Lernen mit Spaß!

Verbessere deine Noten mit sofatutor!

Lernen mit Spaß!

sofatutor kostenlos testen!

Angebot könnte bald enden!
Angebot könnte bald enden!

Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 4.0 / 4 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung

In diesem Video führen wir einen linksseitigen Hypothesentest durch. Die Aufgabe lautet: Ein Supermarktleiterin hat vor, im Verkaufsraum mehr Produkte ohne Plastikverpackung anzubieten, obwohl diese Produkte vergleichsweise wenig Gewinn abwerfen. Sie würde von ihrem Vorhaben abrücken, wenn in einer Stichprobe vom Umfang n=80 sich viel weniger als die Hälfte der befragten Kunden dagegen aussprechen würden. Führe einen linksseitigen Hypothesentest durch (Signifikanzniveau 8 %).

Transkript Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung

Hallo. Stellen wir uns eine Marktleiterin eines großen Supermarktes vor, die mehr unverpackte Lebensmittel anbieten möchte. Stellen wir uns weiter vor, was mit solchen neuen Produkten normalerweise passiert. Erstens sind sie für den Kunden teurer und zweitens werfen sie weniger Gewinn ab. Aber unsere Marktleiterin hat nachgerechnet und ist darauf gekommen, dass sich die Sache dann lohnt und der Supermarkt eben nicht draufzahlen muss, wenn mindestens die Hälfte der Kunden diese neuen Lebensmittel kaufen würde. So, und das ist ein Fall für einen Hypothesentest und da kommen wir ins Spiel. Wir haben folgende Aufgabe: Eine Supermarktleiterin hat vor, im Verkaufsraum mehr Produkte ohne Plastikverpackung anzubieten, obwohl diese Produkte vergleichsweise wenig Gewinn abwerfen. Sie würde von ihrem Vorhaben abrücken, wenn sich in einer Stichprobe vom Umfang n = 80 viel weniger als die Hälfte der befragten Kunden dafür aussprechen würden. Führe einen linksseitigen Hypothesentest durch, Signifikanzniveau 8 %. Wenn wir eine Person danach befragen, ob sie für Lebensmittel ohne Plastikverpackung ist oder dagegen, können wir diese Befragung als einen Bernoulli-Versuch auffassen. Fragen wir 80 Personen, haben wir eine Bernoulli-Kette der Länge n = 80. Das Ergebnis einer solchen Umfrage ist eine relative Häufigkeit h. Und wenn wir zum Beispiel 34 Leute finden, die für Lebensmittel ohne Plastikverpackung sind, haben wir eine relative Häufigkeit von 0,425, oder halt 34/80. Wir wollen eine solche relative Häufigkeit mit einer hypothetischen Situation vergleichen. Zum Beispiel mit der, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Person zu finden, die für Lebensmittel ohne Plastikverpackung ist, gleich 0,5 ist. Und in einem Hypothesentest heißt diese hypothetische Situation oder eben die Hypothese immer h0. Und so wir das aufgeschrieben: H0: P = 0,5. Weil wir linksseitig testen wollen, verwerfen wir diese H0-Hypothese, wenn wir sehr wenige Menschen finden, die dafür sind. Und dann können wir nicht nur diese Hypothese verwerfen, sondern auch alle anderen Hypothesen, bei denen die Wahrscheinlichkeit P > 0,5 ist. Und deshalb schreibt man oft auch hier das ≥ Zeichen hin. Wenn wir diesen Zufallsversuch 80-mal ausführen, erhalten wir eine binomialverteilte Zufallsgröße X, die nämlich die Anzahl der Kunden angibt, die für unverpackte Lebensmittel sind. Wir können uns mal eine Grafik der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgrößen ansehen. Ja, wir haben hier die Wahrscheinlichkeit für 40 Erfolge, hier die Wahrscheinlichkeit für 30, hier