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Orthogonalität von Vektoren 03:25 min

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Transkript Orthogonalität von Vektoren

Orthogonalität von Vektoren: “Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.” Man schreibt: x’×y = 0 <=> x u. y sind orthogonal. Betrachten wir zunächst die allgemeine Form. Gegeben sind zwei Vektoren, x und y der Dimension n. Zunächst transponieren wir den Vektor x. Vorsicht beim Transponieren! Multipliziert man einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor, so erhalten wir einen Skalar. Multipliziert man einen Spaltenvektor mit einem Zeilenvektor, so erhalten wir als Ergebnis eine Matrix. Es gilt zu überprüfen, ob das Skalarprodukt der Vektoren gleich Null ist. Wir multiplizieren die beiden Vektoren und erhalten so das Skalarprodukt x1×y1 + x2×y2 + … + xn×y2. Ist dieses Skalarprodukt gleich Null, so sind die beiden Vektoren orthogonal. Ist dieses Skalarprodukt ungleich Null, so sind die beiden Vektoren nicht orthogonal. Zur Verdeutlichung folgen nun zwei Zahlenbeispiele. Gegeben sind die Vektoren x = (1, 2, 1) und y = (4, -3, 2). Als erstes transponieren wir wieder den Vektor x. Zu überprüfen ist, ob gilt: x’×y = 0. Wir berechnen durch Multiplikation der beiden Vektoren ihr Skalarprodukt und erhalten als Ergebnis 4 - 6 + 2 = 0. So ist gezeigt, dass die beiden Vektoren x und y orthogonal sind. Nun überprüfen wir die Vektoren x = (1, 2, 1) und y = (2, 1, 2)auf Orthogonalität. Zunächst wird wieder Vektor x transponiert. Es gilt wieder die Orthogonalitätsbedingung zu überprüfen. Wir berechnen wieder durch Multiplikation der beiden Vektoren ihr Skalarprodukt und erhalten als Ergebnis 2 + 2 + 2 = 6 ≠ 0. Daraus folgt, dass diese beiden Vektoren x und y nicht orthogonal sind. Nicht vergessen: Zwei orthogonale Vektoren stehen im Raum immer senkrecht zueinander!

1 Kommentar
  1. Default

    es ist zu schnell.

    Von Behnam A., vor 8 Monaten