30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Intervallhalbierungsverfahren 10:57 min

Textversion des Videos

Transkript Intervallhalbierungsverfahren

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre Dir das Intervallhalbierungsverfahren. Dazu wollen wir zuerst überlegen, wofür und wann man dieses Verfahren verwendet. Und dann will ich Dir das Verfahren direkt an einem Beispiel erklären. Ja, das Intervallhalbierungsverfahren verwendet man, um näherungsweise die Nullstellen von Funktionen zu berechnen oder wie man auch sagt approximativ. Wenn gewöhnliche Verfahren wie die PQ-Formel oder das Erraten von Nullstellen und dann die Polynomdivision versagen, greift man darauf zurück, um zumindest so eine näherungsweise Lösung zu bekommen. Wir wollen das jetzt anhand eines Beispiels machen. Also gesucht ist immer die Nullstelle einer Funktion. Also die Nullstelle von f(x). Und bei uns ist das Beispiel jetzt f(x) = (1/2)x³ - 3x - 8. Ja, wenn man die Nullstelle sucht, setzt man ja die Gleichung, die Funktion gleich Null, also 0 = (1/2)x³ - 3x - 8. Man kann die PQ-Formel nicht anwenden, weil es ja keine quadratische Funktion ist. Und man findet jetzt auch nicht durch Erraten oder so eine Nullstelle. Wir wollen uns erst einmal den Graphen der Funktion angucken, um so eine Vermutung zu kriegen, wo diese Nullstelle ungefähr liegt. Und anhand des Graphen sieht man jetzt, dass wir im Intervall [3, 4] gucken müssen. Also unser Startintervall liegt bei [a,b] = [3,4]. Anhand des Bildes erkennt man auch noch, dass man in diesem Intervall einen Vorzeichenwechsel hat. Also f(3) ist negativ und f(4) ist positiv. Da f stetig ist, da es ja ein Polynom ist, kann man diese Funktion jetzt durchzeichnen und es muss in diesem Intervall eine Nullstelle liegen. Und Hintergrund dafür ist der Nullstellensatz. Wie macht man jetzt das Intervallhalbierungsverfahren? Man macht sich eine Tabelle mit x und f(x). Und da schreibt man jetzt dieses Intervall rein bei x, also drei und vier. Und man berechnet sich jetzt die Funktionswerte. Für drei kommt man auf -3,5 und für vier kommt man auf +12. Und damit man den Vorzeichenwechsel jetzt immer schön sieht, möchte ich immer die negativen Zahlen mit blau unterstreichen und die positiven Zahlen mit grün. So, das Verfahren sagt jetzt: Finde den Mittelwert zwischen drei und vier, berechne den Funktionswert zu diesem x-Wert und finde den neuen Vorzeichenwechsel. Also wir brauchen jetzt den Mittelwert zwischen drei und vier. Also berechne (3 + 4)/2 = 3,5. Und der Funktionswert zu 3,5 ist +2,94. Da es jetzt positiv ist, schreibe ich jetzt das hier unten mit dazu, also 3,5 und +2,94 ist also positiv. Man sieht jetzt auch im Bild, also wir können uns diese Grafik vergrößern und man sieht einmal den Punkt drei zu -3,5 und den Punkt 3,5 zu 2,94. Und das ist jetzt unser neues Intervall. Und dafür machen wir jetzt das Verfahren noch einmal. Also man wiederholt das immer wieder, um immer näher an diese Nullstelle ranzukommen. Also brauchen wir jetzt wieder den Mittelwert zwischen drei und 3,5. (3 + 3,5)/2 = 3,25. Der Funktionswert zu 3,25 ist -0,59, also muss ich mit nach oben schreiben. Und unser neues Intervall ist 3,25 und 3,5. Und da suche ich wieder den Mittelwert: (3,25 + 3,5) = 3,375. Der Funktionswert für 3,375 ist +1,10. Also wieder nach unten schreiben und diese Funktionswerte hier, die sind natürlich nicht exakt, sondern die sind immer auf die ersten zwei Stellen nach dem Komma gerundet, damit ich hier nicht so viel schreiben muss. So und das mache ich jetzt immer weiter. Der Mittelwert zwischen 3,25 und 3,375 ist 3,3125. Der Funktionswert dazu ist positiv. Also schreibe ich es wieder nach unten. Und man sieht jetzt auch immer wieder in der Grafik, wie die Punkte immer näher an die Nullstelle rücken. Der Funktionswert ist +0,24. Und der ist positiv. So, der Mittelwert zwischen 3,25 und 3,3125 ist jetzt 3,28125. Der Funktionswert dazu ist negativ, und zwar -0,18. Dieses Verfahren wiederholt man jetzt so lange, bis sich diese x-Werte auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma stabilisieren. Und das zeige ich Euch gleich, was da raus kommt. Ja, wir haben das Verfahren jetzt immer weiter wiederholt. Also wir haben als nächstes diesen Wert rausgekriegt, dann den und dann den. Und jetzt sind wir an dem Punkt, dass wir bis auf zwei Stellen nach dem Komma die Lösung gefunden haben, nämlich 3,29. Das erkennt man da dran, dass an diesen beiden Zahlen wir einmal einen negativen Funktionswert haben und einmal einen positiven. Das heißt, die wahre exakte Nullstelle, die natürlich viel mehr Stellen hat, liegt jetzt zwischen diesen beiden Werten. Aber auf jeden Fall ist klar, dass 3,29 richtig ist. Und man kann jetzt noch mal zur Überprüfung einfach mal ausrechnen, was f(3,29) ist. Also quasi wie genau sind wir jetzt an der Null? Und da kommt man ungefähr auf -0,06, wenn man in f einsetzt. Das heißt, es ist schon eine recht gute Genauigkeit für so eine approximative Lösung. Und zwischen diesen beiden Zahlen liegt jetzt die ganz exakte Lösung. Die kann man sich zum Beispiel vom Taschenrechner ausrechnen lassen und das ist dann x0 = 3,294853315. Man könnte das quasi jetzt immer weiter machen das Verfahren, dann würde man immer mehr auf diese Stellen kommen. Ja zum Schluss möchte ich noch einmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Wir haben anhand eines Beispiels das Intervallhalbierungsverfahren kennengelernt. Hintergrund dazu ist der Nullstellensatz. Also wir brauchen eine stetige Funktion, die in einem Intervall einen Vorzeichenwechsel hat, dann muss auf jeden Fall in diesem Intervall eine Nullstelle existieren. Und das Intervallhalbierungsverfahren geht dann so: Man sucht sich ein Startintervall, [3,4] haben wir mit der Grafik gefunden. Dann berechnen wir die Funktionswerte, da war ein Vorzeichenwechsel zu finden. Dann berechnet man zwischen diesen beiden Werten den Mittelwert, davon wieder den Funktionswert und sucht den neuen Vorzeichenwechsel. Und das wiederholt man so lange, bis man eine gewünschte Genauigkeit hat. Ja ich hoffe, Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video, Deine Anne.

