Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Innenwinkelsummen von Vielecken

Die Innenwinkelsumme von Vielecken wird durch die Formel $(n-2)\cdot 180^\circ$ berechnet. Dieses Konzept hilft bei der Bestimmung der Innenwinkelsumme für Vielecke mit unterschiedlicher Seitenanzahl. Entdecke anhand von Beispielen wie Dreiecken, Sechsecken und Siebenecken die vielfältigen Anwendungen dieser Formel! Interessiert? Vertiefe dein Verständnis in unserem Text!

Video abspielen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Teste dein Wissen zum Thema Innenwinkelsummen von Vielecken

Was ist die Innenwinkelsumme eines Dreiecks?

1/5
Bewertung

Ø 4.2 / 109 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Innenwinkelsummen von Vielecken
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Innenwinkelsummen von Vielecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Innenwinkelsummen von Vielecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Hier wurde ein $7$-Eck vom Mittelpunkt aus in Dreiecke aufgeteilt.

    Bei der Aufteilung in Dreiecke von einer Ecke aus, müssen Begrenzungslinien von einer beliebigen Ecke zu allen anderen Ecken gezogen werden. Nur zu den direkt nebenliegenden Ecken werden keine Begrenzungslinien gezogen.

    Die Innenwinkelsumme des $7$-Ecks beträgt $900^{\circ}$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • „Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n-2$ Dreiecke aufteilen.“
    Beginnst du im Mittelpunkt eines $n$-Ecks, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.

    • „Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-1) \cdot 180^{\circ}$“
    Die Formel für die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks lautet $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Beginnst du in einer Ecke eines Sechsecks, kannst du es in $4$ Dreiecke aufteilen.“
    Wenn du in einer Ecke eines Sechsecks beginnst, kannst du drei Linien in die anderen Ecken zeichnen, bei denen Flächen begrenzt werden. Das ergibt insgesamt vier dieser Flächen.

    • „Die Innenwinkelsumme eines $6$-Ecks beträgt $720^{\circ}$.“
    Setzt du die Anzahl an Ecken in die Formel ein, erhältst du: $I=(6-2) \cdot 180^{\circ}=4 \cdot 180^{\circ}=720^{\circ}$.

    • „Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren des Vielecks, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden.“
    Innenwinkel sind genau die Winkel, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden. Die Innenwinkelsumme muss folglich die Summe aller dieser Winkel sein.

  • Tipps

    Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.

    Der Mittelpunktswinkel eines Vielecks ist nicht Teil der Innenwinkelsumme.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Zuerst teilt sie das Siebeneck vom Mittelpunkt aus in $7$ Dreiecke auf. Sie weiß, dass jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von $180^{\circ}$ hat. Alle Dreiecke zusammen haben also eine Innenwinkelsumme von:

    $7 \cdot 180^{\circ}= 1260^{\circ}$“

    • Da sie die Dreiecke vom Mittelpunkt aus einzeichnet, erhält sie hier $7$ Stück.
    „Von dieser Summe muss sie noch den Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ abziehen. Das ergibt:

    $1260^{\circ}-360^{\circ}=900^{\circ}$“

    • Da der Mittelpunktswinkel nicht zum Innenwinkel gehört, muss sie diesen von der Rechnung abziehen.
    „Dieses Ergebnis möchte sie noch mit ihrer Formel

    $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

    bestätigen. Setzt sie die Anzahl der Ecken $n=7$ ein, erhält sie:

    $I=5 \cdot 180^{\circ}=900^{\circ}$

    Beide Wege kommen also auf das gleiche Ergebnis.“

  • Tipps

    Der Mittelpunktswinkel entspricht einer kompletten Umdrehung eines Kreises.

    Jedes $\beta$-$\alpha$-Paar addiert sich zu $180^{\circ}$ .

    $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    „Gilt $\alpha_1=175^{\circ}$ und $\alpha_2=175^{\circ}$, dann muss jeder der anderen $\alpha$-Winkel gleich $110^{\circ}$ sein.“

    • Diese Winkelangaben addieren sich zwar korrekt zu $900^{\circ}$, es könnte aber auch jede beliebige Kombination an Winkeln, die sich zu dieser Summe addieren, vorkommen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Summierst du über alle $\alpha$, erhältst du $900^{\circ}$.“

    • Die Innenwinkel aller Siebenecke addieren sich zu $900^{\circ}$.
    „Die Summe aller $\beta$-Winkel ist gleich dem Mittelpunktswinkel.“

