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Ortslinie und Ortskurve 08:52 min

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Transkript Ortslinie und Ortskurve

Hallo, es geht um Ortslinien bzw. Ortskurven, beide Begriffe bedeuten das Gleiche und ich werde hier beide auch verwenden. Um zu verstehen was eine Ortslinie ist brauchen wir zunächst mal eine Funktionenschar, die Funktionen einer solchen Funktionenschar könnten Extrema haben z.B., man kann das auch mit Wendepunkten machen oder mit anderen, irgendwie besonderen Punkten. Geh ich jetzt weiter nicht darauf ein, ich mache es hier mit Extrema. Alles was ich dazu sage, gilt natürlich für die anderen Punkte dann auch entsprechend. Also, die Funktionen dieser Funktionenschar könnten Extrema haben, diese könnten alle auf einer Linie liegen und die heißt dann Ortslinie der Extrema oder auch Ortskurve der Extrema. Wenn du eine Aufgabe bekommst, in der du nach der Ortskurve gefragt wirst, dann sollst du einen Funktionsterm angeben und zwar, den Funktionsterm einer Funktion, deren Graph diese Ortslinie ist. Es ist in der Regel natürlich keine Funktion der Funktionenschar, sondern das ist eine andere Funktion, meistens. Wir geht man da formal vor. Ich zeige ganz kurz, wie das auch in den Büchern erklärt wird. Ich mache das etwas ausführlicher, in den Büchern steht es meistens sehr knapp und erklär dann hinterher noch, was es bedeutet und was da eventuelle Begründungen sind. Wir haben rein formal eine Funktionenschar fk(x) und wir wissen, wenn es jetzt um die Ortslinie der Extrema geht, dass dann die 1. Ableitung gleich 0 sein muss. D.h. wir haben also hier eine Gleichung fk´(x)=0. In dieser Gleichung kommen die Variablen k und x vor und dann könnten wir, hoffen wir zumindest, nach k auflösen und auf der anderen Seite steht dann ein Term, t(x) genannt hier, da steht ein Term in dem x vorkommt. Diesen Term kann ich in meine Funktionenschar einsetzen, in fk(x) anstatt k, schreibe ich jetzt einfach den Term t(x), und wenn ich jetzt hier mein x einsetze und das hier ausrechne, dann bekomme ich ein y heraus und das was ist hier steht, ist die gesuchte Ortslinie, um genauer zu sein, es ist die Funktionsgleichung der Funktion, deren Graph die Ortslinie bzw. die Ortskurve ist. Wenn du nur daran interessiert bist, was muss ich jetzt formal machen, kannst du jetzt ausmachen, denn jetzt erkläre ich, was das bedeutet und hinterher begründe ich auch was dazu. Was bedeutet das? Wir stellen uns erst mal eine Funktionenschar vor, die könnte z.B. so aussehen, das könnten irgendwelche Parabeln sein, die hier so im Koordinatensystem herumliegen. Da auch noch eine. Das sind also Parabeln einer Funktionenschar. Diese Funktionen haben Minima und diese Minima liegen alle auf dieser Linie hier - die hab ich schon mal gepunktet hier eingezeichnet - und unser Traum ist jetzt einen Funktionsterm anzugeben oder wie man sagt, einfach eine Funktion anzugeben, deren Graph diese Linie ist. Diese Linie muss nicht immer eine Gerade sein, die kann auch sonst irgendwie verlaufen, das ist hier nur in meinem Beispiel der Fall. Um diese Funktion zu finden, deren Graph also diese Linie ist, brauchen wir Folgendes: Wir müssen ja jedem x auf der x-Achse hier ein y zuordnen