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Gradmaß und Bogenmaß 08:37 min

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Transkript Gradmaß und Bogenmaß

Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über den Kreis, insbesondere über die Länge des Kreisbogens, die Bogenlänge und den Winkel eines Kreisausschnitts. Bezogen auf den Einheitskreis kannst du mit dieser Formel auch das Bogenmaß und das Gradmaß ineinander umrechnen. Die Formel, die wir benötigen, um diese Größen zu berechnen, lautet: b/u = α/360°. Beginnen wir zuerst mit der Länge des Kreisbogens beziehungsweise mit der Bogenlänge und betrachten dazu einen Kreisausschnitt. Die Bogenlänge stellt einen Teil des Umfangs dar und bezieht sich auf den Kreisausschnitt. Wir wollen nun die Bogenlänge eines Kreises berechnen. Um die Bogenlänge zu berechnen, brauchen wir den Umfang des Kreises und den Winkel des Kreisausschnitts α. In der Skizze befindet er sich hier. Zusätzlich müssen wir die Formel nach b umstellen. Dies gelingt uns, indem wir die Gleichung mit u multiplizieren. Das ergibt b = αu/360°. Wählen wir dann zum Beispiel für u = 21cm, für den Winkel des Kreisausschnitts α = 130°. Wir setzen diese beiden Werte in die Formel ein und erhalten b = 13021cm/360°, was rund 7,58 cm ist. Kommen wir nun zum Winkel eines Kreisausschnitts, den wir berechnen wollen. Die Formel bleibt die gleiche. Diesmal haben wir aber den Umfang und die Bogenlänge gegeben. Die Formel müssen wir nun nach α umstellen. Dies gelingt uns, indem wir die Gleichung mit 360° multiplizieren. Das ergibt α = b360°/u. Wenden wir diese Formel nun auf ein Beispiel an. Gegeben sei dazu u mit 18 cm und b mit 12 cm. Diese Werte setzen wir in die umgestellte Formel ein und erhalten α = 12cm360°/18cm , was einen Winkel von 240° ergibt. Schauen wir uns nun den Einheitskreis näher an, also den Kreis mit einem Radius von einem Zentimeter. In diesem Zusammenhang spricht man bei der Angabe des Winkels von „Gradmaß“ und „Bogenmaß“. Das sind zwei verschiedene Möglichkeiten, um den Winkel eines Kreisausschnittes zu bezeichnen. Man kann den Winkel einerseits mit dem Gradmaß über die Gradangabe des Winkels bezeichnen. Ein Vollwinkel umfasst dabei 360°. Im Taschenrechner wird das mit „Deg“ abgekürzt. Das kommt von „Degree“, was „Gradmaß“ übersetzt heißt. Man kann andererseits den Winkel auch mit dem Bogenmaß über die Bogenlänge angeben. Ein Vollwinkel umfasst hier 2π. Was die Kreiszahl „Pi“ ist, hast du schon in Teil 2 gelernt. Im Taschenrechner wird das mit „Rad“ abgekürzt. Das kommt von „Radian“, was “Bogenmaß” übersetzt heißt. Diese verschiedenen Darstellungsformen sind historisch gewachsen. Die alten Babylonier verwendeten, abgeleitet aus der damals angenommenen Tagesanzahl in einem Jahr, das Gradmaß, um Winkel zu bezeichnen. Die alten Griechen wollten lieber ein eigenes Maß und verwendeten das Bogenmaß. Pythagoras erkannte, dass der Umfang ungefähr zweimal 22 Siebtel beträgt. Diese seltsame Zahl bezeichnete er mit dem griechischen Buchstaben π (Pi) wie Pythagoras. Heute ist die Zahl viel genauer, wird aber noch als Pi bezeichnet. Da beide Größen einander direkt bedingen, kann man auch beide Größen ineinander umrechnen. Wir können dazu wieder unsere bekannte Formel b/u = α/360° verwenden und diese auf den Einheitskreis beziehen. Im Einheitskreis beträgt der Umfang, also die Bogenlänge eines Vollwinkels, wie oben erwähnt, 2π. Diesen Wert setzen wir in die Formel ein und erhalten b/2π = α/360°. Für unsere Formel kannst du dir dann merken: Auf der linken Seite haben wir das Bogenmaß und auf der rechten Seite das Gradmaß. Unten im Nenner stehen immer die entsprechenden Werte für einen Vollwinkel und oben die Werte für den Kreisausschnitt. Jetzt rechnen wir dazu ein Beispiel. Die Formel halten wir uns hier oben fest. Suchen wir nun den Winkel im Gradmaß und haben den Winkel im Bogenmaß mit b = 2 gegeben, dann stellen wir diese Formel wieder nach α um, das ergibt α = b360°/2π und setzen den gegebenen Wert ein. Es ergibt sich α = 2360°/2π, was rund 114,59° entspricht. Andersherum kann auch das Bogenmaß b gesucht sein und das Gradmaß α gegeben sein. Sei zum Beispiel α = 45°. Dann müssen wir die Formel nach b umstellen. Das ergibt b = α2π/360°. Den Winkel α = 45° setzen wir dann in die Formel ein. Das ergibt b = 45°2π/360°. Zusammengefasst erhalten wir 1/4 π, was rund ein Bogenmaß von 0,79 ergibt. Nun sind wir schon wieder am Ende des Videos angelangt. Wir haben uns sowohl die Bogenlänge eines Kreisausschnitts als auch dessen Winkel angesehen. Die Formel zur Berechnung dieser Werte lautet b/u = α/360°. Zum Umrechnen der Winkelmaße Gradmaß und Bogenmaß wendet man die Formel auf den Einheitskreis an. Er hat einen Umfang von u = 2π. Wir erhalten die Formel b/2π = α/360°. Diese Formel kann nur auf den Einheitskreis angewendet werden. Und nun sage ich bye bye und bis zum nächsten Mal.