    • Alle $\beta$-Winkel addieren sich zu einer kompletten Umdrehung. Das entspricht dem Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$.
    „Gilt $\alpha_1=140^{\circ}$, $\alpha_2=130^{\circ}$, $\alpha_3=100^{\circ}$, $\alpha_4=120^{\circ}$, $\alpha_5=140^{\circ}$ und $\alpha_6=100^{\circ}$, dann muss $\alpha_7=170^{\circ}$ sein.“

    • Diese Kombination an Winkeln addiert sich zur korrekten Summe.
    „Sind sechs $\alpha$-Winkel gegeben, kannst du daraus alle $\beta$-Winkel berechnen.“

    • Da du die Summe aller Innenwinkel kennst, kannst du aus den gegebenen $\alpha$-Winkeln den letzten $\alpha$-Winkel berechnen. Außerdem addiert sich jedes $\beta$-$\alpha$-Paar zu $180^{\circ}$. $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$
  • Tipps

    Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

    Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.

    Lösung

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Lösung bestimmen:

    Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

    Die Winkelsumme aller $\beta$ ist $360^{\circ}$.

    An jeder Ecke gilt: $\alpha + \beta= 180^{\circ}$.

    Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.

    • Für das Fünfeck gilt:
    Die Innenwinkel addieren sich zu: $540^{\circ}$.

    Der Mittelpunktswinkel beträgt: $360^{\circ}$.

    Gilt $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$ und $\alpha_4=\alpha_5=120^{\circ}$, dann ist $\alpha_1=100^{\circ}$.

    • Beim Sechseck erhältst du:
    Die Innenwinkel addieren sich zu: $720^{\circ}$.

    Für $\alpha_1=100^{\circ}$, gilt $\beta_1=80^{\circ}$.

    Gilt $\beta_1=\beta_2=\beta_3=50^{\circ}$ und $\beta_4=\beta_5=60^{\circ}$, dann ist $\beta_6=90^{\circ}$.

    • Beim Rechteck ergibt sich:
    Hier gilt: $\alpha=90^{\circ}$

    und $\beta=90^{\circ}$.

  • Tipps

    Um den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du zuerst die Anzahl der Ecken, die wir mit $n$ bezeichnen, zählen.

    Anschließend setzt du $n$ in die Formel für die Innenwinkelsumme

    $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$ ein.

    Lösung

    Um den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du die Ecken $n$ zählen und in die Formel für die Innenwinkelsumme

    $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

    einsetzen.

    Damit erhältst du:

    • Ein Viereck hat eine Innenwinkelsumme von $I=360^{\circ}$, denn $n=4$ und somit ist $I= (4-2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$.
    • Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt $I=640^{\circ}$.
    • Ein Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $I=720^{\circ}$.
    • Die Innenwinkelsumme eines Siebenecks beträgt $I=900^{\circ}$.
  • Tipps

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.

    Das Zeichen $\approx$ kannst Du benutzen wie ein $=$-Zeichen. Es gibt nur an, dass das Ergebnis nicht ganz exakt ist.

    Lösung

    Die Lücken kannst du folgendermaßen füllen:

    „Die Innenwinkel $\alpha$ betragen $120^{\circ}$.“

    • Die Innenwinkel sind alle gleich groß und addieren sich zu: $720^{\circ}$
    „Das Vieleck kann in sechs Dreiecke aufgeteilt werden. Jedes dieser Dreiecke hat drei Innenwinkel von $60^{\circ}$.“

    • Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Die Basiswinkel jedes dieser Dreiecke betragen die Hälfte der Innenwinkel des Sechsecks. Deshalb müssen alle Innenwinkel der Dreiecke $60^{\circ}$ groß sein.
    „Jedes dieser Dreiecke trägt $60^{\circ}$ zum Mittelpunktswinkel bei.“

    • Der Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ wird in sechs gleich große Teile aufgeteilt.
    „Für jedes der Dreiecke gilt: $r \approx 0,9 \cdot a$. Ist $a= 6~\text{cm}$, gilt also $r \approx 5,4~\text{cm}$.“

    • Diesen Wert erhältst du durch Einsetzen von $a= 6~\text{cm}$ in die Formel $r \approx 0,9 \cdot a$. Daher ist $r \approx 0,9 \cdot a \approx 0,9 \cdot 6~\text{cm} \approx 5,4 ~\text{cm}$.
    „Mit $a=6~\text{cm}$ gilt für den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke: $A \approx 16,2~\text{cm}^2$.“
    • Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.
    „Der Flächeninhalt des Sechsecks beträgt also $A \approx 97,2~\text{cm}^2$.“

    • Das Sechseck besteht aus sechs dieser Dreiecke. Du musst also den Flächeninhalt eines Dreiecks mit sechs multiplizieren.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.369

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

8.224

Lernvideos

38.691

Übungen

33.496

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden