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Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung

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Martin Wabnik

Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung

In diesem Video führen wir einen linksseitigen Hypothesentest durch. Die Aufgabe lautet: Ein Supermarktleiterin hat vor, im Verkaufsraum mehr Produkte ohne Plastikverpackung anzubieten, obwohl diese Produkte vergleichsweise wenig Gewinn abwerfen. Sie würde von ihrem Vorhaben abrücken, wenn in einer Stichprobe vom Umfang n=80 sich viel weniger als die Hälfte der befragten Kunden dagegen aussprechen würden. Führe einen linksseitigen Hypothesentest durch (Signifikanzniveau 8 %).

Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre, wie ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt wird.

    Tipps

    Um einen Ablehnbereich festlegen zu können, musst du wissen, was die Werte des Ablehnbereichs annehmen kann.

    Um eine Zufallsgröße definieren zu können, muss der Wertebereich vollständig bekannt sein.

    Eine Hypothese ist eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten. Für eine Wahrscheinlichkeit braucht man einen Zufallsversuch.

    Lösung

    Soll ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt werden, klären wir als Erstes, um welchen Bernoulli-Versuch es geht. Dazu bestimmen wir nicht nur die Handlung, die bei der Versuchsdurchführung ausgeführt wird, sondern auch, welche die beiden möglichen Ergebnisse sind. Nun können wir definieren, welches Ergebnis der „Erfolg“ sein soll.

    Da wir linksseitig testen wollen, enthält die $H_0$-Hypothese das „Größer-Gleich“-Zeichen: $H_0: p \geq p_0$. Damit ist $p_0$ die Mindesterfolgswahrscheinlichkeit, die statistisch überprüft werden soll.

    Als Nächstes legen wir fest, wie oft wir den Bernoulli-Versuch durchführen wollen. Besteht der Bernoulli-Versuch aus dem Ziehen (mit Zurücklegen) aus einer Grundgesamtheit, sagt man auch: Wir legen den Stichprobenumfang fest.

    Erst danach können wir die Zufallsgröße $X$ definieren, denn diese ist abhängig von der Länge der Bernoulli-Kette. Die Werte der Zufallsgröße $X$ sollen die möglichen Anzahlen der Erfolge sein. Damit steht auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße fest: Es ist eine Binomialverteilung.

    Der Ablehnbereich ergibt sich nun aus dem Signifikanzniveau, welches von Anfang an schon feststand.

  • Beschreibe, wie Moritz seinen Hypothesentest durchführen kann.

    Tipps

    Um entscheiden zu können, ob Moritz sich zur Wahl stellt oder nicht, muss eine Regel ermittelt werden. Dazu gehört das Aufstellen einer Hypothese $H_0$.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ kleiner oder gleich $g$ ist, wird mit $P(X \leq g)$ bezeichnet. Diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner oder gleich $\alpha$ sein.

    Die Länge der Bernoulli-Kette ist abhängig von der Anzahl der befragten Schüler.

    Lösung

    Moritz stellt eine Nullhypothese $H_0:p\leq 0,3=p_0$ für einen linksseitigen Hypothesentest auf. Wenn Moritz jeden der $30$ Mitschüler fragt, bestehen für diese nur zwei Antwortmöglichkeiten. Die einzelnen Fragen sind also Bernoulli-Versuche. Wir gehen vereinfachend von der stochastischen Unabhängigkeit der einzelnen Bernoulli-Versuche aus. Diese Bernoulli-Versuche bilden eine Bernoulli-Kette der Länge $n=30$.

    Im nächsten Schritt suchen wir eine natürliche Zahl $g$, für die gilt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ kleiner oder gleich $g$ ist, kleiner oder gleich $\alpha$ ist. Also: $P(X\leq g)\leq \alpha$.

    Als Nächstes wird $g=5$ in die Ungleichung $P(X\leq g)\leq \alpha$ eingesetzt. Da $P(X \leq 5) \approx 0,0766$ größer ist als $0,05$, wird die nächstkleinere natürliche Zahl in die Ungleichung eingesetzt. In dem Fall ergibt sich dann für $g=4$.