3 Kommentare
  1. Vielen Dank, super erklärt!

    Von Lino.Beer, vor mehr als 6 Jahren
  2. Wie komme ich zum Fachchat?

    Von Regine Edel, vor mehr als 6 Jahren
  3. Hi

    Von Verner, vor mehr als 7 Jahren

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Gradmaß und Bogenmaß Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gradmaß und Bogenmaß kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle die Formel einmal nach der Bogenlänge und einmal nach dem Winkel $\alpha$ um.

    Tipps

    Um bei bekannter Bogenlänge $b$ zu dem Winkel $\alpha$ zu gelangen, musst du mit $360^\circ$ multiplizieren.

    Um bei bekanntem Winkel $\alpha$ zur Bogenlänge $b$ zu gelangen, musst du mit $u$ multiplizieren.

    Lösung

    Diese Formel gibt den Zusammenhang zwischen einem Winkel und der zugehörigen Bogenlänge an.

    Diese Formel kann jeweils nach einer gesuchten Größe umgestellt werden. Im Folgenden wird angenommen, dass der Umfang jeweils bekannt ist. Du kannst bei bekannter Bogenlänge $b$ und Winkel $\alpha$ die Formel auch nach dieser Größe umstellen.

    Ist die Bogenlänge $b$ bekannt und der Winkel $\alpha$ gesucht, multiplizierst du mit $360^\circ$ und erhältst:

    $\alpha=\frac{b\cdot 360^\circ}{u}$.

    Durch Einsetzen der bekannten Größen kannst du nun den Winkel $\alpha$ ausrechnen. Wir schauen uns hierfür ein Beispiel an. Sei $u=18~cm$ und $b=12~cm$, dann gilt

    $\alpha=\frac{12~cm\cdot 360^\circ}{18~cm}=240^\circ$.

    Ist der Winkel $\alpha$ gegeben und die Bogenlänge $b$ gesucht, multiplizierst du mit $u$:

    $b=\frac{\alpha\cdot u}{ 360^\circ}$.

    Auch dies üben wir wieder an einem Beispiel: $u=21~cm$ und $\alpha=130^\circ$. Einsetzen der bekannten Größen führt zu:

    $b=\frac{130^\circ\cdot 21~cm}{ 360^\circ}\approx 7,58~cm$.

  • Ermittle die fehlenden Größen.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an. Sei $\alpha=180^\circ$. Dann gilt:

    $b=\frac{180^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\pi\approx3,14$.

    Um die Formel nach einer der beiden Größen umzustellen, musst du mit dem jeweiligen Nenner multiplizieren:

    • Du stellst nach $\alpha$ um, indem du mit $360^\circ$ multiplizierst.
    • Du stellst nach $b$ um, indem du mit $2\pi$ multiplizierst.

