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Innenwinkelsumme von Vielecken 06:51 min

Textversion des Videos

Transkript Innenwinkelsumme von Vielecken

Philgonia Eckstein ist auf einer Forschungsreise in Polygonien. Dort haben alle Lebewesen die Form von Vielecken: Gräser, Blumen, Wirbeltiere und Insekten haben die Formen von Drei-, Fünf-, Achtecken und vielen anderen Vielecken. Manche wollen sogar schon ein saurierartiges, regelmäßiges zweihundert-siebenundfünfzig-Eck gesehen haben. Philgonia bleibt aber erstmal bei Vielecken mit geringerer Eckenzahl: Sie erforscht heute die Spinnen und ihre wunderschönen Netze. Also muss Philgonia die Innenwinkelsumme von Vielecken bestimmen. Bei Dreiecken kennt Philgonia die Innenwinkelsumme schon: Die ist immer 180 Grad. Vielleicht hilft ihr das auch für die Vermessung der Vielecke. Philgonia nimmt ihr spezielles, antihaftbeschichtetes, spinnennetztaugliches Geodreieck und fängt bei diesem sechseckigen Spinnennetz an, die Innenwinkel zu messen. Sie misst 90 Grad, 120 Grad, 130 Grad, 130 Grad, 130 Grad und noch einmal 120 Grad. Zusammen ergibt das die Innenwinkelsumme von 720 Grad, ah ja! Ihr fällt aber auch sofort auf, dass sich dieses Netz aus 4 Dreiecken aufbaut. Weil jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180 Grad hat, haben diese 4 Dreiecke zusammen das Vierfache, also 720 Grad. Moment mal, so kann man das ja eigentlich bei jedem Vieleck machen. Allgemein lässt sich ein n-Eck immer in 'n minus 2' Dreiecke aufteilen. Zur Aufteilung eines Vielecks in Dreiecke sucht man sich einfach eine beliebige Ecke des Vielecks aus. Diese Ecke wird dann mit allen anderen Ecken des Vielecks durch Strecken verbunden außer mit den beiden benachbarten Ecken, denn dabei würden keine Dreiecke entstehen. Man zieht also n minus 3 Verbindungsstrecken und durch jede Strecke wird ein Dreieck abgetrennt. Nur bei der letzten Verbindungsstrecke entstehen 2 Dreiecke, weil dabei ein verbleibendes Viereck in zwei Dreiecke zerteilt wird. Insgesamt entstehen also n minus 2 Dreiecke. Ein 4-Eck besteht also aus 2 Dreiecken, ein 5-Eck aus 3 Dreiecken, ein 6-Eck aus 4 Dreiecken und so weiter. Für die Innenwinkelsumme I eines n-Ecks ergibt sich also folgende Formel: I ist gleich 'in Klammern n minus 2' mal 180 Grad. Aber Philgonia forscht schon fleißig weiter: Hier baut die nächste Spinne ihr siebeneckiges Netz. Dieses Netz ist in 7 Dreiecke – ein Dreieck pro Ecke – aufgeteilt. Dabei laufen die Dreiecke im Innern des Netzes in einem Punkt zusammen. Alle Innenwinkel der 7 Dreiecke haben zusammen 7 mal 180 Grad, das macht 1260 Grad. Lass uns das noch einmal mit unserer Formel nachprüfen: I ist gleich 'in Klammern n minus 2' mal 180 Grad ist gleich 7 minus 2 mal 180 Grad macht 5 mal 180 Grad, das sind 900 