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Geraden – Erläuterung 08:37 min

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Transkript Geraden – Erläuterung

Hallo. Hier steht eine Gleichung. Gleichungen dieser Form definieren Geraden, und zwar dann, wenn man sich Folgendes vorstellt: Lösungen einer solchen Gleichung mit zwei Variablen sind ja immer Zahlenpaare, nämlich eine Zahl, die man für x einsetzt und eine Zahl, die man für y einsetzt, sodass die Gleichung richtig wird. Wenn man solche Lösungen als Koordinaten von Punkten auffasst, dann stellt man fest, dass alle Punkte, deren Koordinaten Lösungen einer solchen Gleichung sind, auf einer Geraden liegen. Und wie man das verstehen kann, möchte ich jetzt mal mit folgender allgemeinen Umformung hier nochmal illustrieren. Und zwar könnten wir hier rechnen auf beiden Seiten minus ax und dann noch durch b teilen. Und dann hätten wir da stehen: x=-a/b×x+c/b. Und das erinnert dich sicher an die herkömmliche oder an die Form, die du vielleicht gewohnt bist von Geraden. Nämlich die Form y=m×x+n. Ja, schönes Pluszeichen schreiben hier. Meistens ist es auch nicht schöner. Egal. Meistens steht hier n oder steht auch ein b da. Das bist jetzt hier schon erledigt, deshalb ist schon verwendet worden. Deshalb steht hier ein n. Du siehst also: Die beiden Formen unterscheiden sich nicht so sehr. Allerdings, allerdings kann hier auch b=0 sein. Und diese Umformung ist nur richtig, wenn b ungleich 0 ist, denn sonst könnten wir ja durch b nicht teilen. Deshalb habe ich hier auch kein Äquivalenzzeichen hingeschrieben, denn hier steht ja nur als Voraussetzung, dass a ungleich 0 sein muss oder b ungleich 0 sein muss. Es kann ja b auch, also wenn a ungleich 0 ist, dann kann ja b auch ungleich 0 sein. Und ja, was da herauskommt, das möchte ich jetzt auch mal ein bisschen erläutern. Nehmen wir mal an, b sei 0 und a sei ungleich 0. Was passiert dann? Dann können wir, zum Beispiel, eine Gleichung...ich teile das mal eben hier ab. Dann können wir uns folgende Gleichung vorstellen: Wir haben 2x+0×b, also 0×y, dann ist b=0, 0×y=3, zum Beispiel. Wie sieht dann eine solche Gerade aus? Also eine solche Gerade können wir so nicht darstellen, weil ja das b jetzt gleich 0 ist. Wir stellen uns einfach Lösungen dieser Gleichung vor. Also wir nehmen ein Koordinatensystem. Ja, ist ein bisschen klein geraten. Macht nichts. Was können wir für x einsetzen, wenn wir, zum Beispiel, für x 3/2 einsetzen? Dann steht hier 2×3/2, das ist 3 + 0=3. Und was wir für y einsetzen, ist eigentlich ziemlich egal, denn 0 mal irgendetwas ist immer gleich 0 und deshalb können wir für y einsetzen, können wir für y alle Zahlen einsetzen, wenn x=1,5 ist, also 3/2, dann ist diese Gleichung immer richtig, egal was wir für x einsetzen. Und deshalb erhalten wir so eine Parallele zur y-Achse. Die sollte eigentlich parallel sein. Eine Parallele zur y-Achse, ja. Und zwar geht diese Parallele durch den Punkt auf der x-Achse bei 1,5. Wir können uns außerdem überlegen, was würde denn passieren, wenn a=0 ist? Was haben wir dann für eine Gleichung? Wir können, zum Beispiel, dann schreiben: 0×x+2×b=1. 2×y, meine ich, =1. b ist jetzt gleich zwei. a ist 0. Wie sieht eine solche Gerade aus? Was wir für x einsetzen, ist egal, denn 0×x ist immer gleich 0. Für y können wir ein Halb einsetzen. Da steht da 2×1/2. Das ist gleich 1. Und das ist auch schon die einzige Lösung oder die einzige Zahl, die man für x einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig ist. Das heißt, wir erhalten also eine Parallele in der Höhe. Ja, da ist 0,5 oder 1/2. Wir erhalten eine Parallele zur x-Achse. Ja auch das sollte eigentlich parallel sein. Ja, du weißt, was ich meine. Ja und dann kommt noch der Fall oder die beiden Fälle, die hier ausgeschlossen sind, aber auch die möchte ich mal zeigen. Was passiert denn, wenn a=0 ist und b=0 ist und c=0 ist? Was erhalten wir denn dann? Ich weiß, das ist hier ausgeschlossen, aber nur mal so zum Überlegen, warum ist das denn hier ausgeschlossen eigentlich? Was käme denn dann heraus? Dann haben wir folgende Gleichung: 0×x+0×x=0. Was kann man hier für x und y einsetzen, sodass die Gleichung richtig ist? Alles. Egal, welche Zahl man einsetzt, diese Gleichung ist immer richtig und geometrisch kann man also die Lösungsmenge einer solchen Gleichung als die komplette Zahlenebene interpretieren. Jeder Punkt auf der Zahlenebene oder in dieser Zahlenebene, so sagt man das ja, jeder Punkt in dieser Zahlenebene hat Koordinaten, die eine Lösung dieser Gleichung sind. Also jeder Punkt hat ja ein Koordinatenpaar und jedes Koordinatenpaar ist eine Lösung dieser Gleichung. Was würde passieren, wenn wir davon ausgehen: a=b=0, aber c ist ungleich 0? Das ist noch der letzte Fall, der jetzt hier in dieser Betrachtung übrig bleibt. Dann hätten wir, zum Beispiel, so etwas wie 0×x+0×x=1. Und da sieht man gleich, hoffe ich, egal, was man für x und y einsetzt, hier wird immer 0 herauskommen. Das ist nicht gleich 1. Diese Gleichung ist widersprüchlich und sie hat überhaupt keine Lösung. Und so kann man also verstehen, dass die Bedingung hier schon vernünftig ist, denn mit dieser Bedingung erhalten wir für jede Gleichung, die wir so bilden können, eine Gerade und alle Geraden sind mit Gleichungen solchen Typs auch erfasst. Das war es. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Default

    hi ich finde dieses video echt gut und hätte da einen frage die sich NICHT auf das video sondern auf sofatutor bezieht und di elautet "wie kommt man in den Mathechat ??? " äre sehr nett wenn einer Antworten würde

    Von Agentff, vor mehr als 5 Jahren