Hypothesentest – Standardaufgabe: Würfeln

Hallo, wir haben eine Standardaufgabe zum Hypothesentest. Ein Würfel soll daraufhin getestet werden, ob er die eins mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel anzeigt. Es soll 600-mal gewürfelt werden und das Signifikanzniveau soll zehn Prozent betragen. Das sind die Angaben, die man braucht, um Fragen wie was machen wir bei 121 Einsen beantworten zu können. Wir haben hier die Aufgabenstellung. Es soll überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 1 eines Würfels gleich ⅙ ist. Es wird 600-mal gewürfelt. Und hier sind die konkreten Fragen dazu. Gib eine Entscheidungsregel bei einem Signifikanzniveau von 10 % an. Und Was macht man bei 121-mal Augenzahl 1? Um in die Sache einzusteigen können wir uns als erstes überlegen, was wir eigentlich wollen. Wir haben die Hypothese H null, dass nämlich die Wahrscheinlichkeit p für die Augenzahl eins gleich ein Sechstel ist. Wenn wir einmal würfeln erhalten wir eine eins oder eben nicht. Insofern ist das einmalige Würfeln ein Bernoulli Versuch. Wenn wir mehrmals würfeln, zum Beispiel 100-mal erhalten wir eine Bernoulli Kette der Länge 600 und können die Zufallsgröße X definieren, die nämlich die Anzahl der Erfolge zählt. Die Zufallsgröße X hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die so aussieht, hier ist null mal Erfolg also null Einsen. Hier 600 Einsen und die meisten nennenswerten Wahrscheinlichkeiten für Werte dieser Zufallsgröße befinden sich um die 100 herum. Da das alles hier ein bisschen klein ist, habe ich da mal etwas vorbereitet und das sieht so aus. Wir suchen eine Entscheidungsregel, die dieses Schaubild hier also quasi einteilt. Ja, mit diesen lustigen gelben Papierstreifen. Wenn wir besonders wenige Einsen würfeln, werden wir die Hypothese ablehnen. Deshalb haben wir hier dann einen Ablehnbereich. Wenn wir besonders viele Einsen würfeln, werden wir die Hypothese auch ablehnen, das heißt wir haben hier einen zweiten Ablehnbereich und wenn wir so um die 100 Einsen würfeln, werden wir die Hypothese annehmen und deshalb ist das hier in der Mitte der Annahmebereich. Unsere Entscheidungsregel wird im Wesentlichen aus zwei Zahlen bestehen. Die eine Zahl sagt uns bis zu wie vielen Einsen wir unsere Hypothese ablehnen. Die andere Zahl sagt uns ab wie vielen Einsen wir die Hypothese ablehnen. Da das Signifikanzniveau gleich 10 Prozent ist, wird sich im linken Ablehnbereich höchstens fünf Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden. Und im rechten Ablehnbereich soll sich ebenso bis zu fünf Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden. Um die Entscheidungsregel zu finden, können wir die Sigma-Regel anwenden. Erst müssen wir nachweisen, dass die Laplace Bedingung erfüllt ist und die lautet Sigma ist größer als drei. Für binomial verteilte Zufallsgrößen ist Sigma gleich Wurzel aus npq und in unserem Fall entspricht das der Wurzel aus 600 mal ein Sechstel mal fünf Sechstel das ist gleich der Wurzel aus 500 mal ein Sechstel und das ist ungefähr gleich 9,129 was größer als drei ist, damit ist diese Laplace Bedingung erfüllt und der Vollständigkeit halber weil wir das gleich brauchen, können wir noch hinschreiben das Mü in unserem Fall 100 ist. Ja Mü ist p, also ein Sechstel mal 600 gleich 100. Wir schreiben zunächst die 90 Prozent-Sigma Regel hin und die lautet p(mü minus 1,64 mal Sigma kleiner gleich x, kleiner gleich mü plus 1,64 mal Sigma) ist ungefähr gleich 90 Prozent. Jetzt können wir die konkreten Werte bestimmen Mü ist gleich 100 minus 1,64. Sigma ist 9,129 ungefähr und das Ganze hier ist ungefähr gleich 85,03. Und jetzt suchen wir ja eine Zahl X, die größer gleich diesem Wert sein soll. Also, die nächste ganze Zahl, die größer als 85,03 ist das ist 86.Nach oben können wir die Sache auch abschließen. Wir haben 100 plus 1,64 mal 9,129 was ungefähr 114,97 ist. Und wir suchen jetzt eine ganze Zahl, die kleiner gleich 114,97 ist. Und das ist 114. Ja, du siehst hier habe ich kleiner geschrieben, hier habe ich größer gleich geschrieben. Beides kann man verwenden. Beides ist richtig. Wir haben nun unsere Entscheidungsregel die lautet. Verwirf H null, falls x kleiner als 85 oder falls x größer gleich 115 ist. Ja und hier gibt es vielleicht immer ein kleiner Problem hier steht 86 da 85, hier steht 114 da 115. Das können wir uns auch noch kurz überlegen. Der Annahmebereich in dem sich mindestens 90 Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden soll, geht von 86 einschließlich bis 114 einschließlich. Der linke Ablehnbereich geht deshalb bis zu 85 und der rechte Ablehnbereich beginnt bei 115. Jetzt haben wir noch die Aufgabe b. Was machen wir bei 121-mal Augenzahl 1? Nun da können wir uns kurz fassen. Bei x gleich 121 verwerfen wir H null, da der rechte Ablehnbereich schon bei x gleich 115 beginnt. So, dann haben wir alles erledigt. Solche Standardaufgaben sind übrigens nicht dazu da unbescholtene Schüler zu nerven sondern sie sind zum Beispiel dazu da ein Gefühl für die Zahlenverhältnisse bei diesen Tests zu entwickeln. Also, wenn zum Beispiel gesagt wird Hypothese ist p gleich ein Sechstel. Stichprobenumfang ist 600. Dass man dann ungefähr weiß wie der Annahme- und der Ablehnbereich aussieht. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.