2 Kommentare
  1. Hi ich bin in der 9.Klasse und ich versuche ein Video mit Interwallhalbierungsverfahren um Wurzeln zu bestimmen zu finden... kann mir da jemand helfen?

    Von Lena0812, vor fast 4 Jahren
  2. Also ich denke für Mathematik Studenten ist das einigermaßen einleuchtend, allerdings für mich, aus der 8. Klasse fallen da zu viele Begriffe, vorallen am Anfang die ein Mittelstufen Schüler nicht versteht.

    Von Johannes H., vor mehr als 4 Jahren

Intervallhalbierungsverfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Intervallhalbierungsverfahren kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Intervallhalbierungsverfahren.

    Tipps

    Nullstellen sind die $x$-Werte (sogenannte Stellen), die eingesetzt in eine Funktion $f(x)$ den Funktionswert Null ergeben.

    Mit dem Intervallhalbierungsverfahren kannst du dich den Nullstellen einer Funktion annähern.

    Lösung

    Mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens, sowie der pq-Formel, kannst du die Nullstellen einer Funktion bestimmen. Die Minima oder Maxima einer Funktion kannst du mit diesen Methoden nicht bestimmen. Die pq-Formel ist nicht immer anwendbar.

    Die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$-Achse bezeichnet man als Nullstelle.

    • $f(x) = 0$
    Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.

  • Berechne die dazugehörigen Funktionswerte.

    Tipps

    Um den Funktionswert zu bestimmten, musst du diesen in die Funktion einsetzen.

    Bsp.: $f(x) = 3x + 5$

    • $f(1) = 3 \cdot 1 + 5 = 8$
    • $f(2) = 3 \cdot 2 + 5 = 11$
    • $f(3) = 3 \cdot 3 + 5 = 14$
    • ...

    Lösung

    Der Funktionswert von $3$ ist

    $f(3) = \frac{1}{2}\cdot 3^3 - 3 \cdot 3 - 8 = - 3,5$.

    Der Funktionswert von $4$ ist

    $f(4) = \frac{1}{2}\cdot 4^3 - 3 \cdot 4 - 8 = 12$.

    Der Funktionswert von $3,5$ ist

    $f(3,5) = \frac{1}{2}\cdot 3,5^3 - 3 \cdot 3,5 - 8 \approx 2,94$.

    Der Funktionswert von $3,25$ ist

    $f(3,25) = \frac{1}{2}\cdot 3,25^3 - 3 \cdot 3,25 - 8 \approx - 0,59$.

    Der Funktionswert von $3,375$ ist

    $f(3,375) = \frac{1}{2}\cdot 3,375^3 - 3 \cdot 3,375 - 8 \approx 1,10$.

    Die Werte sind jeweils auf die zweite Nachkommastelle gerundet.

  • Beschreibe die Anwendung des Intervallhalbierungsverfahrens anhand des Beispiels $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x - 8$.

    Tipps

    Um das Startintervall bestimmen zu können, kannst du dir die Funktion zeichnen lassen. Du kannst auch beliebige Funktionswerte einsetzen und gucken, wann ein Vorzeichenwechsel auftritt.