Grad. Was haben wir falsch gemacht? Die Winkel an dem Punkt, wo die Dreiecke zusammenlaufen, tragen ja gar nicht zur Innenwinkelsumme bei! Die Winkel um diesen Punkt haben zusammen genau 360 Grad. Wir müssen also von den 1260 Grad noch 360 Grad abziehen. Das macht 900 Grad. Nun haben wir dasselbe Ergebnis erhalten, das wir auch mit unserer Formel berechnet haben. Zur Sicherheit messen wir noch einmal nach: 90 Grad und 130 Grad und 140 Grad und 150 Grad und 130 Grad und 110 Grad und 150 Grad sind zusammen 900 Grad. Wir haben also definitiv das richtige Ergebnis. Und Philgonia forscht weiter: Hier baut die dritte Spinne ihr fünfeckiges Netz. Können wir die Innenwinkelsumme ermitteln, ohne das Fünfeck in Dreiecke aufzuteilen? Sieh mal, wie die Spinne ihr Fünfeck umrundet: An jeder Ecke muss sie sich ein Stück drehen – und zwar um einen Winkel Beta. Zusammen mit dem zugehörigen Innenwinkel Alpha bildet dieser einen Winkel von 180 Grad. Diese Winkelpaare gibt es in jeder der 5 Ecken: Immer dreht sich die Spinne um einen Winkel Beta, der zusammen mit dem entsprechenden Innenwinkel Alpha 180 Grad ergibt. Es gibt also 5 Winkelpaare von jeweils 180 Grad. Das ist die erste Überlegung. Während die Spinne einmal um ihr Netz herumkrabbelt, dreht sie sich um die Winkel Beta 1, Beta 2, Beta 3, Beta 4 und Beta 5. Zum Schluss schaut sie wieder in dieselbe Richtung wie am Anfang. Das heißt, sie hat sich um 360 Grad gedreht. Also gilt: Die Summe von 'Beta 1' bis 'Beta 5' ergibt 360 Grad. Das ist die zweite Überlegung. Jetzt verbinden wir die erste und die zweite Überlegung: Die Summe der Winkelpaare beträgt 5 mal 180 Grad. Wenn wir die Summe der 5 Winkelpaare aufschreiben: also 'Alpha 1' plus 'Beta 1' bis 'Alpha 5' plus 'Beta 5', dann können wir diese Summe ein bisschen umsortieren, die Alpha-Winkel zusammenfassen und die Beta-Winkel zusammenfassen. Die Summe aller Alpha-Winkel ist unsere Innenwinkelsumme I. Die Summe aller Beta-winkel ist 360 Grad, das können wir einsetzen. Es ist also 5 mal 180 Grad gleich I plus 360 Grad. 360 Grad ist 2 mal 180 Grad. Jetzt müssen wir nur noch umstellen und erhalten so: I ist gleich 5 minus 2 mal 180 Grad. Ergibt 540 Grad. Wir haben also auch für die Innenwinkelsumme dieses Spinnennetzes die Formel erhalten, die wir bereits kennen. Während Philgonia weitere Spinnennetze erforscht, fassen wir zusammen: Die Innenwinkelsumme eines N-ecks berechnet sich nach der Formel I ist gleich 'in Klammern n minus 2' mal 180 Grad. Bei einem Dreieck ergibt das beispielsweise 180 Grad, bei einem Viereck 360 Grad, bei einem Fünfeck 540 Grad, bei einem Sechseck 720 Grad und bei einem Siebeneck 900 Grad. Philgonia ist sehr stolz, dass sie nun eine Formel für die Innenwinkel der Spinnennetze gefunden hat. Die spinnen, die Spinnen!

