Innenwinkelsummen von Vielecken

Innenwinkelsummen von Vielecken Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Innenwinkelsumme von Vielecken.

  Tipps

  Hier wurde ein $7$-Eck vom Mittelpunkt aus in Dreiecke aufgeteilt.

  Bei der Aufteilung in Dreiecke von einer Ecke aus, müssen Begrenzungslinien von einer beliebigen Ecke zu allen anderen Ecken gezogen werden. Nur zu den direkt nebenliegenden Ecken werden keine Begrenzungslinien gezogen.

  Die Innenwinkelsumme des $7$-Ecks beträgt $900^{\circ}$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n-2$ Dreiecke aufteilen.“

  Beginnst du im Mittelpunkt eines $n$-Ecks, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.

  • „Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-1) \cdot 180^{\circ}$“

  Die Formel für die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks lautet $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „Beginnst du in einer Ecke eines Sechsecks, kannst du es in $4$ Dreiecke aufteilen.“

  Wenn du in einer Ecke eines Sechsecks beginnst, kannst du drei Linien in die anderen Ecken zeichnen, bei denen Flächen begrenzt werden. Das ergibt insgesamt vier dieser Flächen.

  • „Die Innenwinkelsumme eines $6$-Ecks beträgt $720^{\circ}$.“

  Setzt du die Anzahl an Ecken in die Formel ein, erhältst du: $I=(6-2) \cdot 180^{\circ}=4 \cdot 180^{\circ}=720^{\circ}$.

  • „Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren des Vielecks, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden.“

  Innenwinkel sind genau die Winkel, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden. Die Innenwinkelsumme muss folglich die Summe aller dieser Winkel sein.

• Bestimme die Innenwinkelsumme des Siebenecks.

  Tipps

  Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.

  Der Mittelpunktswinkel eines Vielecks ist nicht Teil der Innenwinkelsumme.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „Zuerst teilt sie das Siebeneck vom Mittelpunkt aus in $7$ Dreiecke auf. Sie weiß, dass jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von $180^{\circ}$ hat. Alle Dreiecke zusammen haben also eine Innenwinkelsumme von:

  $7 \cdot 180^{\circ}= 1260^{\circ}$“

  • Da sie die Dreiecke vom Mittelpunkt aus einzeichnet, erhält sie hier $7$ Stück.

  „Von dieser Summe muss sie noch den Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ abziehen. Das ergibt:

  $1260^{\circ}-360^{\circ}=900^{\circ}$“

  • Da der Mittelpunktswinkel nicht zum Innenwinkel gehört, muss sie diesen von der Rechnung abziehen.

  „Dieses Ergebnis möchte sie noch mit ihrer Formel

  $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

  bestätigen. Setzt sie die Anzahl der Ecken $n=7$ ein, erhält sie:

  $I=5 \cdot 180^{\circ}=900^{\circ}$

  Beide Wege kommen also auf das gleiche Ergebnis.“

• Erschließe die korrekten Aussagen zu diesem Siebeneck.

  Tipps

  Der Mittelpunktswinkel entspricht einer kompletten Umdrehung eines Kreises.

  Jedes $\beta$-$\alpha$-Paar addiert sich zu $180^{\circ}$ .

  $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$

  Lösung

  Diese Aussage ist falsch:

  „Gilt $\alpha_1=175^{\circ}$ und $\alpha_2=175^{\circ}$, dann muss jeder der anderen $\alpha$-Winkel gleich $110^{\circ}$ sein.“

  • Diese Winkelangaben addieren sich zwar korrekt zu $900^{\circ}$, es könnte aber auch jede beliebige Kombination an Winkeln, die sich zu dieser Summe addieren, vorkommen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Summierst du über alle $\alpha$, erhältst du $900^{\circ}$.“

  • Die Innenwinkel aller Siebenecke addieren sich zu $900^{\circ}$.

  „Die Summe aller $\beta$-Winkel ist gleich dem Mittelpunktswinkel.“

  • Alle $\beta$-Winkel addieren sich zu einer kompletten Umdrehung. Das entspricht dem Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$.

  „Gilt $\alpha_1=140^{\circ}$, $\alpha_2=130^{\circ}$, $\alpha_3=100^{\circ}$, $\alpha_4=120^{\circ}$, $\alpha_5=140^{\circ}$ und $\alpha_6=100^{\circ}$, dann muss $\alpha_7=170^{\circ}$ sein.“

  • Diese Kombination an Winkeln addiert sich zur korrekten Summe.

