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Hypothesentest – Einführung (3) – Signifikanzniveau

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Martin Wabnik
Hypothesentest – Einführung (3) – Signifikanzniveau
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Hypothesentest – Einführung (3) – Signifikanzniveau

Kurz gesagt gibt das Signifikanzniveau an, wieviel Prozent der Wahrscheinlichkeit im Annahmebereich liegen soll. Um einen Hypothesentest durchführen, brauchen wir einen Bernoulli-Versuch mit den Ausgängen "E" ("E" soll "Erfolg" heißen) und "nicht E". Wir haben weiter eine Hypothese H0, z.B. dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E gleich p0 ist. Wird ein Bernoulli-Versuch mit P(E)=p0 n-mal durchgeführt, gibt es eine Zufallsgröße X, die den Anzahlen der Erfolge k (und damit auch den relativen Häufigkeiten h(k)=k/n) deren Wahrscheinlichkeiten zuordnet. Wir kennen die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße X. Der Ablehnbereich wird nun angegeben als ein Bereich, in dem sich höchstens ein bestimmter Prozentsatz der gesamten Wahrscheinlichkeit befindent soll (z.B. 5%). Diese Prozentangabe ist das Signifikanzniveau. Dort, wo der Ablehnbereich nicht ist, ist der Annahmebereich. Im Video kannst du die ausführliche Erklärung des Signifikanzniveaus sehen. Außerdem wird die Thematik auch an einem Beispiel gezeigt und besprochen.

Hypothesentest – Einführung (3) – Signifikanzniveau Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hypothesentest – Einführung (3) – Signifikanzniveau kannst du es wiederholen und üben.
  • Was ist das Signifikanzniveau?

    Tipps

    Das Signifikanzniveau ist die Irrtumswahrscheinlichkeit.

    Bei einem Signifikanzniveau von $0,05$ besteht ein Risiko von $5\%$, eine richtige Hypothese zu verwerfen (Fehler erster Art oder auch $\alpha$-Fehler genannt).

    Lösung

    Um festzulegen, wann genau wir die Hypothese ablehnen, geben wir an, wie groß die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ablehnbereichs höchstens sein soll. Diese Wahrscheinlichkeitsangabe ist das Signifikanzniveau.

    Mit der Festlegung des Ablehnbereichs entsteht auch ein Annahmebereich, in dem sich der Rest der Wahrscheinlichkeit befindet. Trotzdem bezieht sich das Signifikanzniveau immer auf den Ablehnbereich.

    Führen wir einen Hypothesentest durch, gehen wir immer davon aus, $h$ liege in der Nähe von $p_{_G}$ (was ja auch sehr wahrscheinlich ist), und demnach ist unsere Hypothese falsch, wenn $p_{_0}$ nicht in der Nähe von $h$ liegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit aber die Hypothese falsch oder richtig ist, können wir mit den Hypothesentest-Methoden nicht bestimmen.

    Angenommen, die Hypothese sei richtig, d. h. es ist $p_{_G}=p_{_0}$. Dann kann es trotzdem sein, dass $h$ im Ablehnbereich liegt. Dann lehnen wir die Hypothese ab, obwohl sie richtig ist. Das ist dann ein Fehler erster Art. Das Signifikanzniveau gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit dieser Fehler eintritt.

  • Was bedeutet es, wenn das Signifikanzniveau sinkt oder steigt?

    Tipps

    $\alpha=1\%$ hat ein höheres Signifikanzniveau als $\alpha=5\%$.

    Da $\alpha$ die maximale Wahrscheinlichkeit des Ablehnbereiches angibt, wird der Ablehnbereich bei kleiner werdendem $\alpha$ ebenfalls kleiner, sowie bei größer werdendem $\alpha$ größer. Dementsprechend gilt für den Annahmebereich das Gegenteil.

