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Oktaeder – Volumen 06:21 min

Textversion des Videos

Transkript Oktaeder – Volumen

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, ich begrüßte euch herzlich zum Video Oktaedervolumen! Es wäre nicht schlecht, wenn ihr bereits das Video "Oktaederoberfläche" angeschaut habt. Dieses Video ist vorgesehen für etwa Schüler der 10. Klasse im 2. Schulhalbjahr. Jüngere und ältere Hörer oder Zuschauer sind gern gesehen. Das Volumen eines Oktaeders kann man aus dem Volumen zweier Pyramiden, die kongruent sind und mit den Grundflächen aneinander haften, bestimmen. Die Grundflächen dieser Pyramiden sind klar, es handelt sich hierbei um Quadrate. Also Ag=A²=A², das ist klar. Jetzt müssen wir die Höhe h der Pyramide bestimmen. Für die Bestimmung von h möchte ich die linke Zeichnung verwenden. h, die Kante des Oktaeders a und sie Seite s bilden ein rechtwinkliges Dreieck. a ist dabei Hypotenuse, s und a Katheten. h wollen wir bestimmen, a als Hypotenuse kennen wir, wir müssen nur noch s÷a ausdrücken. Das funktioniert folgendermaßen: Ich verwende eine kleine Skizze der Grundseite einer der Pyramiden. Das ist ein Quadrat, die beiden Seiten sind a und a, die Diagonale ist 2s, nämlich die zweifache Länge von s. Wir verwenden nun den Lehrsatz des Pythagoras und erhalten (2s)²=a²+a². Wir erhalten in der Zeile darunter 4s²=2a². Wir dividieren beide Seiten durch zwei und erhalten s²=½a², dritte Zeile. Nun ziehen wir die Wurzel: Wir schreiben zunächst das Wurzelzeichen über beide Terme links und rechts, vierte Zeile. In der fünften Zeile erhalten wir das Ergebnis: (links)s=(rechts)1/(2\sqrt)×a. Wir erweitern nun den Zähler und den Nenner mit Wurzel 2. Ich mache in der Mitte, direkt unter der Skizze des Quadrates weiter: s=(1×2\sqrt/2\sqrt×2\sqrt)×a. Zeile darunter: s=(2\sqrt/2)×a oder ½2\sqrt×a. Jetzt können wir den Lehrsatz des Pythagoras für a, s und h anwenden a²=s²+h². Wir subtrahieren s² und vertauschen die Seiten und erhalten h²=a²-s². Für s setzen wir nun den erhaltenen Wert ein und erhalten in der Zeile darunter: h²=a²-(½×2\sqrt×a)². Ich mache jetzt rechts weiter: h²=a²-2/4a² oder =a²-½a². Nächste Zeile: h²=½a². Nun ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Zunächst schreiben wir in der dritten Zeile das Wurzelzeichen über die Terme auf beiden Seiten. h²\sqrt=h und vierte Zeile, wir erhalten für die rechte Seite: 1/2\sqrt×a. Nach Erweiterung mit 2\sqrt, was wir bereits durchgeführt haben, erhalten wir in der fünften Zeile: h=½2\sqrt×a. Nun haben wir auch die zweite Größe, die wir benötigen. Ich übertrage sie noch nach oben und dann können wir zum Finale blasen. So, wir schauen uns nun das Volumen der Pyramide an: PPy=1/3ag×h, 1/3×Grundfläche×Höhe. Grundfläche ist a², also Zeile darunter: Volumen der Pyramide = 1/3a²×der Höhe und die haben wir ermittelt, ½2\sqrt×a. Das Volumen des Oktaeders ist das verdoppelte Volumen der Pyramide, also 2×2/6\sqrt×a³. Wir kürzen 2 und 6 gegeneinander und erhalten als Endergebnis 2/3\sqrt×a³ ist das Volumen der Pyramide. Natürlich habe ich das Symbol für das Volumen der Pyramide mit V gewählt. Wir erhalten also V=2/3\sqrt×a³. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit, vielleicht hat es euch ein wenig Spaß bereitet. Alles Gute, tschüss!  

1 Kommentar
  1. Img 5213

    Gut gelungen! Gefällt mir.

    Von Luca Franziskowski, vor mehr als 2 Jahren

Oktaeder – Volumen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oktaeder – Volumen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie die Höhe der Pyramide berechnet werden kann.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ (längste Seite im rechtwinkligen Dreieck) gilt also:

    $a^2 + b^2 = c^2$.

