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Geraden – Erläuterung 08:37 min

Textversion des Videos

Transkript Geraden – Erläuterung

Hallo. Hier steht eine Gleichung. Gleichungen dieser Form definieren Geraden, und zwar dann, wenn man sich Folgendes vorstellt: Lösungen einer solchen Gleichung mit zwei Variablen sind ja immer Zahlenpaare, nämlich eine Zahl, die man für x einsetzt und eine Zahl, die man für y einsetzt, sodass die Gleichung richtig wird. Wenn man solche Lösungen als Koordinaten von Punkten auffasst, dann stellt man fest, dass alle Punkte, deren Koordinaten Lösungen einer solchen Gleichung sind, auf einer Geraden liegen. Und wie man das verstehen kann, möchte ich jetzt mal mit folgender allgemeinen Umformung hier nochmal illustrieren. Und zwar könnten wir hier rechnen auf beiden Seiten minus ax und dann noch durch b teilen. Und dann hätten wir da stehen: x=-a/b×x+c/b. Und das erinnert dich sicher an die herkömmliche oder an die Form, die du vielleicht gewohnt bist von Geraden. Nämlich die Form y=m×x+n. Ja, schönes Pluszeichen schreiben hier. Meistens ist es auch nicht schöner. Egal. Meistens steht hier n oder steht auch ein b da. Das bist jetzt hier schon erledigt, deshalb ist schon verwendet worden. Deshalb steht hier ein n. Du siehst also: Die beiden Formen unterscheiden sich nicht so sehr. Allerdings, allerdings kann hier auch b=0 sein. Und diese Umformung ist nur richtig, wenn b ungleich 0 ist, denn sonst könnten wir ja durch b nicht teilen. Deshalb habe ich hier auch kein Äquivalenzzeichen hingeschrieben, denn hier steht ja nur als Voraussetzung, dass a ungleich 0 sein muss oder b ungleich 0 sein muss. Es kann ja b auch, also wenn a ungleich 0 ist, dann kann ja b auch ungleich 0 sein. Und ja, was da herauskommt, das möchte ich jetzt auch mal ein bisschen erläutern. Nehmen wir mal an, b sei 0 und a sei ungleich 0. Was passiert dann? Dann können wir, zum Beispiel, eine Gleichung...ich teile das mal eben hier ab. Dann können wir uns folgende Gleichung vorstellen: Wir haben 2x+0×b, also 0×y, dann ist b=0, 0×y=3, zum Beispiel. Wie sieht dann eine solche Gerade aus? Also eine solche Gerade können wir so nicht darstellen, weil ja das b jetzt gleich 0 ist. Wir stellen uns einfach Lösungen dieser Gleichung vor. Also wir nehmen ein Koordinatensystem. Ja, ist ein bisschen klein geraten. Macht nichts. Was können wir für x einsetzen, wenn wir, zum Beispiel, für x 3/2 einsetzen? Dann steht hier 2×3/2, das ist 3 + 0=3. Und was wir für y einsetzen, ist eigentlich ziemlich egal, denn 0 mal irgendetwas ist immer gleich 0 und deshalb können wir für y einsetzen, können wir für y alle Zahlen einsetzen, wenn x=1,5 ist, also 3/2, dann ist diese Gleichung immer richtig, egal was wir für x einsetzen. Und deshalb erhalten wir so eine Parallele zur y-Achse. Die sollte eigentlich parallel sein. Eine Parallele zur y-Achse, ja. Und zwar geht diese Parallele durch den Punkt auf der x-Achse bei 1,5. Wir können uns außerdem überlegen, was würde denn passieren, wenn a=0 ist? Was haben wir dann für eine Gleichung? Wir können, zum Beispiel, dann schreiben: 0×x+2×b=1. 2×y, meine ich, =1. b ist jetzt gleich zwei. a ist 0. Wie sieht eine solche Gerade aus? Was wir für x einsetzen, ist egal, denn 0×x ist immer gleich 0. Für y können wir ein Halb einsetzen. Da steht da 2×1/2. Das ist gleich 1. Und das ist auch schon die einzige Lösung oder die einzige Zahl, die man für x einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig ist. Das heißt, wir erhalten also eine Parallele in der Höhe. Ja, da ist 0,5 oder 1/2. Wir erhalten eine Parallele zur x-Achse. Ja auch das sollte eigentlich parallel sein. Ja, du weißt, was ich meine. Ja und dann kommt noch der Fall oder die beiden Fälle, die hier ausgeschlossen sind, aber auch die möchte ich mal zeigen. Was passiert denn, wenn a=0 ist und b=0 ist und c=0 ist? Was erhalten wir denn dann? Ich weiß, das ist hier ausgeschlossen, aber nur mal so zum Überlegen, warum ist das denn hier ausgeschlossen eigentlich? Was käme denn dann heraus? Dann haben wir folgende Gleichung: 0×x+0×x=0. Was kann man hier für x und y einsetzen, sodass die Gleichung richtig ist? Alles. Egal, welche Zahl man einsetzt, diese Gleichung ist immer richtig und geometrisch kann man also die Lösungsmenge einer solchen Gleichung als die komplette Zahlenebene interpretieren. Jeder Punkt auf der Zahlenebene oder in dieser Zahlenebene, so sagt man das ja, jeder Punkt in dieser Zahlenebene hat Koordinaten, die eine Lösung dieser Gleichung sind. Also jeder Punkt hat ja ein Koordinatenpaar und jedes Koordinatenpaar ist eine Lösung dieser Gleichung. Was würde passieren, wenn wir davon ausgehen: a=b=0, aber c ist ungleich 0? Das ist noch der letzte Fall, der jetzt hier in dieser Betrachtung übrig bleibt. Dann hätten wir, zum Beispiel, so etwas wie 0×x+0×x=1. Und da sieht man gleich, hoffe ich, egal, was man für x und y einsetzt, hier wird immer 0 herauskommen. Das ist nicht gleich 1. Diese Gleichung ist widersprüchlich und sie hat überhaupt keine Lösung. Und so kann man also verstehen, dass die Bedingung hier schon vernünftig ist, denn mit dieser Bedingung erhalten wir für jede Gleichung, die wir so bilden können, eine Gerade und alle Geraden sind mit Gleichungen solchen Typs auch erfasst. Das war es. Tschüss.

1 Kommentar
  1. hi ich finde dieses video echt gut und hätte da einen frage die sich NICHT auf das video sondern auf sofatutor bezieht und di elautet "wie kommt man in den Mathechat ??? " äre sehr nett wenn einer Antworten würde

    Von Agentff, vor mehr als 6 Jahren

Geraden – Erläuterung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geraden – Erläuterung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Gleichung an, deren Lösungsmenge eine Gerade ist, sowie die zugehörigen Voraussetzungen.

    Tipps

    Die Gleichung zu dieser Geraden lautet

    $2x+y=2$.

    Wenn zum Beispiel $a=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse und für $b=0$ parallel zur y-Achse.

    Seien sowohl $a$ als auch $b$ gleich $0$, dann liefert die Gleichung

    • $0x+0y=0$ alle Paare $(x|y)$ als Lösungsmenge und
    • $0x+0y=2$ die leere Menge als Lösungsmenge.

    Lösung

    Eine Gerade ist die Lösungsmenge der Gleichung

    $ax+by=c$.

    Eine solche Gleichung wird auch als Koordinatengleichung einer Geraden bezeichnet.

    Es müssen jedoch noch gewisse Voraussetzungen gelten, damit die Lösungsmenge dieser Gleichung eine Gerade ist: Es muss gelten, dass entweder $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ ist. Anders ausgedrückt, es darf durchaus $a=0$ sein oder $b=0$, aber nicht beide gleichzeitig.

    Man kann diese Gleichung umformen:

    $\begin{array}{rclll} ax+by & = & c &|& -ax\\ by & = & -ax+c &|& :b\\ y & = & -\frac ab x+\frac c b \end{array}$

    Wir erhalten für $b\neq 0$ eine lineare Funktionsgleichung $y=mx+n$.

  • Beschreibe die Lage der Gerade.

    Tipps

    Beachte, dass eine beliebige Zahl mit $0$ multipliziert $0$ ergibt.

    Eine Gleichung der Form $5x=10$ löst du durch Division durch $5$, also $x=2$.

    Bestimme zwei Punkte $(x|y)$, die diese Gleichung lösen und trage diese in ein x-y-Koordinatensystem ein. Die Verbindung dieser Punkte ist die gesuchte Gerade.

    Lösung

    Was passiert, wenn in der Gleichung $ax+by=c$ der Koeffizient $b=0$ ist?

    Wenn man das Beispiel $2x+0y=3$ betrachtet, kann man dies nicht in der Form $y=mx+n$ darstellen, da $b=0$ ist und durch $0$ nicht dividiert werden darf.

    Wie sehen Lösungen dieser Gleichung aus?

    Offenbar ist $x=\frac32$ eine Lösung der Gleichung, denn man erhält $2\frac32+0y=3$, also $3=3$. Diese Gleichung ist immer erfüllt, unabhängig von $y$. Man kann also für $y$ alle möglichen Werte einsetzen. Die Gerade besteht somit aus den Punkten $(1,5|y)$.

    Diese Gerade verläuft parallel zur y-Achse durch $x=1,5$. Dies ist in der nebenstehenden Skizze zu sehen.

  • Skizziere die Gerade zu der Gleichung $0x+2y = 1$

    Tipps

    Forme die Gleichung um, so dass sie die Form $y=mx+n$ hat.

    Wie lautet die Steigung $m$?

    Eine Gerade mit der Steigung $m=0$ verläuft parallel zur x-Achse.