für 50. Das geht an beiden Seiten noch weiter. Aber da sind die Wahrscheinlichkeiten so klein, dass man sie hier nicht aufschreiben kann. Wir wollen linksseitig testen. Das bedeutet, wenn die Anzahl der Kunden, die sich für unverpackte Lebensmittel aussprechen, hier in diesem linken Bereich liegt, dann wollen wir diese Hypothese verwerfen. Und der linke Bereich besteht aus allen Wahrscheinlichkeiten, die zusammen höchstens 8 % der gesamten Wahrscheinlichkeit ausmachen. Weil nämlich das Signifikanzniveau gleich 8 % ist. Dass wir linksseitig testen, geben wir an, indem wir die Alternative h1 aufschreiben. Ja, die heißt immer so. Und die ist P < 0,5. Und dieses Kleiner-Zeichen steht hier, weil wir linksseitig testen wollen. Um eine Entscheidungsregel formulieren zu können, suchen wir eine natürliche Zahl g, für die gilt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X ≤ g ist, ≤ 0,08 ist. Und 0,08 steht hier, weil das Signifikanzniveau 8 % ist. Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, dieses g zu finden. Eine Möglichkeit ist, einfach mal was auszuprobieren. Ja, wir haben jetzt schon eine Grafik der Wahrscheinlichkeitsverteilung gesehen und haben deshalb eine ungefähre Vorstellung, wo dieses g liegen kann. Wenn wir das dann nachgucken, haben wir folgende Zahlen: P (X ≤ 33) ≈ 0,0728 Das ist kleiner als 8 %. Und wir haben P (X ≤ 34) ≈ 0,1083 Und das ist größer als 8 %. Daraus folgt nun, dass unser Ablehnungsbereich für die Hypothese h0 von 0 bis 33 geht. Hätten wir also ein Stichprobenergebnis von h = 0,425, also eine relative Häufigkeit von 34/80, hätten wir dann also 34 Menschen getroffen, die sich für unverpackte Lebensmittel aussprechen. Das ist nicht im Ablehnbereich. Und deshalb würden wir H0 nicht verwerfen. Dann haben wir noch die Entscheidungsregel, die man zum Beispiel so formulieren kann: Sprechen sich in der Umfrage vom Umfang 80 höchstens 33 Kunden für unverpackte Lebensmittel aus, so soll die Hypothese der Anteil der Kunden, die unverpackte Lebensmittel wünschen, sei mindestens gleich 1/2, verworfen werden. So, dann sind wir fertig. Und, kommen jetzt die unverpackten Lebensmittel, oder nicht? Bei bis zu 33 Befürwortern kommen sie nicht. Und ab 34 Befürwortern gibt es demnächst unverpackte Lebensmittel. Das ist ein bisschen willkürlich. Aber gut, irgendwo muss man halt eine Grenze festsetzen, wenn man sich für einen Hypothesentest entscheidet. Oder man geht gleich ganz anders vor und sagt sich: Okay, die Lebensmittel sehen ja auch viel besser aus als die verpackten Lebensmittel. Und dann möchte ich sowieso unverpackte Lebensmittel verkaufen. Obwohl wir hier jetzt sehr in die Trickkiste gegriffen haben, um die Lebensmittel besser aussehen zu lassen. Also mathematisch neutral ist das nicht, was wir hier machen. Viel Spaß damit. Tschüss.

Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linksseitiger Hypothesentest – Plastikverpackung kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre, wie ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt wird.

    Tipps

    Um einen Ablehnbereich festlegen zu können, musst du wissen, was die Werte des Ablehnbereichs annehmen kann.

    Um eine Zufallsgröße definieren zu können, muss der Wertebereich vollständig bekannt sein.

    Eine Hypothese ist eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten. Für eine Wahrscheinlichkeit braucht man einen Zufallsversuch.