    Bei statistischen Hypothesentests ist ein Fehler erster Art die Zurückweisung einer wahren Nullhypothese (auch bekannt als „falsch positive“ Schlussfolgerung), während ein Fehler zweiter Art die Nicht-Ablehnung einer falschen Nullhypothese (auch bekannt als „falsch negative“ Schlussfolgerung) ist.

    Lösung

    Zentralelement 1: Wenn das Signifikanzniveau steigt, dann wird $\alpha$ kleiner, denn je höher das Niveau der Signifikanz ist, desto sicherer soll es sein, eine Hypothese zu verwerfen. Dies wird erreicht, indem nur dann die Hypothese verworfen wird, wenn das Stichprobenergebnis extrem vom Erwartungswert abweicht. Je kleiner also der Ablehnbereich ist, desto sicherer ist es, dass, falls die Stichprobe im Ablehnbereich liegt, die Hypothese falsch ist. Damit der Ablehnbereich klein ist, muss $\alpha$ klein sein. Da $\alpha$ die maximale Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ablehnbereich angibt, wird dieser bei kleinerem $\alpha$ ebenfalls kleiner. Im Umkehrschluss bedeutet das einen größeren Annahmebereich. Aufgrund des größeren Annahmebereichs ist die Gefahr größer, eine falsche Hypothese anzunehmen.

    Zentralelement 2: Wenn das Signifikanzniveau sinkt, dann wird $\alpha$ größer. Je niedriger das Niveau der Signifikanz ist, desto sicherer soll es sein, eine Hypothese anzunehmen. Dies wird erreicht, indem nur dann die Hypothese angenommen wird, wenn das Stichprobenergebnis nahe am Erwartungswert liegt. Je größer also der Ablehnbereich ist, desto sicherer ist es, dass, falls die Stichprobe im Annahmebereich liegt, die Hypothese richtig ist. Da $\alpha$ größer wird, wird auch der Ablehnbereich größer. Somit vermindert sich der Annahmebereich und die Gefahr, eine richtige Hypothese abzulehnen, wird größer.

    Ziel dieser Aufgabe ist unter anderem, ein gutes Gefühl dafür zu bekommen, wie das Zusammenspiel von großem und kleinem Annahmebereich bzw. der größeren oder kleineren Sicherheit der Entscheidungen funktioniert. So können wir die Ergebnisse verständig interpretieren.

  • Nenne die Fälle, in denen ein rechtsseitiger, linksseitiger oder beidseitiger Hypothesentest angewendet wird.

    Tipps

    Beim Hypothesentest schließt man von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit.

    Ein Hypothesentest wird nur dann angewendet, wenn es um ein bestimmtes $p_0$ geht.

    Der Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit fragt nach der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

    Lösung

    Jedes Element einer Grundgesamtheit $G$ habe die Eigenschaft $E$ oder $\overline{E}$. Wird zufällig ein Element mit der Eigenschaft $E$ gezogen, so gelte dies als „Erfolg“. Ein Hypothesentest ist dazu da, danach zu fragen, ob die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gleich, kleiner-gleich oder größer-gleich einer bestimmten Zahl $p_0$ ist.

    Wollen wir die Hypothese nur dann verwerfen, wenn in der Stichprobe besonders viele Erfolge auftreten, testen wir rechtsseitig. Wir können dann nicht nur $p=p_0$ verwerfen, sondern auch $p<p_0$. Also können wir dann die Frage „Ist $p\leq p_0$?“ verneinen.

    Testen wir linksseitig, verwerfen wir die Hypothese $p\geq p_0$ nur dann, wenn in der Stichprobe besonders wenige Erfolge auftreten.

    Steht in Frage, ob die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich einer bestimmten Zahl $p_0$ ist oder nicht, führen wir einen beidseitigen Hypothesentest durch.

    Um einen statistischen Hinweis darauf zu erhalten, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit ist, schließen wir von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit und führen damit keinen Hypothesentest durch.

    In der Praxis macht man eigentlich niemals „nur“ einen Hypothesentest, denn wenn schon einmal eine Stichprobe vorliegt, kann von dieser auch gleich auf die Erfolgswahrscheinlichkeit der Grundgesamtheit geschlossen werden.