    Es ergibt sich: $P(X\leq 4) \approx 0,0302$. Mit $0,0302< 0,05$ ist die Ungleichung erfüllt und die Entscheidungsregel steht fest: Moritz wird sich ab mindestens $5$ Stimmen zur Wahl aufstellen lassen.

  • Wende einen linksseitigen Hypothesentest an.

    Tipps

    Führen wir einen Hypothesentest durch, vergleichen wir die Hypothese mit einer bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit.

    Welche Hypothese getestet werden soll, lässt sich manchmal aus dem Aufgabentext ermitteln.

    Lösung

    Führen wir einen Hypothesentest durch, vergleichen wir die Stichprobe mit einer hypothetischen Situation, nämlich mit der, dass die der Zufallsvariable zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit $p_0$ gleich einer bestimmten Zahl $p$ ist. Lautet die Hypothese, die Erfolgswahrscheinlichkeit $p_0$ sei größer als eine bestimmte Zahl $p$, ist nicht klar, mit welcher Erfolgswahrscheinlichkeit wir das Stichprobenergebnis vergleichen können. Deshalb sind Hypothesen der Form $H:p > p_0$ mit $p_0 \in \, ]\,0; \, 1[$ gänzlich unbrauchbar.

    Es ist möglich, die Zufallsgröße „$X$: Anzahl der Felder, auf denen A-Corn von Schädlingen weniger geschädigt wurde als Bi-Mais“ zu definieren und dann mit der Hypothese $H_0 : p \geqslant 0,5$ einen linksseitigen Hypothesentest durchzuführen. Der Ablehnbereich ist dann $A: \{0; \; 1; \; 2; \; ...\; ; \; 18\}$ bei einem Signifikanzniveau von $5\%$.

    Läge das Stichprobenergebnis dann im Ablehnbereich, könnten wir die Hypothese, A-Corn werde von Schädlingen weniger geschädigt als Bi-Mais, verwerfen. Laut Aufgabenstellung wollten wir aber herausfinden, ob Bi-Mais von Schäldingen weniger geschädigt werde als A-Corn. Insofern passt dieser Hypothesentest nicht zur Aufgabe.

    Die einzige richtige Angabe ist also:

    • Zufallsgröße $X$: Anzahl der Felder, auf denen Bi-Mais von Schädlingen weniger geschädigt wurde als A-Corn
    • $H_0 : p \geqslant 0,5$
    • $A: \{0; \; 1; \; 2; \; ...\; ; \; 18\}$
    Es mag etwas willkürlich anmuten, fehlerfreie Hypothesentests zur Beurteilung eines Sachverhalts nicht zuzulassen, nur weil sie dem Wortlaut der Aufgabenstellung nicht entsprechen. Und dieser Eindruck ist durchaus berechtigt!

    Es müssen hier aber zwei verschiedene Situationen unterschieden werden: Geht es darum, eine Aufgabe auszuführen, ist es schon wichtig, die Aufgabenstellung zu berücksichtigen. Geht es aber darum, einen Sachverhalt mittels einer Stichprobe zu beurteilen, wird man sich nicht auf eine bestimmte Aufgabenstellung versteifen, sondern versuchen, die erhaltenen Daten möglichst sinnvoll und auch gerne aus verschiedenen Perspektiven betrachtend zu interpretieren. Zum Beispiel kann man sich fragen, welche Hypothesen mit dem vorliegenden Datenmaterial verworfen werden können.

    Um unsinnige oder gar falsche Interpretationen zu vermeiden, ist aber eine belastbare und vollständige Dokumentation der Testplanung und -durchführung sowie der Messung selbst vonnöten.

  • Wann ist ein linksseitiger Hypothesentest sinnvoll?

    Tipps

    Um einen Hypothesentest durchzuführen, ist ein Testverfahren zu finden.

    Da niemand die Zukunft vorhersehen kann, werden (z. B. auch) Hypothesentests durchgeführt, um heute schon feststellen zu können, was für die Zukunft plausibel erscheint.

    Möglicherweise möchte man sich auf eine bestimmte Zukunft einstellen, findet aber keine sinnvolle Möglichkeit, dazu gegenwärtig einen Test durchzuführen.

