Oktaeder – Oberfläche

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Ich begrüße euch ganz herzlich zum Video „Oktaeder-Oberfläche“. Und nun zu den Lernvoraussetzungen. Als erstes solltet ihr Interesse an geometrischen Fragestellungen mitbringen. Als zweites sollten Pyramide und Dreieck für euch gute Bekannte sein. Als drittes solltet ihr die Volumenformel der Pyramide und die Flächenformel des Dreiecks gut beherrschen. Und als viertes sollte der Umgang mit dem Lehrsatz des Pythagoras für euch kein Fremdwort sein. Ich denke, dass zum Ende der zehnten Klasse diese Voraussetzungen erfüllt sind. Jüngere oder ältere Zuschauer und Zuhörer sind herzlich willkommen. Kommen wir zur Wortbildung. Oktaeder – „Achtflächner“. Das Wort habe ich in Anführungszeichen gesetzt, da es eigentlich gar nicht existiert. Denkt auch an den Oktopus, den Meeresbewohner mit den acht Fangarmen. Beim Oktaeder handelt es sich um einen sogenannten „platonischen Körper“, einen Körper mit besonders hohen Symmetrieeigenschaften. Ein Oktaeder ist ein Körper, der von acht gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird. Als ob zwei kongruente Pyramiden mit quadratischer Grundfläche an den Grundflächen zusammengeklebt sind. In der räumlichen Darstellung des Oktaeders fehlt noch eine Linie. Habt ihr sie erkannt? Ja, richtig. Es ist eine verdeckte Linie. Ich werde sie noch schnell einzeichnen. Und nun zur Oberflächenberechnung des Oktaeders. A, die Oberfläche des Oktaeders, ist gleich 8 * A∆, die achtfache Fläche des gleichseitigen Dreiecks. A∆, die Dreiecksfläche, ist allgemein (g * h)/2. Grundseite mal Höhe durch zwei. Wie wir diese Fläche für das gleichseitige Dreieck berechnen, werde ich noch einmal vorführen, obwohl es bereits in anderen Videos von mir gezeigt wurde. Rechts eine Zeichnung des gleichseitigen Dreiecks. Die Dreiecksfläche berechnen wir, indem wir Grundseite mal Höhe miteinander multiplizieren und durch zwei teilen. Zunächst fällen wir von der Spitze das Lot auf die Grundseite. Damit erhalten wir die Höhe h und halbieren die Grundseite. Wir erhalten a/2. Die Höhe h können wir durch a ausdrücken, indem wir den Lehrsatz des Pythagoras anwenden. a², die Hypotenuse zum Quadrat, ist gleich (a/2)², die kleine Kathete zum Quadrat, plus h², die große Kathete zum Quadrat. Wir subtrahieren nun in der ersten Zeile (a/2)², erhalten damit in der zweiten Zeile a² - (a/2)² = h². In der dritten Zeile schreiben wir statt a², 4/4a² - 1/4a² = h². Wir fassen a² auf der linken Seite zusammen und erhalten in der untersten Zeile 3/4a² = h². Wir ziehen nun die Wurzel, wischen die oberen Zeilen weg und schreiben wieder in der ersten Zeile. Wurzel(3/4a²) = Wurzel(h²). Nun verwenden wir ein Wurzelgesetz. Auf der linken Seite der Gleichung, darunter, schreiben wir nun die Wurzeln über die einzelnen Faktoren beziehungsweise Quotienten. Auf der rechten Seite erhalten wir h. Nun vereinfachen wir soweit wie möglich. Wir erhalten somit (Wurzel(3)/2) * a) = h. Damit haben wir die noch fehlende Größe für die Berechnung des gleichseitigen Dreiecks ermittelt. Wir machen nun oben weiter und schreiben: A∆ = (a * (Wurzel(3)/2) * a)/2. Das ergibt den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks A∆ = (Wurzel(3)/4) * a². Den Wert setzen wir ein in die Formel, die ganz oben steht und erhalten: A = 8 * (Wurzel(3)/4) * a². Wir können nun acht und vier gegeneinander kürzen, indem wir durch vier teilen. Wir erhalten somit für den Flächeninhalt der Oberfläche des Oktaeders: A = 2 * Wurzel(3) * a², wobei a die Länge einer Kante des Oktaeders ist. Vielleicht habt ihr ein wenig Spaß gehabt. Ich wünsche euch alles Gute. Tschüss!