    Markiere dir die positiven und negativen Funktionswerte farbig um nicht durcheinander zu kommen.

    Lösung

    Mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens können wir näherungsweise Nullstellen von Funktionen bestimmen.

    Dazu müssen wir zunächst ein Startintervall bestimmen, indem die Nullstelle liegt und dann können wir uns iterativ (schrittweise) der Nullstelle nähern. Dazu bestimmen wir jeweils den Mittelwert des eingegrenzten Intervalls und den dazugehörigen Funktionswert. Umso öfter wir das Verfahren anwenden, desto genauer wird unsere Lösung. Wenn sich die $x$-Werte auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma stabilisieren, ist dies für uns hinreichend genau. Es ist jedoch auch möglich, durch wiederholtes Durchführen des Intervallhalbierungsverfahrens, eine sehr genaue Annäherung an die Nullstelle zu erhalten.

  • Ermittle die Nullstelle mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens.

    Tipps

    Lass dir die Funktion zeichnen. Bestimme dann das Startintervall.

    Wenn du das Startintervall $[-2;-1]$ bestimmt hast, berechne die dazugehörigen Funktionswerte.

    Wende das Intervallhalbierungsverfahren an, bis du die Nullstelle auf genau zwei Dezimalstellen nach dem Komma bestimmt hast.

    Lösung

    Wir wenden das Intervallhalbierungsverfahren für die Funktion $f(x)=2x^3-5x+4$ mit dem Startintervall $[-2;-1]$ an. Es ergibt sich die folgende Wertetabelle. Die Funktionswerte sind auf die zweite Nachkommastelle gerundet.

    $\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & -2 \\ -1,9375 & -0,86\\ -1,90625 & -0,32\\ -1,890625 & -0,06\\ -1,886718175 &0,001 \\ -1,8828125 & 0,06\\ -1,875 & 0,19\\ -1,75 & 2,03\\ -1,5 & 4,75\\ -1 & 7\\ \end{array}$

    Der Vorzeichenwechsel erfolgt zwischen den Werten $x = --1,890625$ und $x = --1,886718175$. Die Nullstelle der Funktion befindet sich also zwischen diesen beiden Werten. Also liegt die Nullstelle ungefähr bei $x_0 \approx 1,89$. Man kann sich mit einem geeigneten Taschenrechner oder Computer den folgenden Wert angeben lassen $x_0 = -1,88679573741 ...$.

  • Leite das Startintervall für die Berechnung der Nullstelle her.

    Tipps

    Zeichne die Kurve in ein Koordinatensystem.

    Lies die ungefähre Nullstelle aus dem Koordinatensystem ab.

    Lösung

    Wenn du dir den Graphen aufzeichnest, müsste deine Funktion in etwa aussehen wie im Bild. Du erkennst, dass die Nullstelle der Funktion zwischen $-2$ und $-1$ liegen muss. Mit diesem Startintervall könntest du mit dem Intervallhalbierungsverfahren die Nullstelle der Funktion ermitteln.

    Die richtige Lösung ist also: $x_0=[-2;-1]$.

  • Berechne die Nullstelle auf eine Dezimalstelle nach dem Komma.

    Tipps

    Berechne zunächst die Funktionswerte für die Werte $x = -2$ und $x = -1$.

    Berechne anschließend den Mittelwert zwischen $-2$ und $-1$ und den dazugehörigen Funktionswert.

    Dein neues Startintervall ist nun $[-1,5; -2]$. Berechne nun wieder den Mittelwert und den dazugehörigen Funktionswert. Wiederhole diesen Rechenschritt so oft wie nötig.

    Lösung

    Wir wenden das Intervallhalbierungsverfahren für die Funktion $f(x)=x^3+3$ mit dem Startintervall $[-2;-1]$ an. Es ergibt sich daraus folgende Wertetabelle. Die Funktionswerte sind auf die zweite Nachkommastelle gerundet.

    $\begin{array}{c|c} x & f(x)\\ \hline -2 & -5\\ -1,5 & -0,375\\ -1,46875 & -0,17\\ -1,453125 & -0,07\\ -1,4375 & 0,03\\ -1,375 & 0,4\\ -1,25 & 1,05 \\ -1 & 2\\ \end{array}$

    Wir können einen Vorzeichenwechsel der Funktionswerte zwischen $x = -1,453125$ und $x = -1,4375$ sehen. Somit liegt die Nullstelle zwischen diesen beiden Werten. Da die Nullstelle auf eine Dezimalstelle nach dem Komma genau bestimmt werden soll, ist die Lösung $x \approx -1,4$. Mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens könnten wir noch genauere Nullstellen berechnen.

    Man kann die Nullstelle aber auch algebraisch angeben, in dem wir die Gleichung $0=x^3+3$ lösen.

    $\begin{array}{llll} & x^3+3&=0& |-3 \\ \Leftrightarrow & x^3&=-3& |\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow & x &=\sqrt[3]{-3} \end{array}$

    Damit ist die Nullstelle genau $x_0=\sqrt[3]{-3}\approx -1,44224957$.