    Bei dem gegebenen Winkelmaß gilt:

    $b=\frac14\pi=\frac{\pi}4$.

    Lösung

    Beim Einheitskreis (Radius $r=1$) ist der Umfang gegeben durch $u=2\pi$, mit der Kreiszahl $\pi\approx 3,14$.

    So kann der Winkel eines Kreisausschnittes entweder in dem Bogenmaß $b$ (also der Bogenlänge) angegeben werden oder im Winkelmaß. Wichtig ist, dass du darauf achtest, in welchem Maß ein Winkel angegeben ist. Dementsprechend musst du deinen Taschenrechner einstellen:

    • DEG steht für „degree“, also das Winkelmaß.
    • RAD steht für „radiant“, also das Bogenmaß.
    Du kannst durch Umstellen der obigen Formel einen Winkel im Bogenmaß $b$ in das Winkelmaß $\alpha$ umrechnen und umgekehrt.

    Gegeben sei das Bogenmaß $b=2$

    Multiplikation mit $360^\circ$ führt zu:

    $\alpha=\frac{b\cdot 360^\circ}{2\pi}$.

    Setze $b=2$ in diese Formel ein:

    $\alpha=\frac{2\cdot 360^\circ}{2\pi}=\frac{360^\circ}{\pi}\approx 114,59^\circ$.

    Gegeben sei das Winkelmaß $\alpha=45^\circ$

    Multiplikation mit $2\pi$ führt zu:

    $b=\frac{\alpha\cdot 2\pi}{360^\circ}$.

    Setze $\alpha=45^\circ$ in diese Formel ein. Damit erhältst du das zugehörige Bogenmaß:

    $b=\frac{45^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\frac14\pi\approx0,79$.

    Wenn möglich wird das Bogenmaß als Faktor mal $\pi$ geschrieben. Das heißt, bei diesem Beispiel wäre es üblich, Folgendes zu schreiben:

    $b=\frac14\pi=\frac{\pi}4$.

  • Berechne jeweils das Bogenmaß.

    Tipps

    Verwende diese Formel:

    $b=\frac{\alpha\cdot 2\pi}{360^\circ}$.

    Kürze dann so weit wie möglich.

    Schauen wir uns ein Beispiel an: $\alpha=225^\circ$. Dann berechnen wir $b$ folgendermaßen:

    $b=\frac{225^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\frac{5\pi}4$.

    Es gilt $4\cdot 90^\circ=360^\circ$.

    Der Vollwinkel $360^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $2\pi$.

    Lösung

    Das Bogenmaß $b$ wird oft als Produkt angegeben. Dabei ist einer der Faktoren die Kreiszahl $\pi$. Du findest bei der Darstellung trigonometrischer Funktionen im Koordinatensystem oftmals auch die Beschriftung der x-Achse im Bogenmaß.

    Schauen wir uns einige Bogenmaße an, die als ein Vielfaches von $\pi$ darstellbar sind.

    • $\alpha=90^\circ~~ \Leftrightarrow ~~ b=\frac{90^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\frac{\pi}2$
    • $\alpha=135^\circ ~~ \Leftrightarrow ~~ b=\frac{135^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\frac{3\pi}4$
    • $\alpha=180^\circ ~~ \Leftrightarrow ~~ b=\frac{180^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\pi$
    • $\alpha=270^\circ ~~ \Leftrightarrow ~~ b=\frac{270^\circ\cdot 2\pi}{360^\circ}=\frac{3\pi}2$
    $90^\circ$ im Winkelmaß entspricht $\frac{\pi}2$ im Bogenmaß. So kannst du in jeweiligen Abständen von $90^\circ$ das zugehörige Bogenmaß bestimmen:

    • $360^\circ$ entspricht $2\pi$;
    • $450^\circ$ entspricht $\frac{5\pi}2$;
    • $540^\circ$ entspricht $3\pi$;
    • ...
  • Leite die Bogenlänge oder den Umfang her.

    Tipps

    Stelle die angegebene Formel jeweils nach der gesuchten Größe um.

    Wenn der Umfang gesucht ist, kannst du auf beiden Seiten der Formel den Kehrwert bilden:

    $\frac{u}{b}=\frac{360^\circ}{\alpha}$.

    Multipliziere dann mit $b$.