und das y soll dann Extrempunkt oder hier Minimum einer Funktion der Funktionenschar sein. Die Schwierigkeit die wir dabei haben ist, wenn wir uns hier ein x aussuchen, dann wissen wir ja noch nicht welche Funktion, der Funktionenschar, hier an dieser Stelle ein Extremum hat. D.h. wir müssen erst wissen, welche Funktion, d.h. welche Funktion mit welcher Nummer, hat da überhaupt ein Extremum. Und das könnten wir hier mit dieser Gleichung herausfinden, denn wir wissen ja,  eine Funktion fk hat nur dann ein Extremum, wenn die 1. Ableitung=0 ist und wenn wir das jetzt nach k auflösen diese Gleichung hier, dann könnte es also sein, dass wir dann hier einen Term finden für den dann gilt, immer wenn wir hier ein x einsetzen, bekommen wir hier ein k raus. Also ein bestimmtes k, ein eindeutiges k und das ist dann die Funktion, die an dieser Stelle ein Extremum hat und dieses k können wir dann quasi hier einsetzen, also für diese bestimmte Funktion, rechnen wir dann den y-Wert an dieser Stelle aus und das ist dann eben auch das Extremum, also der y-Wert des Extremums in unserem Fall der y-Wert des Minimums. Als ich als Schüler diese Sachen hier gemacht habe, hatte ich eine gewisse Schwierigkeit. Es ging nicht um die Umformung, ich konnte wohl eine Gleichung umformen, das war nicht das Thema. Aber ich hab immer irgendwie gedacht da ist doch ein Hacken in der Sache drin, und zwar, haben wir gesagt, wir möchten hier zu jedem x ein y finden, das hier ein Minimum einer Funktion der Funktionenschar ist. Und die Frage, die ich mir gestellt habe war, woher weiß ich denn, dass es zu jedem x auch immer eine Funktion gibt, die dort ein Minimum hat. Und die Lösung dieser Frage ist, das muss gar nicht so sein. Es kann sein, dass wir diese Gleichung hier umformen und dass hier eine Funktionsgleichung herauskommt. Das bedeutet, immer wenn wir hier eine Zahl für x einsetzen, dann bekommen wir  genau eine andere Zahl raus, nämlich ein k und das ist dann die Nummer der Funktion der Funktionenschar, die dort auch in unserem Fall hier ein Minimum hat. Aber dass das so sein muss, das kann man nicht begründen und das ist auch nicht immer so. Es gibt reichlich Funktionenscharen, bei denen das so klappt und wahrscheinlich bekommst du auch, wenn du nach einer solchen Ortslinie gefragt wirst, eine Funktionenschar bei der hier, bei dieser Gleichung, auch eine Funktionsgleichung raus kommt. Aber das muss nicht immer so sein, es kann sein, dass es nicht zu jedem x eine Funktion, gibt die dort ein Extremum hat. Es kann auch sein, dass es zu einem x 2 Funktionen gibt, die in unterschiedlichen Höhen hier jeweils ein Extremum haben und dann hätten wir ja auch keinen Funktionsterm hier, dann würden wir für dieses x 2 verschiedene k´s rauskriegen und das ist ja bei Funktionen verboten, denn Funktionen sind ja eindeutige Zuordnungen. Also um es klar zu sagen, es klappt nicht immer, man kann nicht beweisen, dass das immer klappt, aber in den Fällen, die du bekommen wirst, wird es höchstwahrscheinlich klappen, aber dann muss du dich vielleicht, nachdem ich das jetzt so gesagt habe, nicht mehr damit herumschlagen, dass du dir überlegen musst, wieso muss das denn immer klappen. Also dann, viel Spaß mit den Funktionen, bis bald, tschüss.