    Du erhältst bei der Umformung an verschiedenen Stellen den Ausdruck $\frac1{\sqrt2}$.

    Erweitere diesen Bruch mit $\sqrt 2$. Dies führt zu:

    $\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$.

    Lösung

    Was ist ein Oktaeder?

    Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger Körper. Dieser wird von acht kongruenten und gleichseitigen Dreiecken gebildet. „Oktaeder“ heißt übrigens „Achtflächler“.

    Das bedeutet insbesondere, dass alle $12$ Kanten gleich lang sind. Diese sind hier in dem Bild mit $a$ gekennzeichnet.

    Wie du hier sehen kannst, besteht ein Oktaeder aus zwei geraden und quadratischen Pyramiden. Die Höhe des Oktaeders ist $h_O$. Sie ist doppelt so lang wie die Höhe $h$ einer der beiden Pyramiden.

    Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $V_\text{Pyr}=\frac13\cdot A_g\cdot h=\frac13\cdot a^2\cdot h$.

    Du musst also die Höhe $h$ bestimmen.

    Hierfür wendest du zweimal den Satz des Pythagoras an.

    Die halbe Diagonale der Grundfläche

    Wir bezeichnen die Diagonale der Grundfläche mit $2s$. Sie ist die Hypotenuse in einem gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Schenkeln $a$ (den Katheten). Somit gilt:

    $\begin{array}{rclll} (2s)^{2}&=&a^{2}+a^{2}\\ 4s^{2}&=&2a^{2}&|&:4\\ s^{2}&=&\frac12a^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ s&=&\frac1{\sqrt2}a\\ &=&\frac{\sqrt2}{2}a \end{array}$

    Die Höhe der Pyramide

    Nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen. Betrachte hierfür das rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse $a$ und den Katheten $s$ und $h$. Du kommst dann zu der Gleichung $a^{2}=s^{2}+h^{2}$.

    Setze nun $s^{2}=\frac12a^{2}$ in diese Gleichung ein und forme nach $h$ um.

    $\begin{array}{rclll} a^{2}&=&s^{2}+h^{2}\\ a^{2}&=&\frac12a^{2}+h^{2}&|&-\frac12a^{2}\\ \frac12a^{2}&=&h^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ \frac1{\sqrt2}a&=&h\\ \frac{\sqrt2}{2}a&=&h \end{array}$

    Nun bist du fertig. Du hast die Höhe mit Hilfe von $a$ ausgedrückt.

  • Gib an, was du zur Herleitung der Volumenformel eines Oktaeders benötigst.

    Tipps

    Beachte: Die Höhe ist eine Länge. Die Oberfläche ist eine Fläche.

    Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche. Ein Kegel ist keine Pyramide.

    Die Volumenformel für eine Kugel lautet $V=\frac43\pi~r^{3}$, wobei $r$ der Radius der Kugel ist.

    Lösung

    Das Volumen eines Oktaeders kann man aus dem Volumen zweier kongruenter Pyramiden bestimmen. Diese Pyramiden haben die Grundfläche $A_g$ gemeinsam.

    Für Pyramiden gilt die Volumenformel $V=\frac13\cdot A_g\cdot h$. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, kannst du $A_g=a^{2}$ verwenden.

    Nun musst du noch die Höhe einer der beiden Pyramiden bestimmen. Die Höhen der beiden Pyramiden sind gleich lang.

    Hierfür musst du zweimal den Satz des Pythagoras anwenden.

  • Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Oktaeders an.

    Tipps

    Für jede Pyramide gilt $V=\frac13\cdot A_g\cdot h$.

    Du kannst $h$ in dieser Aufgabe mit Hilfe von zwei Anwendungen des Satzes des Pythagoras ermitteln und abhängig von $a$ ausdrücken.

    Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ beträgt $a^{2}$.

    Du kannst bei der Volumenberechnung des Oktaeders den Bruch kürzen.

    Lösung

    Das Volumen des Oktaeders ist das Doppelte des Volumens einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Es gilt:

    $V=2\cdot V_\text{Pyr}=2\cdot \frac13\cdot A_g\cdot h$.

    Da die Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ ist, erhältst du $A_g=a^{2}$. Nun kannst du noch $h=\frac{\sqrt2}{2}a$ verwenden. So gelangst du zu:

    $\begin{array}{rcl} V&=&2\cdot \frac13 \cdot a^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}a\\ &=&\frac{\sqrt2}{3}a^{3} \end{array}$

  • Leite die Formeln für die Oberfläche des Oktaeders her.

