionsgleichung y=(1/2)x. Und ich glaube, es ist unschwer zu erkennen, der Graph der Funktion y=(1/2)x ist diese Linie hier, diese Gerade, die durch den Nullpunkt führt und die Steigung 1/2 hat. Noch mal als Anmerkung. Hier hat es geklappt. Das klappt nicht immer. Aber das ist erst mal die Methode, wie man sie in den Fällen, die du in Aufgaben bekommen wirst, wahrscheinlich, anwenden kannst. Viel Spaß damit, tschüss!

Ortslinie und Ortskurve – Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ortslinie und Ortskurve – Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die erste Ableitung der Funktion an und bestimme $k$ so, dass diese Ableitung $0$ wird.

    Tipps

    Du kannst entweder $f_k(x)$ ausmultiplizieren (2. binomischen Formel) oder die Kettenregel verwenden.

    Unter Verwendung der Kettenregel erhältst du

    $f_k'(x)=2(x-2k)\cdot 1$.

    Lösung

    Zu dieser Funktionsschar soll die Ortskurve der Extrema bestimmt werden. Dies bedeutet natürlich insbesondere, dass die Extrema ermittelt werden müssen. Dazu benötigt man die erste Ableitung.

    Man kann den Funktionsterm ausmultiplizieren (2. binomischen Formel) und erhält dann

    $f_k(x)=x^2-4kx+4k^2+k$

    Beim Ableiten wird der Scharparameter wie eine Konstante behandelt:

    $f'_k(x)=2x-4k$.

    Nun muss diese Ableitung $=0$ sein. Diese Gleichung wird nach $k$ umgeformt:

    $\begin{array}{lrclll} & 2x-4k & =&0 &|& +4k \\ \Leftrightarrow& 2x & =&4k &|& :4 \\ \Leftrightarrow& \frac12x& =& k &~& \end{array}$

  • Bestimme die Gleichung der Ortskurve der Extrema von $f_k(x)$.

    Tipps

    Beachte, wo sich der Parameter $k$ befindet. Ersetze jedes Auftreten dieses Parameters. Dies nennt man in der Mathematik „Substituieren“.

    Die Ortskurve hängt von $x$ ab.

    Die Gleichung der Ortskurve ist linear.

    Lösung

    Nachdem bereits bekannt ist, dass $k=\frac12x$ ist, kann dieses $k$ in der Gleichung der Funktionsschar eingesetzt werden:

    $f_{\frac12x}(x)=\left(x-2\cdot \frac12x\right)^2+\frac12 x$.

    In der Klammer steht $x-x=0$. $0$ zum Quadrat ergibt ebenfalls $0$ und somit verbleibt $y=\frac12 x$ als die Gleichung der Ortskurve.

  • Ermittle den Parameter $k$ sowie die Ortskurve der Extrema.

    Tipps

    Behandle den Scharparameter beim Ableiten wie eine Konstante.

    So ist zum Beispiel $(2kx)'=2k$.

    Beachte, dass die Gleichung $f_k'(x)=0$ nach $k$ aufgelöst wird. Es ergibt sich also als Lösung ein $k$ in Abhängigkeit von $x$.

    Lösung

    Es soll die Gleichung der Ortskurve der Extrema bestimmt werden. Hierfür benötigt man zunächst die Extrema der Funktionsschar.

    Die Gleichung $f_k'(x)=0$ wird nach $k$ aufgelöst, mit $f_k'(x)=2x+k$.

    $\begin{array}{lrclll} & 2x+k & =&0 &|& -2x \\ \Leftrightarrow& k & =&-2x \end{array}$

    Nun kann dieses $k$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden:

    $y=f_{-2x}(x)=x^2+(-2x) x=x^2-2x^2=-x^2$.

    Dies ist die Ortskurve der Minima.

    Wenn zum Beispiel $x=3$ ist, dann ist $k=-2\cdot 3=-6$ und das Minimum der Funktion $f_{-6}(x)$ gegeben durch Min$(3|-9)$.

  • Bestimme zu den jeweiligen Punktescharen die zugehörige Ortskurve.

    Tipps

    Forme jeweils die Gleichung $x=x(k)$ nach $k$ um und setze dieses $k$ in die y-Koordinate ein.

    Du kannst auch prüfen, welche Ortskurve passt, indem du die gegebene x-Koordinate einsetzt.

    Zu jeder der Punktescharen existiert eine Ortskurve. Hierfür muss die Funktion $x(k)$ umkehrbar sein.

    Ist die y-Koordinate unabhängig vom Scharparameter, so ist die Ortskurve eine Konstante.

    Lösung

    Zur Bestimmung einer Ortskurve der Extrema (sofern diese vorhanden ist) kann man diese in Abhängigkeit des Scharparameters bestimmen: $E(x(k)|y(k))$.

    Nun wird zunächst die Gleichung $x=x(k)$ nach $k$ umgeformt und dieses $k$ in die y-Koordinate eingesetzt. Damit erhält man die y-Koordinate in Abhängigkeit von $x$, die Gleichung der Ortskurve.

    Schauen wir uns nun von links nach rechts die Punktescharen an:

    Manchmal kann man die Ortskurve auch durch scharfes Hinsehen angeben. So ist zum Beispiel bei $(k|k)$ die Ortskurve durch $y(x)=x$ gegeben.

    Der Weg über das Umformen funktioniert, wenn eine Ortskurve existiert, immer und ist auch etwas sicherer. Man kann ja auch falsch hinschauen.