  • Erkläre, warum ein Hypothesentest funktioniert.

    Tipps

    Tritt ein Ereignis $A$ erfahrungsgemäß häufiger ein als ein anderes Ereignis $B$, besteht $A$ möglicherweise aus mehr Ergebnissen als $B$.

    Für jede „normale“ Grundgesamtheit gilt: Es gibt viel mehr mögliche Stichproben, die der Grundgesamtheit ähnlich sind als andere.

    Ein Hypothesentest liefert keine sicheren Schlüsse. Aber oft ist „wahrscheinlich richtig“ besser als „wahrscheinlich falsch“.

    Lösung

    Führen wir einen Hypothesentest durch, vergleichen wir eine Hypothese mit einer Stichprobe und schließen auf die Grundgesamtheit. Auf diese Weise können wir keine sichere Aussage über die Grundgesamtheit erhalten, weil die weitaus meisten Elemente der Grundgesamtheit in der Stichprobe nicht vorkommen und wir deshalb über diese keine Informationen haben.

    Es gilt aber: Haben wir eine Grundgesamtheit $G$, deren Elemente entweder die Eigenschaft $E$ oder die Eigenschaft $\overline{E}$ haben, dann haben die meisten möglichen Stichproben aus $G$ eine relative Häufigkeit $h$ von Erfolgen, die in der „Nähe“ des Anteils $p_{_G}$ von Erfolgen in der Grundgesamtheit $G$ liegt.

    Ist unsere Hypothese, dass der Anteil der Elemente mit der Eigenschaft $E$ in der Grundgesamtheit $G$ gleich $p_{_0}$ sei und tritt der wahrscheinliche Fall ein, dass wir eine von den meisten Stichproben gezogen haben, verwerfen wir die Hypothese richtigerweise, wenn $p_{_0}$ nicht ungefähr gleich $h$ ist.

    Nur in den unwahrscheinlichen Fällen, in denen $h$ „weit weg“ von $p_{_G}$ ist, sind die Schlüsse, die wir aus dem Hypothesentest gewinnen, falsch.

  • Was bedeutet die folgende Ungleichung?

    Tipps

    Die Grenze ist der größte Wert, den $k$ annehmen kann.

    Der Stichprobenumfang ist zum Beispiel: die Anzahl der „befragten Personen“, „geprüften Schrauben“, „gezogenen Bälle“, „Würfe mit einem Würfel“ etc.

    Das Signifikanzniveau ist die Irrtumswahrscheinlichkeit.

    Lösung

    $p_0$ bezeichnet den Anteil der Elemente der Grundgesamtheit $G$ mit der Eigenschaft $E$ („Erfolg“). Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit beim zufälligen Ziehen eines Elements aus $G$ gleich $p_0$. Die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ „Erfolge“ (und damit $n-k$ „Misserfolge“) beim $n$-fachen Ziehen (mit Zurücklegen) zu erzielen, ist gleich:

    $\binom{n}{k}\cdot p_0^k\cdot \left(1-p_0\right)^{n-k}$

    Die Wahrscheinlichkeit, bis zu $g$ „Erfolge“ beim $n$-fachen Ziehen (mit Zurücklegen) zu erzielen, ist gleich:

    $\sum\limits_{k~=~0}^g\binom{n}{k}\cdot p_0^k\cdot\left(1-p_0\right)^{n-k}$

    Dabei ist $k$ der Laufindex, der beim Startwert $0$ beginnt, und $g$ ist die Grenze, also die größte Zahl, für die die Summe noch nicht größer als das Signifikanzniveau $\alpha$ ist.