    Lösung

    Frau Amboss kann mehrere Menschen fragen, ob sie ihr Produkt kaufen würden. Als „Erfolg“, kann das Kaufinteresse gelten. Zeigen besonders wenige Menschen dieses Interesse, ist es sinnvoll, nicht mehr von einem Verkaufserfolg auszugehen. Ein linksseitiger Hypothesentest kann ihr eine Entscheidungsgrundlage bieten.

    Herr Müller-Hurzfelder wird nur überzeugt sein, mit der neuen Foundation wirklich noch attraktiver zu sein als vorher, wenn er viel mehr Komplimente bekommt als vorher. Das kann er nur mit einem rechtsseitigen Hypothesentest testen, da nur bei einem solchen Test der „interessante“ Bereich rechts liegt. Hat er bisher von $30\ %$ der für ihn interessanten Personen Komplimente bekommen, kann er die Hypothese $p_0 ~\le~ 0,3$ rechtsseitig testen und diese verwerfen, wenn es jetzt viel mehr Komplimente sind, als mit einer $30\%$-igen Wahrscheinlichkeit vereinbar wären.

    Ob es ihm in Timbuktu besser gefallen wird als in Buxtehude, kann Jaques nicht mit einem Hypothesentest untersuchen, da ein Geschmacksurteil nicht Gegenstand eines solchen Tests sein kann.

    Da der für Elli wichtige Bereich – besonders wenige neue Follower – auf der linken Seite der üblichen Wahrscheinlichkeitsskala liegt, könnte ein Mensch, der nur auf Stichworte in Aufgaben achtet, darauf kommen, hier ginge es um einen linksseitigen Hypothesentest. Notwendig für einen Hypothesentest ist aber eine Stichprobe, die Elli gar nicht nötig hat, da sie normalerweise mit vollständigen, detaillierten Daten über ihren medialen Auftritt versorgt wird. Zum Beispiel kann sie in entsprechenden Analytik-Programmen erkennen, wie sich die Rate derer, die zum ersten Mal ihre Website besuchen und dann zu Followern werden, durch die Kant-Zitate verändert. Diese Information bekommt sie aber von allen Usern, weshalb sie keine Stichprobe benötigt.

    Horst könnte seine Meinung, das meiste, was in den Medien behauptet werde, sei wahr, dadurch statistisch widerlegen, dass besonders wenige Behauptungen einer Wahrheitsüberprüfung stand halten. Das ist ein typischer Fall für einen linksseitigen Hypothesentest. Möglicherweise löst eine solche Widerlegung bei Horst aber auch eine kognitive Dissonanz aus, die er durch abstruse Verschwörungstheorien loszuwerden versuchen wird.

  • Ordne den gegebenen Tripeln deren Ablehnbereiche zu.

    Tipps

    Ist das Signifikanzniveau $\alpha = 10 \%$, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ablehnbereich nicht größer als $10 \%$ sein soll.

    Gibt es keine Erfolgsanzahl $k_{10}$ mit $P(X \le k_{10}) = 0,1$, nimmt man als oberste Erfolgsanzahl des Ablehnbereichs das größte $k$ für das gilt: $P(X \le k) <0,1$.

    Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,5$ und ist $n = 100$, gilt:

    $P(X \le 42) \approx 0,0666$ und $P(X \le 41) \approx 0,0443$. Wird ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt und ist das Signifikanzniveau $5 \%$, geht der Ablehnbereich bis $X = 41$, denn $41$ ist die größte Zahl $k_m$, für die $P(X \le k_m)$ noch kleiner als $5 \%$ ist.

    Lösung

    Beispiel 1:

    Ist $p_0 \ge 0,7$; $n = 100$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 64) \approx 0,1161$ und
    • $P(X \le 63) \approx 0,0799$
    Damit ist $63$ die größte Zahl, für die gilt, dass alle Wahrscheinlichkeiten von $63$ abwärts (d. h. gleich $63$ oder kleiner) kleiner (oder gleich) $10 \%$ sind.