1 Kommentar
  1. Hilfreich

    Von Martin Walch, vor 12 Monaten

Videos im Thema

Ortslinie und Ortskurve (1 Videos)

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Ortslinie und Ortskurve Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ortslinie und Ortskurve kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Ortskurve.

    Tipps

    Stelle dir das folgende Beispiel vor:

    $f_k(x)=x^2+k$.

    Dies ist eine Parabelschar, welche durch den Parameter $k$ entlang der y-Achse verschoben wird. Der Scheitelpunkt, also der tiefste Punkt, ist dementsprechend immer $S(0|k)$.

    Die Punkte der Ortskurve liegen also auf der y-Achse. Man kann daher nicht mehr von einer Funktion der Ortskurve reden, da Funktionen einem x-Wert nur genau einen y-Wert zuordnen.

    Häufig geht es bei Ortskurven in erster Linie um die Bestimmung der zugehörigen Funktionsgleichung.

    Eine Funktion muss die Eigenschaft erfüllen, dass zu jedem $x$ maximal ein $y$ gehört.

    Lösung

    Was sind Ortskurven?

    Zunächst einmal kann man festhalten, dass Ortskurven im Zusammenhang mit Funktionsscharen bestimmt werden können. Wie der Name bereits sagt, handelt es sich um eine Kurve bestimmter „Orte“.

    Diese „Orte“ können zum Beispiel die Extrema oder Wendepunkte einer Funktionsschar sein. So liegen dann beispielsweise alle Extrema einer Funktionsschar auf dieser Kurve. Man könnte auch eine Ortskurve der Nullstellen bestimmen, diese wäre dann $y=0$.

    Bei einer Funktionsschar hängen die x- und y-Koordinate von Extrema oder Wendepunkten gegebenenfalls von dem Scharparameter ab. Es handelt sich also um Punkte der Form $P(x_k|y_k)$, wobei $k$ der Scharparameter sei. Den Parameter $k$ in den Index zu setzen, ist eine Möglichkeit, um die Abhängigkeit der Koordinaten von diesem Parameter zu verdeutlichen.

  • Gib an, welche Ortskurven es gibt.

    Tipps

    Die Funktionsgleichung von Ortskurven wird im Zusammenhang mit Funktionsscharen bestimmt.

    Um die Gleichung der Ortskurve der Extrema zu bestimmen, wird zunächst die x-Koordinate der Extrema mittels der hier abgebildeten Gleichung ermittelt.

    Wenn die x-Koordinate nicht von dem Parameter $k$ abhängt, existiert keine Ortskurve.

    Lösung

    Ortskurven werden im Zusammenhang von Funktionsscharen bestimmt, genauer gesagt, deren Funktionsgleichung.

    Man kann die Ortskurve der Extrema oder der Wendepunkte einer Funktionsschar bestimmen. Auf der Ortskurve der Extrema liegen alle einander entsprechenden Extrema der Funktionsschar.

    Es ist nicht immer möglich, eine Ortskurve zu bestimmen. Wenn alle Extrema auf einer zur y-Achse parallelen Geraden liegen, dann existiert keine zugehörige Funktionsgleichung. Warum? Nach der Definition einer Funktion darf zu jedem $x$ maximal ein $y$ gehören. Dies ist bei Parallelen zur y-Achse sicher nicht der Fall.

  • Beschreibe, wie man die zu einer Ortskurve der Extrema gehörende Gleichung finden kann.

    Tipps

    Notwendigerweise muss bei einem Extremum die erste Ableitung $0$ sein. Dies gilt auch für Funktionsscharen.

    Der Parameter $k$ ist nur dann ermittelbar, wenn es sich um eine umkehrbare Funktion handelt.

    Die Funktion $x=2k$ ist umkehrbar. Denn die Umkehrung ist $k=\frac x2$.

    Lösung

    Die Ortskurve der Extrema einer Funktionsschar ist (vorausgesetzt sie existiert) die Kurve, auf der die Extrema der Funktionsschar liegen. Jede Funktion der Funktionsschar kann auch mehrere Extrema besitzen, was dazu führt, dass es zwei Ortskurven gibt: eine für die Maxima und eine für die Minima.

    Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass die Funktionsschar nur ein Extremum besitzt. Dieses Extremum kann von dem Parameter $k$ der Funktionsschar abhängen.

    Wenn $f_(x)$ die Funktionsschar ist und wir die Ortskurve der Extrema suchen, müssen wir die erste Ableitung gleich $0$ setzen:

    $f_k'(x)=0$.

    Dies liefert uns x-Koordinaten, die von $k$ abhängen.

    Hängt die x-Koordinate nicht von $k$ ab, kann man keine Ortskurve bestimmen. Warum? Es geht bei der Ortskurve um die zugehörige Funktionsgleichung. Wenn es verschiedene Extrema gibt, die alle die gleiche x-Koordinate haben, dann liegen die Extrema auf einer zur y-Achse parallelen Gerade. Dies ist gewiss nicht der Graph einer Funktion, da jedem x-Wert nur ein Funktionswert zugeordnet werden darf.