    Zum Beispiel:

    $\sum\limits_{k~=~0}^2\binom{n}{k}\cdot p_0^k\cdot (1-p_0)^{n-k}~=~\binom{n}{0}\cdot p_0^0\cdot (1-p_0)^{n-0}+\binom{n}{1}\cdot p_0^1\cdot (1-p_0)^{n-1}+\binom{n}{2}\cdot p_0^2\cdot (1-p_0)^{n-2}$

  • Vergleiche die gegebenen Sachsituationen bezüglich des erforderlichen Signifikanzniveaus.

    Tipps

    Um einschätzen zu können, in welche Richtung getestet wird, kannst du deinen gesunden Menschenverstand einschalten und dich fragen: Was müsste passieren, damit ich die Hypothese verwerfe?

    Oftmals kann in einer Sachsituation ein rechtsseitiger wie auch ein linksseitiger Hypothesentest sinnvoll sein: Plan A ist besser als Plan B, wenn Plan A zu mehr Erfolgen oder auch zu weniger Misserfolgen führt. Deshalb sollte im Aufgabentext stehen, „wie herum“ getestet werden soll.

    Ob ein Signifikanzniveau hoch oder niedrig angesetzt wird, hat auch damit zu tun, welche Konsequenzen mit dem Hypothesentest in Verbindung stehen.

    Lösung

    Um feststellen zu können, ob man mit einer neuen Methode besser lernen kann, muss man zunächst wissen, wie man bisher lernt. Z. B. kann man einen Zeitrahmen festlegen, in dieser Zeit eine mathematische Formel so gut wie möglich lernen und dann z. B. nach einer Stunde den Lernerfolg feststellen. Dann wählt man eine Formel mit ähnlichem Schwierigkeitsgrad aus, lernt diese im gleichen Zeitrahmen nach der neuen Methode und überprüft den Lernerfolg wieder nach einer Stunde.

    Ein solches Verfahren müsste so oft durchgeführt werden, bis ein hinreichend großer Stichprobenumfang zustande gekommen ist. Stellt man dann fest, signifikant mehr Formeln gelernt zu haben als mit der traditionellen Methode, kann die neue Methode als besser bewertet werden. Damit hat man dann einen rechtsseitigen Hypothesentest durchgeführt.

    Das Signifikanzniveau braucht hierbei nicht besonders hoch zu sein, da schon geringfügig mehr Erfolge die Methode, Mathe-Formeln in Tanzbewegungen zu übersetzen, interessant machen können.

    Um ganz andere Dimensionen geht es bei der Beschilderung eines Bahnhofs, denn eine Beschilderung kostet viel Geld, dessen Verwendung sorgsam überlegt sein will. Damit belastbare Daten vorliegen, muss vor dem Umbau sowie nach dem Umbau nach der Zufriedenheit der Menschen mit der Beschilderung gefragt werden.

    Stellt man dann mit Hilfe eines linksseitigen Hypothesentests mit hohem Signifikanzniveau fest, dass nun viel weniger Menschen mit der Beschilderung unzufrieden sind, kann das neue Beschilderungskonzept als Erfolg gelten. In diesem Fall ist ein hohes Signifikanzniveau wünschenswert, da eine nur geringfügige Verbesserung oder gar eine Verschlechterung der Zufriedenheit der Menschen die hohen Kosten nicht rechtfertigen würde.

    Medikamente sollten normalerweise mit hohen Signifikanzniveaus getestet werden. Denn erstens geht es um viel Geld und zweitens – was selbstverständlich noch viel wichtiger ist – um Menschenleben. Lässt sich dann mit einem rechtsseitigen Hypothesentest (bei genügend großem Stichprobenumfang) zeigen, dass z. B. viel mehr Menschen geheilt werden als mit dem herkömmlichen Medikament, sollte das Medikament allerdings auch nicht länger zurückgehalten werden.

    Die Wirkung einer tieferen Stimme auf die Überzeugungskraft des Vortrags von Argumenten kann mit einem linksseitigen Hypothesentest getestet werden. Da schon geringe Abweichungen in der Wirkung interessant für weitere Nachforschungen sein könnten, braucht das Signifikanzniveau nicht besonders hoch gewählt zu werden.

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