    Beispiel 2:

    Ist $p_0 \ge 0,75$; $n = 90$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 62) \approx 0,1133$ und
    • $P(X \le 61) \approx 0,0748$
    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von $0$ bis $62$ ist größer als $10 \%$ und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von $0$ bis $61$ ist kleiner als $10 \%$. Deshalb geht der Ablehnbereich von $X = 0$ bis $X = 61$.

    Beispiel 3:

    Ist $p_0 \ge 0,9$; $n = 74$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 63) \approx 0,1178$ und
    • $P(X \le 62) \approx 0,0631$
    Deshalb geht der Ablehnbereich bis $X = 62$.

    Beispiel 4:

    Ist $p_0 \ge 0,53$; $n = 140$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 67) \approx 0,1283$ und
    • $P(X \le 66) \approx 0,0962$
    Deshalb geht der Ablehnbereich bis $X = 66$.

    Beispiel 5:

    Ist $p_0 \ge 0,253$; $n = 300$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 66) \approx 0,1047$ und
    • $P(X \le 65) \approx 0,0819$
    Deshalb geht der Ablehnbereich bis $X = 65$.

    Diese Aufgabe dient nicht nur dazu, Ergebnisse hinzuschreiben. Du kannst sie auch verwenden, um Ergebnisse miteinander zu vergleichen. Dadurch bekommst du ein gutes Gefühl für das Zusammenspiel von Erfolgswahrscheinlichkeiten, Stichprobenumfängen und den zugehörigen Ablehnbereichen.

    Vielleicht ist dir aufgefallen, dass die hier gezeigten Ablehnbereiche sehr ähnlich sind. Du kannst dir z. B. überlegen, wie sich die Erfolgswahrscheinlichkeiten $p$ ändern müssen, um bei steigenden Stichprobenumfängen $n$ ähnliche Ablehnbereiche zu realisieren.

  • Erläutere, welche Punkte eines Hypothesentests mathematisch begründet sind

    Tipps

    Ein Hypothesentest funktioniert im Prinzip mit jedem (vernünftigen) $n$. Je größer das $n$ aber ist, desto aussagekräftiger wird der Hypothesentest.

    Was wir voraussetzen müssen, um einen Hypothesentest durchführen zu können: Die Stichprobe ähnelt der Grundgesamtheit.

    Ähnelt die Stichprobe der Grundgesamtheit, sind die Schlüsse, die wir aus dem Hypothesentest ziehen, automatisch richtig.

    Lösung

    Zwar lässt sich mathematisch zeigen, dass eine Erhöhung von $n$ die Wahrscheinlichkeit verbessert, durch einen Test richtige Entscheidungen zu treffen, aber die Entscheidung für ein bestimmtes $n$ hat wenig mit Mathematik zu tun, sondern eher mit dem Geldbeutel. Denn das, was an einem Hypothesentest oft am teuersten ist, ist das Ziehen der Stichprobe.

    Ziehen wir eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, kann es immer sein, dass die relative Erfolgshäufigkeit $h$ nicht in der Nähe von $p_{_G}$ liegt.

    Die meisten möglichen Stichproben einer Grundgesamtheit haben aber ein $h$, welches in der Nähe von $p_{_G}$ liegt. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit groß, mit der Annahme, ein solches $h$ vorliegen zu haben, richtig zu liegen. Diese Voraussetzung müssen wir in den Hypothesentest „hineinstecken“, bevor wir etwas berechnen und damit ein mathematisches Verfahren anwenden können.

    Die Festlegung des Signifikanzniveaus ist von Anwendungssituation zu Anwendungssituation verschieden und die Entscheidung trifft nicht die Mathematik.

    Wenn $h$ ähnlich zu $p_{_G}$ wäre und $h$ stark von $p_{_0}$ abwiche, wäre die Hypothese tatsächlich falsch und sollte folgerichtig verworfen werden. Das folgt dann rein mathematisch aus den Voraussetzungen.

    Die Formulierung der Entscheidungsregel folgt der mathematischen Methode des Hypothesentests und ist bereits festgelegt, wenn man sich auf $\alpha$ und $n$ geeinigt hat.

    Beim Umsetzen von Entscheidungen kommt die Verantwortung ins Spiel. Die Mathematik kann als Geflecht von Axiomen, Sätzen und Beweisen keine Verantwortung übernehmen.

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