    Kommen wir zu der nächsten Punkteschar $(2k|k^2)$:

    $\begin{array}{lrclll} & x & =&2k &|& :2 \\ \Leftrightarrow& \frac12x & =&k \end{array}$

    Nun wird dieses $k$ in die y-Koordinate eingesetzt und man erhält $y=\left(\frac12x\right)^2=\frac14x^2$, also $y(x)=\frac14x^2$. Zur Probe kann man $x=2k$ einsetzen und erhält $y=\frac14(2k)^2=\frac14\cdot 4k^2=k^2$ Wenn die x-Koordinate nicht von dem Parameter abhängt, dann existiert keine Ortskurve, da die Punkte alle auf einer zur y-Achse parallelen Geraden liegen. Eine solche Gerade besitzt keine Funktionsgleichung. Warum? Bei einer Funktion gilt, dass zu jedem $x$ maximal ein $y$ existiert.

    Was passiert, wenn die y-Koordinate unabhängig von dem Scharparameter ist? Dies ist die nächste Punkteschar $(k|2)$: Hier ist $k=2$. Wenn man dieses $k$ in der y-Koordinate einsetzt, erhält man $y(x)=2$, also eine konstante Funktion.

    Zu guter Letzt bleibt noch die Punkteschar $(2k-1|3k)$:

    $\begin{array}{lrclll} & x & =&2k-1 &|& +1 \\ \Leftrightarrow& x +1& =&2k &|& :2 \\ \Leftrightarrow& \frac12x +\frac12& =&k \end{array}$

    Wiederum wird dieses $k$ in die y-Koordinate eingesetzt:

    $y=3\left(\frac12x +\frac12\right)=\frac32x+\frac32$. Die Gleichung der Ortskurve lautet somit $y(x)=\frac32x+\frac32$.

  • Beschreibe, was eine Ortskurve der Extrema ist.

    Tipps

    Die Funktionsgleichungen von Ortskurven werden im Zusammenhang mit Funktionsscharen bestimmt.

    Seien die Extrema zum Beispiel $E(2k|k)$, dann lautet die Gleichung der Ortskurve $y=\frac12 x$.

    Sowohl die x- als auch die y-Koordinate der Extrema hängt von dem Scharparameter ab.

    Wenn es nur ein Extremum gibt, zum Beispiel $E(1|2)$, dann ist es nicht sinnvoll, eine Ortskurve zu bestimmen.

    Lösung

    Was ist eine Ortskurven der Extrema?

    Ortskurven werden im Zusammenhang von Funktionsscharen bestimmt. Diese Kurve hat die Besonderheit, dass bestimmte „Orte“, spezielle Punkte, der Funktionsschar auf ihr liegen.

    Diese „Orte“ können zum Beispiel die Extrema oder Wendepunkte der Funktionsschar sein.

    Das bedeutet, dass auf der Ortskurve der Extrema die Extrema der Funktionsschar liegen.

    Seien die Extrema zum Beispiel $E(2k|k)$, dann lautet die Gleichung der Ortskurve $y=\frac12 x$. Die Ortskurve ist in diesem Fall eine Gerade. Das heißt alle Extrema der Funktionsschar liegen auf einer Geraden.

    Es muss übrigens nicht immer eine solche Ortskurve existieren:

    Wenn die x-Koordinate der Extrema unabhängig von dem Scharparamater ist, die y-Koordinaten jedoch variieren, so liegen alle Extrema auf einer zur y-Achse parallelen Geraden, welche nicht der Graph einer Funktion sein kann.

  • Ermittle die Gleichung der Ortskurve der Extrema der Funktionsschar.

    Tipps

    Beachte, dass die Ortskurve von $x$ und nicht von $k$ abhängt.

    Der Scheitelpunkt der obigen Funktion ist $S(-k|k)$.

    Daran könnte man die Ortskurve gegebenenfalls bereits erkennen.

    Du kannst die Funktionsschar entweder mit der Kettenregel ableiten oder indem du den Term $(x+k)^2=x^2+2k+k^2$ ausmultiplizierst und diesen ableitest.

    Lösung

    Die Ableitung der obigen Funktionsschar lautet $f_k'(x)=2(x+k)\cdot 1=2x+2k$.

    Um die Extrema dieser Funktionsschar zu finden, muss die Gleichung $f_k'(x)=0$ nach $k$ aufgelöst werden

    $\begin{array}{lrclll} & 2x+2k & =&0 &|& -2x \\ \Leftrightarrow& 2k & =&-2x &|& :2 \\ \Leftrightarrow& k& =&x &~& \end{array}$

    Nun kann dieses $k$ in die Gleichung der Funktionsschar eingesetzt werden:

    $f_{-x}(x)=(x-x)^2-x=0^2-x=-x$.

    Die gesuchte Gleichung der Kurvenschar lautet somit $y(x)=-x$.

    Dies hätte man gegebenenfalls auch direkt an dem Scheitelpunkt, dem Minimum, $S(-k|k)$, erkennen können.

    Wofür benötigt man diese Ortskurve? Wenn man zum Beispiel $x=-2$ betrachtet, dann ist $k=-(-2)=2$ und das Minimum der Funktion $f_2(x)=(x+2)^2+2$ gegeben durch $\text{Min}(-2|2)$, da $y(x)=-x$ die Gleichung der Ortskurve ist. Die Extrema sind also bei Kenntnis von $x$ schnell zu bestimmen.

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