    Lösung

    Soll ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt werden, klären wir als Erstes, um welchen Bernoulli-Versuch es geht. Dazu bestimmen wir nicht nur die Handlung, die bei der Versuchsdurchführung ausgeführt wird, sondern auch, welche die beiden möglichen Ergebnisse sind. Nun können wir definieren, welches Ergebnis der „Erfolg“ sein soll.

    Da wir linksseitig testen wollen, enthält die $H_0$-Hypothese das „Größer-Gleich“-Zeichen: $H_0: p \geq p_0$. Damit ist $p_0$ die Mindesterfolgswahrscheinlichkeit, die statistisch überprüft werden soll.

    Als Nächstes legen wir fest, wie oft wir den Bernoulli-Versuch durchführen wollen. Besteht der Bernoulli-Versuch aus dem Ziehen (mit Zurücklegen) aus einer Grundgesamtheit, sagt man auch: Wir legen den Stichprobenumfang fest.

    Erst danach können wir die Zufallsgröße $X$ definieren, denn diese ist abhängig von der Länge der Bernoulli-Kette. Die Werte der Zufallsgröße $X$ sollen die möglichen Anzahlen der Erfolge sein. Damit steht auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße fest: Es ist eine Binomialverteilung.

    Der Ablehnbereich ergibt sich nun aus dem Signifikanzniveau, welches von Anfang an schon feststand.

  • Beschreibe, wie Moritz seinen Hypothesentest durchführen kann.

    Tipps

    Um entscheiden zu können, ob Moritz sich zur Wahl stellt oder nicht, muss eine Regel ermittelt werden. Dazu gehört das Aufstellen einer Hypothese $H_0$.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ kleiner oder gleich $g$ ist, wird mit $P(X \leq g)$ bezeichnet. Diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner oder gleich $\alpha$ sein.

    Die Länge der Bernoulli-Kette ist abhängig von der Anzahl der befragten Schüler.

    Lösung

    Moritz stellt eine Nullhypothese $H_0:p\leq 0,3=p_0$ für einen linksseitigen Hypothesentest auf. Wenn Moritz jeden der $30$ Mitschüler fragt, bestehen für diese nur zwei Antwortmöglichkeiten. Die einzelnen Fragen sind also Bernoulli-Versuche. Wir gehen vereinfachend von der stochastischen Unabhängigkeit der einzelnen Bernoulli-Versuche aus. Diese Bernoulli-Versuche bilden eine Bernoulli-Kette der Länge $n=30$.

    Im nächsten Schritt suchen wir eine natürliche Zahl $g$, für die gilt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ kleiner oder gleich $g$ ist, kleiner oder gleich $\alpha$ ist. Also: $P(X\leq g)\leq \alpha$.

    Als Nächstes wird $g=5$ in die Ungleichung $P(X\leq g)\leq \alpha$ eingesetzt. Da $P(X \leq 5) \approx 0,0766$ größer ist als $0,05$, wird die nächstkleinere natürliche Zahl in die Ungleichung eingesetzt. In dem Fall ergibt sich dann für $g=4$.

    Es ergibt sich: $P(X\leq 4) \approx 0,0302$. Mit $0,0302< 0,05$ ist die Ungleichung erfüllt und die Entscheidungsregel steht fest: Moritz wird sich ab mindestens $5$ Stimmen zur Wahl aufstellen lassen.

  • Wende einen linksseitigen Hypothesentest an.

    Tipps

    Führen wir einen Hypothesentest durch, vergleichen wir die Hypothese mit einer bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit.

    Welche Hypothese getestet werden soll, lässt sich manchmal aus dem Aufgabentext ermitteln.

    Lösung

    Führen wir einen Hypothesentest durch, vergleichen wir die Stichprobe mit einer hypothetischen Situation, nämlich mit der, dass die der Zufallsvariable zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit $p_0$ gleich einer bestimmten Zahl $p$ ist. Lautet die Hypothese, die Erfolgswahrscheinlichkeit $p_0$ sei größer als eine bestimmte Zahl $p$, ist nicht klar, mit welcher Erfolgswahrscheinlichkeit wir das Stichprobenergebnis vergleichen können. Deshalb sind Hypothesen der Form $H:p > p_0$ mit $p_0 \in \, ]\,0; \, 1[$ gänzlich unbrauchbar.