    Wenn also die x-Koordinate von $k$ abhängt, also $x=x(k)$, dann wird diese Gleichung nach $k$ umgeformt, also $k=T(x)$.

    Wenn man nun dieses $k$ in die y-Koordinate einsetzt, erhält man mit $y=y(k)=y(T(x))$ die Gleichung der Ortskurve. Dies ist übrigens das gleiche wie $y=f_{T(X)}(x)$.

  • Ermittle die Gleichung der Ortskurve der Extrema der Funktionsschar.

    Tipps

    Beachte: Die Ortskurve hängt von $x$ ab.

    Wenn man eine negative Zahl quadriert, erhält man eine positive Zahl.

    Die Ortskurve ist in diesem Fall eine Parabel.

    Lösung

    Die Ableitung der obigen Funktionsschar lautet $f_k'(x)=2x+2k$. Die Untersuchung auf Extrema führt zu der Gleichung $f_k'(x)=0$:

    $\begin{array}{lrclll} & 2x+2k & =&0 &|& -2k \\ \Leftrightarrow& 2x & =&-2k &|& :2 \\ \Leftrightarrow& x& =& -k &~& \end{array}$

    Nun kann dieses $x$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align} y & =f_k(-k)\\ & =(-k)^2+2k\cdot (-k)\\ & =k^2-2k^2+4\\ & =-k^2+4 \end{align}$.

    Das Minimum (die Parabel ist nach oben geöffnet) lautet somit Min$(-k|-k^2+4)$.

    Nun kann die Ortskurve der Minima bestimmt werden:

    $x=-k$ wird nach $k$ umgeformt zu $k=-x$. Nun wird dieses $k$ in der y-Koordinate eingesetzt und man erhält

    $y=-(-x)^2+4=-x^2+4$.

    Der Funktionsgraph zu $y=-x^2+4$ ist die gesuchte Ortskurve der Minima von $f_k(x)=x^2+2kx+4$.

  • Bestimme die Extrema der Funktionsschar.

    Tipps

    Du kannst den Scharparameter beim Ableiten wie eine Konstante behandeln. Es gilt: $(kx)'=k$.

    Löse die Gleichung $f_k'(x)=0$. Somit erhältst du $x=x(k)$.

    Setze dieses $x(k)$ in die Gleichung der Funktionsschar ein, um $y=y(k)$ zu erhalten.

    Beachte die Reihenfolge bei Paaren: Links steht die x- und rechts die y-Koordinate.

    Lösung

    Es soll die Gleichung der Ortskurve der Extrema bestimmt werden. Hierfür benötigt man (natürlich!) zunächst einmal die Extrema der Funktionsschar.

    Die Gleichung $f_k'(x)=0$ muss gelöst werden, mit $f_k'(x)=-2x+2k$.

    $\begin{array}{lrclll} & -2x+2k & =&0 &|& -2k \\ \Leftrightarrow& -2x & =&-2k &|& :(-2) \\ \Leftrightarrow& x& =&k &~& \end{array}$

    Nun kann dieses $x$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden:

    $y=f_k(k)=-k^2+2k\cdot k=-k^2+2k^2=k^2$.

    Das Maximum (die Parabel ist ja nach unten geöffnet) lautet somit Max$(k|k^2)$.

  • Leite die Gleichung der zugehörigen Ortskurve her.

    Tipps

    Es ist $x(k)=k$. Wenn du diese Gleichung nach $k$ umformst, erhältst du $k=T(x)=x$.

    Setze das $k$ in der y-Koordinate ein.

    Die Ortskurve ist eine Parabel.

    Lösung

    Um zu einer Ortskurve zu gelangen, muss zunächst die x-Koordinate nach dem Scharparameter umgeformt werden:

    $x=k$ führt zu $k=x$.

    Es ist leider nicht immer so einfach!

    Dieses $k$ wird in der y-Koordinate eingesetzt und man erhält

    $y=k^2=x^2$.

    Somit ist $y=x^2$ die gesuchte Ortskurve der Maxima der Funktionsschar $f_k(x)=-x^2+2kx$.