    Tipps

    Berechne die Höhe $h_S$ eines Seitendreiecks mit Hilfe des Satzes von Pythagoras in Abhängigkeit von $a$.

    Es ist $a^{2}=h_S^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}$.

    Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich so berechnen:

    $A_\Delta=\frac12 g\cdot h_g$

    Dabei ist $g$ eine Grundseite und $h_g$ die zugehörige Höhe.

    Lösung

    Der Flächeninhalt eines Seitendreiecks lässt sich berechnen mit $A_\Delta=\frac12 \cdot a\cdot h_S$.

    Du musst also die Höhe $h_S$ des Seitendreiecks herleiten. Verwende hierfür den Satz des Pythagoras und forme dann nach $h_S$ um:

    $\begin{array}{rclll} h_S^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}&=&a^{2}\\ h_S^{2}+\frac{a^{2}}4&=&a^{2}&|&-\frac{a^{2}}4\\ h_S^{2}&=&\frac34 \cdot a^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ h_S&=&\frac{\sqrt 3}{2}\cdot a \end{array}$

    Nun kannst du den Flächeninhalt eines Seitendreiecks berechnen:

    $A_\Delta=\frac12 \cdot a\cdot \frac{\sqrt 3}{2}\cdot a=\frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^{2}$

    Da die Oberfläche aus acht solchen Seitendreiecken besteht, gilt für die Oberfläche:

    $O=8\cdot \frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^{2}=2\cdot \sqrt 3\cdot a^{2}$

  • Berechne das Volumen des Oktaeders.

    Tipps

    Setze den bekannten Wert für $a$ in die Formel $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$ ein.

    Beachte beim Runden: Du schaust dir die dritte Stelle hinter dem Komma an.

    • Ist diese $0$; $1$; $2$; $3$ oder $4$, dann rundest du ab.
    • Ist diese $5$; $6$; $7$; $8$ oder $9$, dann rundest du auf.
    Lösung

    In dieser Aufgabe kannst du an einem konkreten Beispiel die Volumenberechnung für einen Oktaeder üben.

    Du verwendest die Formel $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^{3}$.

    Nun kannst du den bereits bekannten Wert für die Kantenlänge $a=5~\text{cm}$ in diese Formel einsetzen:

    $\begin{array}{rcl} V&=&\frac{\sqrt 2}{3}(5~\text{cm})^{3}\\ &=&\frac{\sqrt 2}{3}125~\text{cm}^{3}\\ &\approx&58,93~\text{cm}^{3} \end{array}$

  • Ermittle die Höhe des Oktaeders mit dem Volumen $V=300~\text{cm}^{3}$ und der Kantenlänge $a$.

    Tipps

    Beachte: Gesucht ist die Höhe des Oktaeders. Diese ist doppelt so lang wie die Höhe einer der Pyramiden

    Die Volumenformel lautet $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$.

    Der Zusammenhang zwischen der Kantenlänge $a$ sowie der Höhe der Pyramide $h_\text{Pyr}$ ist gegeben durch:

    $h_\text{Pyr}=\frac{\sqrt 2}{2}a$.

    Lösung

    Die Volumenformel für ein Oktaeder lautet $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$. Da es sich um eine Gleichung handelt, kann man diese Formel umstellen. Hier stellen wir sie so um, dass die Kantenlänge $a$ isoliert ist:

    $\begin{array}{rclll} V&=&\frac{\sqrt 2}{3}a^3&|&\cdot \frac{3}{\sqrt 2}\\ \frac{3}{\sqrt 2}\cdot V&=&a^{3}&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \sqrt[3]{\frac{3}{\sqrt 2}\cdot V}&=&a \end{array}$

    Setze nun das bekannte Volumen in diese Formel ein:

    $a=\sqrt[3]{\frac{3}{\sqrt 2}\cdot 300~\text{cm}^{3}}\approx8,6~\text{cm}$

    Die Höhe einer Pyramide lässt sich mit dieser Kantenlänge nun so berechnen:

    $h_\text{Pyr}\approx\frac{\sqrt 2}{2}\cdot8,6~\text{cm}\approx 6,1~\text{cm}$

    Zuletzt benutzt du, dass die Höhe des Oktaeders das Doppelte der Höhe der Pyramide ist. Damit ergibt sich $h\approx 12,2~\text{cm}$.