    Es ist möglich, die Zufallsgröße „$X$: Anzahl der Felder, auf denen A-Corn von Schädlingen weniger geschädigt wurde als Bi-Mais“ zu definieren und dann mit der Hypothese $H_0 : p \geqslant 0,5$ einen linksseitigen Hypothesentest durchzuführen. Der Ablehnbereich ist dann $A: \{0; \; 1; \; 2; \; ...\; ; \; 18\}$ bei einem Signifikanzniveau von $5\%$.

    Läge das Stichprobenergebnis dann im Ablehnbereich, könnten wir die Hypothese, A-Corn werde von Schädlingen weniger geschädigt als Bi-Mais, verwerfen. Laut Aufgabenstellung wollten wir aber herausfinden, ob Bi-Mais von Schäldingen weniger geschädigt werde als A-Corn. Insofern passt dieser Hypothesentest nicht zur Aufgabe.

    Die einzige richtige Angabe ist also:

    • Zufallsgröße $X$: Anzahl der Felder, auf denen Bi-Mais von Schädlingen weniger geschädigt wurde als A-Corn
    • $H_0 : p \geqslant 0,5$
    • $A: \{0; \; 1; \; 2; \; ...\; ; \; 18\}$
    Es mag etwas willkürlich anmuten, fehlerfreie Hypothesentests zur Beurteilung eines Sachverhalts nicht zuzulassen, nur weil sie dem Wortlaut der Aufgabenstellung nicht entsprechen. Und dieser Eindruck ist durchaus berechtigt!

    Es müssen hier aber zwei verschiedene Situationen unterschieden werden: Geht es darum, eine Aufgabe auszuführen, ist es schon wichtig, die Aufgabenstellung zu berücksichtigen. Geht es aber darum, einen Sachverhalt mittels einer Stichprobe zu beurteilen, wird man sich nicht auf eine bestimmte Aufgabenstellung versteifen, sondern versuchen, die erhaltenen Daten möglichst sinnvoll und auch gerne aus verschiedenen Perspektiven betrachtend zu interpretieren. Zum Beispiel kann man sich fragen, welche Hypothesen mit dem vorliegenden Datenmaterial verworfen werden können.

    Um unsinnige oder gar falsche Interpretationen zu vermeiden, ist aber eine belastbare und vollständige Dokumentation der Testplanung und -durchführung sowie der Messung selbst vonnöten.

  • Wann ist ein linksseitiger Hypothesentest sinnvoll?

    Tipps

    Um einen Hypothesentest durchzuführen, ist ein Testverfahren zu finden.

    Da niemand die Zukunft vorhersehen kann, werden (z. B. auch) Hypothesentests durchgeführt, um heute schon feststellen zu können, was für die Zukunft plausibel erscheint.

    Möglicherweise möchte man sich auf eine bestimmte Zukunft einstellen, findet aber keine sinnvolle Möglichkeit, dazu gegenwärtig einen Test durchzuführen.

    Lösung

    Frau Amboss kann mehrere Menschen fragen, ob sie ihr Produkt kaufen würden. Als „Erfolg“, kann das Kaufinteresse gelten. Zeigen besonders wenige Menschen dieses Interesse, ist es sinnvoll, nicht mehr von einem Verkaufserfolg auszugehen. Ein linksseitiger Hypothesentest kann ihr eine Entscheidungsgrundlage bieten.