  „Sind sechs $\alpha$-Winkel gegeben, kannst du daraus alle $\beta$-Winkel berechnen.“

  • Da du die Summe aller Innenwinkel kennst, kannst du aus den gegebenen $\alpha$-Winkeln den letzten $\alpha$-Winkel berechnen. Außerdem addiert sich jedes $\beta$-$\alpha$-Paar zu $180^{\circ}$. $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$

• Ermittle die korrekten Winkel in diesen Vielecken.

  Tipps

  Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

  Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.

  Lösung

  Mit folgenden Überlegungen kannst du die Lösung bestimmen:

  Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.

  Die Winkelsumme aller $\beta$ ist $360^{\circ}$.

  An jeder Ecke gilt: $\alpha + \beta= 180^{\circ}$.

  Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.

  • Für das Fünfeck gilt:

  Die Innenwinkel addieren sich zu: $540^{\circ}$.

  Der Mittelpunktswinkel beträgt: $360^{\circ}$.

  Gilt $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$ und $\alpha_4=\alpha_5=120^{\circ}$, dann ist $\alpha_1=100^{\circ}$.

  • Beim Sechseck erhältst du:

  Die Innenwinkel addieren sich zu: $720^{\circ}$.

  Für $\alpha_1=100^{\circ}$, gilt $\beta_1=80^{\circ}$.

  Gilt $\beta_1=\beta_2=\beta_3=50^{\circ}$ und $\beta_4=\beta_5=60^{\circ}$, dann ist $\beta_6=90^{\circ}$.

  • Beim Rechteck ergibt sich:

  Hier gilt: $\alpha=90^{\circ}$

  und $\beta=90^{\circ}$.

• Bestimme die Innenwinkelsumme der Vielecke.

  Tipps

  Um den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du zuerst die Anzahl der Ecken, die wir mit $n$ bezeichnen, zählen.

  Anschließend setzt du $n$ in die Formel für die Innenwinkelsumme

  $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$ ein.

  Lösung

  Um den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du die Ecken $n$ zählen und in die Formel für die Innenwinkelsumme

  $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$

  einsetzen.

  Damit erhältst du:

  • Ein Viereck hat eine Innenwinkelsumme von $I=360^{\circ}$, denn $n=4$ und somit ist $I= (4-2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$.

  • Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt $I=640^{\circ}$.

  • Ein Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $I=720^{\circ}$.

  • Die Innenwinkelsumme eines Siebenecks beträgt $I=900^{\circ}$.

• Erschließe die korrekten Aussagen zu regelmäßigen Sechsecken.

  Tipps

  Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.

  Das Zeichen $\approx$ kannst Du benutzen wie ein $=$-Zeichen. Es gibt nur an, dass das Ergebnis nicht ganz exakt ist.

  Lösung

  Die Lücken kannst du folgendermaßen füllen:

  „Die Innenwinkel $\alpha$ betragen $120^{\circ}$.“

  • Die Innenwinkel sind alle gleich groß und addieren sich zu: $720^{\circ}$

  „Das Vieleck kann in sechs Dreiecke aufgeteilt werden. Jedes dieser Dreiecke hat drei Innenwinkel von $60^{\circ}$.“

  • Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Die Basiswinkel jedes dieser Dreiecke betragen die Hälfte der Innenwinkel des Sechsecks. Deshalb müssen alle Innenwinkel der Dreiecke $60^{\circ}$ groß sein.

  „Jedes dieser Dreiecke trägt $60^{\circ}$ zum Mittelpunktswinkel bei.“

  • Der Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ wird in sechs gleich große Teile aufgeteilt.

  „Für jedes der Dreiecke gilt: $r \approx 0,9 \cdot a$. Ist $a= 6~\text{cm}$, gilt also $r \approx 5,4~\text{cm}$.“

  • Diesen Wert erhältst du durch Einsetzen von $a= 6~\text{cm}$ in die Formel $r \approx 0,9 \cdot a$. Daher ist $r \approx 0,9 \cdot a \approx 0,9 \cdot 6~\text{cm} \approx 5,4 ~\text{cm}$.

  „Mit $a=6~\text{cm}$ gilt für den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke: $A \approx 16,2~\text{cm}^2$.“

  • Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.

  „Der Flächeninhalt des Sechsecks beträgt also $A \approx 97,2~\text{cm}^2$.“

  • Das Sechseck besteht aus sechs dieser Dreiecke. Du musst also den Flächeninhalt eines Dreiecks mit sechs multiplizieren.