    Du kannst auch jeden der gegebenen Punkte $(x|y)$ in der obigen Gleichung einsetzen und schauen, ob diese erfüllt ist.

    Lösung

    Was passiert, wenn $a=0$ ist?

    Dies ist zum Beispiel bei $0x+2y=1$ der Fall. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $y=\frac12$. Das bedeutet, dass $y$ unabhängig von $x$ immer gleich ist. Dies ist eine konstante Funktion.

    Der Verlauf dieser Funktion ist eine Gerade, welche parallel zur x-Achse verläuft durch $y=\frac12$.

    Also ist jeder Punkt $(x|0,5)$ eine Lösung zu dieser Gleichung. Dies ist in der nebenstehenden Skizze zu sehen.

  • Leite die zugehörigen Geradengleichungen der Form $ax+by=c$ her.

    Tipps

    Alle einzutragenden Werte sind ganzzahlig und auf Grund der bereits vorgegebenen Werte eindeutig.

    Für achsenparallele Geraden gilt

    • parallel zur y-Achse $b=0$ und
    • parallel zur x-Achse $a=0$.

    Beachte, dass die grüne Gerade parallel zu der orange-farbenen verläuft.

    Lösung

    Um eine Geradengleichung aufzustellen, kann man sich zunächst die Besonderheiten der Gleichung $ax+by=c$ klarmachen:

    • $a=0$: die Gerade verläuft parallel zur x-Achse.
    • $b=0$: die Gerade verläuft parallel zur y-Achse.
    • $c=0$: die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung $O(0|0)$.
    • Die rote Gerade verläuft parallel zur x-Achse, also lautet die Gleichung $0x+by=c$. Sie verläuft durch $y=2$. Damit erhält man $0x+y=2$. Natürlich gehört auch zu jedem beliebigen Vielfachen dieser Gleichung diese Gerade. Die Gleichung mit der rechten Seite $c=6$ lautet dann $0x+3y=6$.
    • Die blaue Gerade verläuft parallel zur y-Achse, also ist $b=0$. Damit ist die Gleichung bereits in der Form $ax+0y=c$ definiert. Da die Gerade durch $x=-1$ verläuft, lautet die Gleichung $x+0y=-1$.
    • Die orange farbene Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung. Es ist somit $c=0$. Zum Beispiel an den Punkte $(2|1)$ oder $(4|2)$ kann man erkennen, dass $x$ das Doppelte von $y$ ist, das heißt $x=2y$. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu $-x+2y=0$.
    • Die grüne Gerade verläuft parallel zu der orange farbenen. Deshalb lautet die linke Seite ebenfalls $-x+2y$. Wie sieht die rechte Seite aus? Diese kann man anhand eines beliebigen Punktes der Geraden bestimmen, zum Beispiel $(0|2)$. Es ist also $-0+2\cdot 2=4$ und damit $c=4$. Die Gleichung lautet dann $-x+2y=4$.

  • Entscheide, welche der Geraden parallel zur y-Achse verlaufen.

    Tipps

    Bringe jede der Gleichungen in die Form

    $ax+by=c$.

    Wenn $a=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse.

    Wenn sowohl $a$ als auch $b$ ungleich $0$ sind, verläuft die Gerade zu keiner der beiden Koordinatenachsen parallel.

    Lösung

    Ganz allgemein lautet die Koordinatengleichung einer Geraden

    $ax+by=c$.

    Dabei dürfen nicht gleichzeitig $a=0$ und $b=0$ sein. Wenn jedoch nur einer der beiden Werte $0$ ist, hat die Gerade eine spezielle Lage:

    • $a=0$: die Gerade verläuft parallel zur x-Achse.
    • $b=0$: die Gerade verläuft parallel zur y-Achse.
    Wenn zusätzlich noch $c=0$ ist, dann liegt die Gerade auf der entsprechenden Achse und ist somit identisch. Dies ist ein Spezialfall der Parallelität. Die folgenden Gerade verlaufen parallel zur y-Achse:
    • $3x-3=0$
    • $4x+0y=4$
    • $4-2x=0$

  • Gib zu den gezeigten Geraden an, ob $a$ oder $b$ $0$ ist.

    Tipps

    Die allgemeine Gleichung lautet $ax+by=c$.

    Die Gerade zu $2x=6$ verläuft parallel zur y-Achse.

    Die Gerade zu $3y=2$ verläuft parallel zur x-Achse.

    Lösung

    Hier sind die Geraden mit den zugehörigen Gleichungen in der Form $ax+by=c$ zu sehen.

    Die grünen Geraden verlaufen parallel zur y-Achse. Bei den zugehörigen Gleichungen ist $b=0$.

    Die blauen Geraden verlaufen parallel zur x-Achse. Bei diesen Gleichungen ist $a=0$.

    Eine besondere Lage hat auch die rote Gerade zu $2x+y=0$. Diese verläuft durch den Koordinatenursprung. An der Gleichung ist das daran zu erkennen, dass $c=0$ ist.