    Herr Müller-Hurzfelder wird nur überzeugt sein, mit der neuen Foundation wirklich noch attraktiver zu sein als vorher, wenn er viel mehr Komplimente bekommt als vorher. Das kann er nur mit einem rechtsseitigen Hypothesentest testen, da nur bei einem solchen Test der „interessante“ Bereich rechts liegt. Hat er bisher von $30\ %$ der für ihn interessanten Personen Komplimente bekommen, kann er die Hypothese $p_0 ~\le~ 0,3$ rechtsseitig testen und diese verwerfen, wenn es jetzt viel mehr Komplimente sind, als mit einer $30\%$-igen Wahrscheinlichkeit vereinbar wären.

    Ob es ihm in Timbuktu besser gefallen wird als in Buxtehude, kann Jaques nicht mit einem Hypothesentest untersuchen, da ein Geschmacksurteil nicht Gegenstand eines solchen Tests sein kann.

    Da der für Elli wichtige Bereich – besonders wenige neue Follower – auf der linken Seite der üblichen Wahrscheinlichkeitsskala liegt, könnte ein Mensch, der nur auf Stichworte in Aufgaben achtet, darauf kommen, hier ginge es um einen linksseitigen Hypothesentest. Notwendig für einen Hypothesentest ist aber eine Stichprobe, die Elli gar nicht nötig hat, da sie normalerweise mit vollständigen, detaillierten Daten über ihren medialen Auftritt versorgt wird. Zum Beispiel kann sie in entsprechenden Analytik-Programmen erkennen, wie sich die Rate derer, die zum ersten Mal ihre Website besuchen und dann zu Followern werden, durch die Kant-Zitate verändert. Diese Information bekommt sie aber von allen Usern, weshalb sie keine Stichprobe benötigt.

    Horst könnte seine Meinung, das meiste, was in den Medien behauptet werde, sei wahr, dadurch statistisch widerlegen, dass besonders wenige Behauptungen einer Wahrheitsüberprüfung stand halten. Das ist ein typischer Fall für einen linksseitigen Hypothesentest. Möglicherweise löst eine solche Widerlegung bei Horst aber auch eine kognitive Dissonanz aus, die er durch abstruse Verschwörungstheorien loszuwerden versuchen wird.

  • Ordne den gegebenen Tripeln deren Ablehnbereiche zu.

    Tipps

    Ist das Signifikanzniveau $\alpha = 10 \%$, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ablehnbereich nicht größer als $10 \%$ sein soll.

    Gibt es keine Erfolgsanzahl $k_{10}$ mit $P(X \le k_{10}) = 0,1$, nimmt man als oberste Erfolgsanzahl des Ablehnbereichs das größte $k$ für das gilt: $P(X \le k) <0,1$.

    Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,5$ und ist $n = 100$, gilt:

    $P(X \le 42) \approx 0,0666$ und $P(X \le 41) \approx 0,0443$. Wird ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt und ist das Signifikanzniveau $5 \%$, geht der Ablehnbereich bis $X = 41$, denn $41$ ist die größte Zahl $k_m$, für die $P(X \le k_m)$ noch kleiner als $5 \%$ ist.

    Lösung

    Beispiel 1:

    Ist $p_0 \ge 0,7$; $n = 100$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 64) \approx 0,1161$ und
    • $P(X \le 63) \approx 0,0799$
    Damit ist $63$ die größte Zahl, für die gilt, dass alle Wahrscheinlichkeiten von $63$ abwärts (d. h. gleich $63$ oder kleiner) kleiner (oder gleich) $10 \%$ sind.

    Beispiel 2:

    Ist $p_0 \ge 0,75$; $n = 90$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 62) \approx 0,1133$ und
    • $P(X \le 61) \approx 0,0748$
    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von $0$ bis $62$ ist größer als $10 \%$ und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von $0$ bis $61$ ist kleiner als $10 \%$. Deshalb geht der Ablehnbereich von $X = 0$ bis $X = 61$.

    Beispiel 3:

    Ist $p_0 \ge 0,9$; $n = 74$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 63) \approx 0,1178$ und
    • $P(X \le 62) \approx 0,0631$
    Deshalb geht der Ablehnbereich bis $X = 62$.