    Schaue dir ein Beispiel zur Berechnung des Umfangs an. Seien $\alpha=40^\circ$ und $b=5\pi~cm$. Dann ist:

    $u=\frac{360^\circ\cdot 5\pi~cm}{40^\circ}=45\pi~cm\approx141,37~cm$.

    Der Umfang ist größer als die Bogenlänge.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du üben, wie die Formel $\frac{b}{u}=\frac{\alpha}{360^\circ}$ sowohl nach $b$ als auch nach $u$ umgeformt werden kann. Der Winkel $\alpha$ ist dabei immer vorgegeben.

    Die Umformung nach $b$ führt zu $b=\frac{\alpha\cdot u}{360^\circ}$.

    • Durch Einsetzen von $\alpha=240^\circ$ und $u=2\pi~cm$ erhältst du $b=\frac{240^\circ\cdot 2\pi~cm}{360^\circ}=\frac{480^\circ \pi~cm}{360^\circ}=\frac{4\pi}3~cm\approx4,19~cm$.
    • Sei nun $\alpha=140^\circ$ und $u=2\pi~cm$, so erhältst du $b=\frac{140^\circ\cdot 2\pi~cm}{360^\circ}=\frac{280^\circ \pi~cm}{360^\circ}=\frac{7\pi}{9}~cm\approx2,44~cm$.
    Zur Berechnung des Umfangs bildest du zunächst auf beiden Seiten der Formel, welche am Anfang der Lösung steht, den Kehrwert $\frac{u}{b}=\frac{360^\circ}{\alpha}$.

    Dann multiplizierst du mit $b$ und erhältst $u=\frac{360^\circ\cdot b}{\alpha}$.

    • Seien $\alpha=180^\circ$ und $b=30~cm$, dann ist $u=\frac{360^\circ\cdot 30~cm}{180^\circ}=2\cdot 30~cm=60~cm$.
    • Mit $\alpha=80^\circ$ und $b=10\pi~cm$ erhältst du $u=\frac{360^\circ\cdot 10\pi~cm}{80^\circ}=\frac{90\pi}{2}~cm\approx 141,4~cm$.
  • Beschrifte das Winkelmaß und das Bogenmaß.

    Tipps

    Das Bogenmaß hat als Maßeinheit eine Längeneinheit.

    Das Winkelmaß hat als Maßeinheit $^\circ$.

    Lösung

    Zu jedem Winkel eines Kreisausschnittes gehört die Bogenlänge $b$ des zugehörigen Bogens.

    Sei $r=1$, so spricht man vom Einheitskreis.

    Im Einheitskreis sind das Winkelmaß und das Bogenmaß eines Winkels definiert.

    • $\alpha$ ist der Winkel im Winkelmaß mit der Einheit $^\circ$.
    • $b$, die Bogenlänge, ist das Bogenmaß, deren Einheit eine Längeneinheit ist.
  • Gib jeweils den Winkel im Winkelmaß an.

    Tipps

    Verwende diese Formel:

    $\alpha=\frac{b\cdot 360^\circ}{u}$.

    Alle Winkel sind ganzzahlig.

    Im Einheitskreis gilt $u=2\pi$.

    Lösung

    Anhand dieser Formel kannst du erkennen, dass $\alpha$ gerade das Verhältnis von Bogenlänge zu Umfang multipliziert mit dem Vollwinkel $360^\circ$ ist.

    Damit kannst du bei gegebener Bogenlänge und gegebenem Umfang jeweils den Winkel $\alpha$ berechnen.

    • Im Einheitskreis ist $u=2\pi$. Weiterhin ist $b=\frac{5\pi}2$ gegeben. Damit gilt: $\frac bu=\frac{\frac{5\pi}{2}}{2\pi}=\frac54$ und somit $\alpha=\frac54\cdot 360^\circ=450^\circ$.
    • Für $b=20~cm$ und $u=100~cm$ ist $\frac bu=\frac{20~cm}{100~cm}=\frac15$. Damit ist $\alpha=\frac15\cdot 360^\circ=72^\circ$.
    Nun folgen noch zwei Beispiele, in welchen das Verhältnis von $b$ zu $u$ mehr oder weniger direkt angegeben ist:

    • Mit $b=u$ folgt $\frac bu=1$. Damit ist $\alpha=360^\circ$.
    • Wenn $\frac bu=\frac13$ ist, folgt $\alpha=\frac13\cdot 360^\circ=120^\circ$.