2 Kommentare
  1. 👍

    Von Yassin B., vor 3 Tagen
  2. Toll!

    Von Kaan Y., vor 20 Tagen

Innenwinkelsumme von Vielecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Innenwinkelsumme von Vielecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Innenwinkelsumme von Vielecken.

    Tipps

    Hier wurde ein $7$-Eck vom Mittelpunkt aus in Dreiecke aufgeteilt.

    Bei der Aufteilung in Dreiecke von einer Ecke aus, müssen Begrenzungslinien von einer beliebigen Ecke zu allen anderen Ecken gezogen werden. Nur zu den direkt nebenliegenden Ecken werden keine Begrenzungslinien gezogen.

    Die Innenwinkelsumme des $7$-Ecks beträgt $900^{\circ}$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • „Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n-2$ Dreiecke aufteilen.“
    Beginnst du im Mittelpunkt eines $n$-Ecks, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.

    • „Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-1) \cdot 180^{\circ}$“
    Die Formel für die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks lautet $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Beginnst du in einer Ecke eines Sechsecks, kannst du es in $4$ Dreiecke aufteilen.“
    Wenn du in einer Ecke eines Sechsecks beginnst, kannst du drei Linien in die anderen Ecken zeichnen, bei denen Flächen begrenzt werden. Das ergibt insgesamt vier dieser Flächen.

    • „Die Innenwinkelsumme eines $6$-Ecks beträgt $720^{\circ}$.“
    Setzt du die Anzahl an Ecken in die Formel ein, erhältst du: $I=(6-2) \cdot 180^{\circ}=4 \cdot 180^{\circ}=720^{\circ}$.

    • „Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren des Vielecks, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden.“
    Innenwinkel sind genau die Winkel, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden. Die Innenwinkelsumme muss folglich die Summe aller dieser Winkel sein.

  • Bestimme die Innenwinkelsumme der Vielecke.

    Tipps

    Um den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du zuerst die Anzahl der Ecken, die wir mit $n$ bezeichnen, zählen.

    Anschließend setzt du $n$ in die Formel für die Innenwinkelsumme

    $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

    ein.

    Lösung

    Um den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du die Ecken $n$ zählen und in die Formel für die Innenwinkelsumme

    $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

    einsetzen.

    Damit erhältst du:

    • Ein Viereck hat eine Innenwinkelsumme von $I=360^{\circ}$, denn $n=4$ und somit ist $I= (4-2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$.
    • Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt $I=640^{\circ}$.
    • Ein Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $I=720^{\circ}$.
    • Die Innenwinkelsumme eines Siebenecks beträgt $I=900^{\circ}$.
  • Bestimme die Innenwinkelsumme des Siebenecks.

    Tipps

    Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.

    Der Mittelpunktswinkel eines Vielecks ist nicht Teil der Innenwinkelsumme.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Zuerst teilt sie das Siebeneck vom Mittelpunkt aus in $7$ Dreiecke auf. Sie weiß, dass jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von $180^{\circ}$ hat. Alle Dreiecke zusammen haben also eine Innenwinkelsumme von:

    $7 \cdot 180^{\circ}= 1260^{\circ}$“

    • Da sie die Dreiecke vom Mittelpunkt aus einzeichnet, erhält sie hier $7$ Stück.
    „Von dieser Summe muss sie noch den Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ abziehen. Das ergibt:

    $1260^{\circ}-360^{\circ}=900^{\circ}$“

    • Da der Mittelpunktswinkel nicht zum Innenwinkel gehört, muss sie diesen von der Rechnung abziehen.
    „Dieses Ergebnis möchte sie noch mit ihrer Formel

    $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

    bestätigen. Setzt sie die Anzahl der Ecken $n=7$ ein, erhält sie:

    $I=5 \cdot 180^{\circ}=900^{\circ}$

    Beide Wege kommen also auf das gleiche Ergebnis.“

  • Erschließe die korrekten Aussagen zu regelmäßigen Sechsecken.

    Tipps

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.

    Das Zeichen $\approx$ kannst Du benutzen wie ein $=$-Zeichen. Es gibt nur an, dass das Ergebnis nicht ganz exakt ist.

    Lösung

    Die Lücken kannst du folgendermaßen füllen:

    „Die Innenwinkel $\alpha$ betragen $120^{\circ}$.“

    • Die Innenwinkel sind alle gleich groß und addieren sich zu: $720^{\circ}$
    „Das Vieleck kann in sechs Dreiecke aufgeteilt werden. Jedes dieser Dreiecke hat drei Innenwinkel von $60^{\circ}$.“

    • Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Die Basiswinkel jedes dieser Dreiecke betragen die Hälfte der Innenwinkel des Sechsecks. Deshalb müssen alle Innenwinkel der Dreiecke $60^{\circ}$ groß sein.
    „Jedes dieser Dreiecke trägt $60^{\circ}$ zum Mittelpunktswinkel bei.“