    Beispiel 4:

    Ist $p_0 \ge 0,53$; $n = 140$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 67) \approx 0,1283$ und
    • $P(X \le 66) \approx 0,0962$
    Deshalb geht der Ablehnbereich bis $X = 66$.

    Beispiel 5:

    Ist $p_0 \ge 0,253$; $n = 300$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt:

    • $P(X \le 66) \approx 0,1047$ und
    • $P(X \le 65) \approx 0,0819$
    Deshalb geht der Ablehnbereich bis $X = 65$.

    Diese Aufgabe dient nicht nur dazu, Ergebnisse hinzuschreiben. Du kannst sie auch verwenden, um Ergebnisse miteinander zu vergleichen. Dadurch bekommst du ein gutes Gefühl für das Zusammenspiel von Erfolgswahrscheinlichkeiten, Stichprobenumfängen und den zugehörigen Ablehnbereichen.

    Vielleicht ist dir aufgefallen, dass die hier gezeigten Ablehnbereiche sehr ähnlich sind. Du kannst dir z. B. überlegen, wie sich die Erfolgswahrscheinlichkeiten $p$ ändern müssen, um bei steigenden Stichprobenumfängen $n$ ähnliche Ablehnbereiche zu realisieren.

  • Erläutere, welche Punkte eines Hypothesentests mathematisch begründet sind

    Tipps

    Ein Hypothesentest funktioniert im Prinzip mit jedem (vernünftigen) $n$. Je größer das $n$ aber ist, desto aussagekräftiger wird der Hypothesentest.

    Was wir voraussetzen müssen, um einen Hypothesentest durchführen zu können: Die Stichprobe ähnelt der Grundgesamtheit.

    Ähnelt die Stichprobe der Grundgesamtheit, sind die Schlüsse, die wir aus dem Hypothesentest ziehen, automatisch richtig.

    Lösung

    Zwar lässt sich mathematisch zeigen, dass eine Erhöhung von $n$ die Wahrscheinlichkeit verbessert, durch einen Test richtige Entscheidungen zu treffen, aber die Entscheidung für ein bestimmtes $n$ hat wenig mit Mathematik zu tun, sondern eher mit dem Geldbeutel. Denn das, was an einem Hypothesentest oft am teuersten ist, ist das Ziehen der Stichprobe.

    Ziehen wir eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, kann es immer sein, dass die relative Erfolgshäufigkeit $h$ nicht in der Nähe von $p_{_G}$ liegt.

    Die meisten möglichen Stichproben einer Grundgesamtheit haben aber ein $h$, welches in der Nähe von $p_{_G}$ liegt. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit groß, mit der Annahme, ein solches $h$ vorliegen zu haben, richtig zu liegen. Diese Voraussetzung müssen wir in den Hypothesentest „hineinstecken“, bevor wir etwas berechnen und damit ein mathematisches Verfahren anwenden können.

    Die Festlegung des Signifikanzniveaus ist von Anwendungssituation zu Anwendungssituation verschieden und die Entscheidung trifft nicht die Mathematik.

    Wenn $h$ ähnlich zu $p_{_G}$ wäre und $h$ stark von $p_{_0}$ abwiche, wäre die Hypothese tatsächlich falsch und sollte folgerichtig verworfen werden. Das folgt dann rein mathematisch aus den Voraussetzungen.

    Die Formulierung der Entscheidungsregel folgt der mathematischen Methode des Hypothesentests und ist bereits festgelegt, wenn man sich auf $\alpha$ und $n$ geeinigt hat.

    Beim Umsetzen von Entscheidungen kommt die Verantwortung ins Spiel. Die Mathematik kann als Geflecht von Axiomen, Sätzen und Beweisen keine Verantwortung übernehmen.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

2.666

sofaheld-Level

6.196

vorgefertigte
Vokabeln

10.806

Lernvideos

43.923

Übungen

38.639

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden