Intervallhalbierungsverfahren – Beispiel

Intervallhalbierungsverfahren – Beispiel Übung

• Gib an, welche Aussagen zu der Funktion $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x - 2}$ stimmen.

  Tipps

  Die Division durch $0$ ist nicht definiert.

  Eine Asymptote ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion oder einer Achse im Unendlichen annähert.

  Lösung

  Die Aussage „Die Funktion ist überall definiert" ist falsch.

  • Die Funktion ist nämlich an der Stelle $x = 2$ nicht definiert.

  Die Aussage „Wenn wir das Intervallhalbierungsverfahren nur für den Zähler anwenden, bekommen wir als Ergebnis andere Nullstellen." ist falsch.

  • Wenn wir das Intervallhalbierungsverfahren für die Funktion $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$ anwenden, erhalten wir die gleiche Nullstelle, weil eine Funktion, welche aus Zähler und Nenner besteht, dann den Wert $y=0$ annimmt, wenn der Zähler den Wert $0$ annimmt.

  Die Aussage „Der Funktionswert an der Stelle $x = 2$ ist $0$." ist falsch.

  • Die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert. Wenn wir für $x$ gleich $2$ einsetzen, wird der Nenner $0$. Die Division durch null ist aber nicht definiert und somit nicht erlaubt.

• Berechne die Nullstelle mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens.

  Tipps

  Beachte bei der Wahl des Startintervalls, dass die Funktion an der Stelle $\large{x = 2}$ nicht definiert ist.

  Die p-q-Formel ist hier nicht anwendbar.

  Als Startintervall kannst du $\lbrack 1; 1,9\rbrack$ wählen.

  Berechne den Funktionswert $\large{f(x)}$ für die beiden Startwerte und bilde anschließend den Mittelwert des Startintervalls.

  Lösung

  Im Bild sehen wir, dass die Nullstelle $x_0$ zwischen $1$und $2$ liegen muss. Jedoch ist unsere Funktion an der Stelle $x = 2$ nicht stetig. Da die Funktion bei $x = 2$ nicht definiert ist, wählen wir als Startintervall $[1;1,9]$. Mit den gegebenen Werten können wir nun das Intervallhalbierungsverfahren zur Bestimmung der Nullstelle anwenden.

  Wir berechnen zunächst die Funktionswerte für die Werte des Startintervalls.

  • $f(1) = \frac{1^3 - 2\cdot 1^2 + 1 -1}{1 - 2} = 1 $
  • $f(1,9) = \frac{1,9^3 - 2\cdot 1,9^2 + 1,9 -1}{1,9 - 2} = -5,39$

  Wir können sofort erkennen, dass unsere Nullstelle in diesem Bereich liegen muss, da ein Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten geschieht.

  Jetzt bilden wir den Mittelwert des Startintervalls: $x = \frac{1 + 1,9}{2} = 1,45$ und berechnen für diesen Wert den Funktionswert.

  • $f(1,45) = \frac{1,45^3 - 2\cdot 1,45^2 + 1,45 -1}{1,45 - 2} = 1,28$

  Da der Funktionswert für $x = 1,45$ positiv ist, befindet sich die Nullstelle der Funktion im Intervall $[1,45; 1,9]$. Wir bilden wieder den Mittelwert des neuen Startintervalls: $x = \frac{1,45 + 1,9}{2} = 1,675$ und den dazugehörigen Funktionswert.

  • $f(1,675) = \frac{1,675^3 - 2\cdot 1,675^2 + 1,675 -1}{1,675 - 2} = 0,73$

  Der Funktionswert ist wieder positiv. Die Nullstelle liegt daher zwischen $x = 1,675$ und $x = 1,9$. Nun bilden wir wieder den Mittelwert des Intervalls und berechnen anschließend den dazugehörigen Funktionswert.

  Wir wiederholen das Verfahren, bis wir eine hinreichend genaue Nullstelle ermittelt haben. Hier ist nach einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen nach dem Komma gefragt.

  $\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 1\\ 1,45 & 1,28\\ 1,675 & 0,73\\ 1,73125 & 0,28\\ 1,7453125 & 0,12\\ 1,75234375 & 0,03\\ 1,759375 & -0,06\\ 1,7875 & -0,51\\ 1,9 & -5,39\\ \end{array}$

  Die Nullstelle liegt zwischen dem Wert der positiven und negativen Funktionswerte. In unserem Beispiel zwischen $f(1,75234375)$ und $f(1,759375)$. Das Intervallhalbierungsverfahren bestimmt näherungsweise die Nullstellen. Es ist nach einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen nach dem Komma gefragt, deswegen ist unser Ergebnis $x_{0} = 1,75$.

• Entscheide, welche Aussagen über das Intervallhalbierungsverfahren stimmen.

  Tipps

  Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzen wir die Funktion $f(x) = 0$.

  Es gibt aber auch Funktionen, bei denen die Gleichung nicht mit den herkömmlichen Methoden gelöst werden kann.

  • Bsp. $f(x) = x^3 - x + 1 $

  Es ist hilfreich, ungefähr zu wissen, an welchen Stellen sich eine Nullstelle befindet.

  Lösung

  Die Aussage „Die Funktion $f$ hat eine Nullstelle zwischen $x_1$ und $x_2$, wenn $x_1 < 0$ und $x_2 > 0$ gilt.“ ist falsch.

  • Die Funktion hat nur dann mindestens eine Nullstelle in diesem Bereich, wenn die Vorzeichen der Funktionswerte sich ändern, also wenn $f(x_1) < 0$ und $f(x_2) > 0$ gilt.

  Die Aussage „Das Intervallhalbierungsverfahren funktioniert nur, wenn das Startintervall so klein wie möglich gewählt wurde.“ ist falsch.

  • Das Startintervall kann beliebig gewählt werden. Jedoch verkürzt ein kleineres Startintervall den Rechenaufwand erheblich. Außerdem kann bei einem zu groß gewählten Startintervall eine weitere Nullstelle übersehen werden.

  Die Aussage „Das Intervallhalbierungsverfahren können wir nur anwenden, wenn die Funktion genau eine Nullstelle besitzt.“ ist falsch.

  • Wir können nur eine Nullstelle in einem Intervall ermitteln, jedoch können wir das Intervallhalbierungsverfahren für mehrere Intervalle einer Funktion anwenden und so mehrere Nullstellen einer Funktion bestimmen.

• Bestimme die Nullstelle der Funktion mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens.

  Tipps

  Berechne die Funktionswerte des Startintervalls.

  Berechne anschließend den Funktionswert vom Mittelwert des Startintervalls.

  Führe diese Rechnung durch, bis dein Ergebnis auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma genau ist.

  Lösung

  $f(x) = x^5 - x + 1$

  Wir wenden das Intervallhalbierungsverfahren an und erhalten: $x_0 \approx -1,17$

  Zu Beginn berechnen wir die Funktionswerte für das Startintervall, da sich die Nullstelle zwischen diesen beiden Werten befindet.

  • $f(-1) = (-1)^5 - (-1) + 1 = 1$
  • $f(-2) = (-2)^5 - (-2) + 1 = -29$

  Nun bilden wir den Mittelwert des Startintervalls $x = \frac{-1 + (-2)}{2} = -1,5$ und berechnen den dazugehörigen Funktionswert.

  • $f(-1,5) = (-1,5)^5 - (-1,5) + 1 = -5,0938$

  Da der Funktionswert zu $x = -1,5$ negativ ist und der Funktionswert zu $x = -1$ positiv, hat die Funktion in diesem Intervall eine Nullstelle. Wir berechnen den Mittelwert unseres neuen Intervalls $x = \frac{-1 + (-1,5)}{2} = -1,25$ und den dazugehörigen Funktionswert:

  • $f(-1,25) = (-1,25)^5 - (-1,25) + 1 = -0,8018$

  Da der Funktionswert zu $x = -1,25$ negativ ist, liegt die Nullstelle der Funktion im Intervall $[-1,25; -1]$.

  Wir bilden jetzt wieder den Mittelwert des Intervalls und berechnen den dazugehörigen Funktionswert. Du musst das Intervallhalbierungsverfahren nach diesem Schema so oft wiederholen, bis dein Ergebnis hinreichend genau ist. Hier ist nach einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen nach dem Komma gefragt. Du kannst das Verfahren auch öfter wiederholen und bekommst so eine genauere Annäherung an die Nullstelle der Funktion.