    • Der Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ wird in sechs gleich große Teile aufgeteilt.
    „Für jedes der Dreiecke gilt: $r \approx 0,9 \cdot a$. Ist $a= 6~\text{cm}$, gilt also $r \approx 5,4~\text{cm}$.“

    • Diesen Wert erhältst du durch Einsetzen von $a= 6~\text{cm}$ in die Formel $r \approx 0,9 \cdot a$. Daher ist $r \approx 0,9 \cdot a \approx 0,9 \cdot 6~\text{cm} \approx 5,4 ~\text{cm}$.
    „Mit $a=6~\text{cm}$ gilt für den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke: $A \approx 16,2~\text{cm}^2$.“
    • Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.
    „Der Flächeninhalt des Sechsecks beträgt also $A \approx 97,2~\text{cm}^2$.“

    • Das Sechseck besteht aus sechs dieser Dreiecke. Du musst also den Flächeninhalt eines Dreiecks mit sechs multiplizieren.
  • Erschließe die korrekten Aussagen zu diesem Siebeneck.

    Tipps

    Der Mittelpunktswinkel entspricht einer kompletten Umdrehung eines Kreises.

    Jedes $\beta$-$\alpha$-Paar addiert sich zu $180^{\circ}$ .

    $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    „Gilt $\alpha_1=175^{\circ}$ und $\alpha_2=175^{\circ}$, dann muss jeder der anderen $\alpha$-Winkel gleich $110^{\circ}$ sein.“

    • Diese Winkelangaben addieren sich zwar korrekt zu $900^{\circ}$, es könnte aber auch jede beliebige Kombination an Winkeln, die sich zu dieser Summe addieren vorkommen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Summierst du über alle $\alpha$, erhältst du $900^{\circ}$.“

    • Die Innenwinkel aller Siebenecke addieren sich zu $900^{\circ}$.
    „Die Summe aller $\beta$-Winkel ist gleich dem Mittelpunktswinkel.“

    • Alle $\beta$-Winkel addieren sich zu einer kompletten Umdrehung. Das entspricht dem Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$.
    „Gilt $\alpha_1=140^{\circ}$, $\alpha_2=130^{\circ}$, $\alpha_3=100^{\circ}$, $\alpha_4=120^{\circ}$, $\alpha_5=140^{\circ}$ und $\alpha_6=100^{\circ}$, dann muss $\alpha_7=170^{\circ}$ sein.“

    • Diese Kombination an Winkeln addiert sich zur korrekten Summe.
    „Sind sechs $\alpha$-Winkel gegeben, kannst du daraus alle $\beta$-Winkel berechnen.“

    • Da du die Summe aller Innenwinkel kennst, kannst du aus den gegebenen $\alpha$-Winkeln den letzten $\alpha$-Winkel berechnen. Außerdem addiert sich jedes $\beta$-$\alpha$-Paar zu $180^{\circ}$. $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$
  • Ermittle die korrekten Winkel in diesen Vielecken.

    Tipps

    Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

    Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.

    Lösung

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Lösung bestimmen:

    Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

    Die Winkelsumme aller $\beta$ ist $360^{\circ}$.

    An jeder Ecke gilt: $\alpha + \beta= 180^{\circ}$.

    Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.

    • Für das Fünfeck gilt:
    Die Innenwinkel addieren sich zu: $540^{\circ}$.

    Der Mittelpunktswinkel beträgt: $360^{\circ}$.

    Gilt $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$ und $\alpha_4=\alpha_5=120^{\circ}$, dann ist $\alpha_1=100^{\circ}$.

    • Beim Sechseck erhältst du:
    Die Innenwinkel addieren sich zu: $720^{\circ}$.

    Für $\alpha_1=100^{\circ}$, gilt $\beta_1=80^{\circ}$.

    Gilt $\beta_1=\beta_2=\beta_3=50^{\circ}$ und $\beta_4=\beta_5=60^{\circ}$, dann ist $\beta_6=90^{\circ}$.

    • Beim Rechteck ergibt sich:
    Hier gilt: $\alpha=90^{\circ}$

    und $\beta=90^{\circ}$.