  $\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 1\\ -1 & 1\\ -1,125 & 0,3230\\ -1,15625 & 0,0896\\ -1,1640625 & 0,0668\\ -1,166015625 & 0,0106 \\ -1,166992188 & 0,0026 \\ -1,16796875 & -0,0055\\ -1,171875 & -0,0382\\ -1,1875 & -0,1739\\ -1,25 & -0,8018\\ -1,5 & -5,0938\\ -2 & -29 \\ \end{array}$

  Anhand der Tabelle können wir ablesen, dass sich die Nullstelle der Funktion zwischen $x = -1,166992188$ und $x = -1,16796875$ befindet. Es ist nach einer Genauigkeit von zwei Stellen nach dem Komma gefragt und gerundet ergeben beide Ergebnisse $x_0 \approx -1,17$.

• Ergänze die Funktionswerte der x-Werte.

  Tipps

  Wenn $f(x) = x + 3$ ist

  • $f(-4) = -1$
  • und $f(-2) = 1$.

  Um die Funktionswerte zu bestimmen, musst du den gesuchten x-Wert in die Funktion $f(x) =\frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x - 2}$ einsetzen.

  Lösung

  Wir setzen die gegebenen x-Werte in die Funktion $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x - 2}$ ein und erhalten:

  • $f(1) = 1,00$
  • $f(1,45) \approx 1,28$
  • $f(1,75234375) \approx 0,03$
  • $f(1,759375) \approx -0,06$
  • $f(1,9) \approx -5,39$

• Ermittle die Nullstelle mit dem Intervallhalbierungsverfahren.

  Tipps

  Was weißt du über die Nullstellen einer gebrochenen Funktion?

  Überlege, ob du das Intervallhalbierungsverfahren für die gesamte Funktion anwenden musst.

  Wenn das Intervallhalbierungsverfahren zu versagen scheint, ermittle den Grund.

  Die y-Werte für $x=-1$ und $x=0$ sind gleich. Das bedeutet, dass zwischen diesen beiden Stellen ein Extremum bestehen muss.

  Ermittle die Koordinaten des Extremums.

  Lösung

  Es gilt, die Nullstelle dieser Funktion dritten Grades zu bestimmen.

  $\large{f(x) = \frac{x^3 - x -\frac38}{x^5 - 4x^4 + 3x^2 -5}}$

  Um die Nullstellen zu ermitteln, müssen wir nur die Nullstellen des Zählers kennen. Denn an den Nullstellen des Nenners ist die Funktion nicht definiert.

  Wir wenden also das Intervallhalbierungsverfahren für die Funktion $f(x)=x^3 - x -\frac38$ an.

  Wenn wir die ersten x-Werte in die Funktion einsetzen - das sollten hier $x=-1$ und $x=0$ sein, denn dies ist unser Startintervall - erhalten wir jeweils $f(x)=-0,375$. Das ist dir sicherlich etwas merkwürdig vorgekommen. Was ist hier passiert?

  Zunächst kann das immer einmal passieren, zum Beispiel wenn eine Parabel so schmal ist, dass zwischen zwei benachbarten ganzen x-Werten zwei Nullstellen existieren. Wie wir am Graphen der Funktion sehen können, liegt hier aber ein Berührpunkt vor. In dem Fall kann das Intervallhalbierungsverfahren nicht wie gewohnt angewendet werden. Aufgrund der gleichen y-Werte für $x=-1$ und $x=0$, muss aber zwischen diesen beiden x-Werten zumindest ein Hoch- oder Tiefpunkt bestehen.

  Da die gewohnten Methoden nicht mehr greifen, bestünde hier die beste Möglichkeit die Nullstelle zu bestimmen, den x-Wert zwischen den beiden x-Werten $x=-1$ und $x=0$ einzusetzen. Dies ist $x=-0,5$ und gleichzeitig unsere gesuchte Nullstelle der Funktion, denn $f(-0,5)=(-0,5)^3 - (-0,5) -\frac38 = 0$.