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Geraden – Definition 13:05 min

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Transkript Geraden – Definition

Hallo und willkommen zur Koordinatengeometrie. Wir wollen uns als mal als Erstes unterhalten über Geraden. Geraden sehen ungefähr so aus. Auch in der Koordinatengeometrie befinden sich Geraden in einem Koordinatensystem. Solche Geraden kann man auffassen als eine Menge von Punkten. Das sind lauter Punkte, die aneinandergereiht sind. Diese Punkte haben im Koordinatensystem jeweils 2 Koordinaten, nämlich eine x- und y-Koordinate. Und diese Punkte bilden also genau dann eine Gerade, wenn die zugehörigen Koordinaten Lösungen der folgenden Gleichung sind oder einer Gleichung des folgenden Typs: ax+by=c, wobei also a ungleich null sein soll oder aber b soll ungleich null sein. Sie können auch beide ungleich null sein, aber mindestens a oder b muss ungleich null sein. Ja, da wird sich mancher denken, häh? Früher waren Geraden doch was ganz anderes. Also, wir hatten Geradengleichungen, die sahen aus, so: y=mx+n oder auch mx+b. b verwende ich jetzt nicht, weil das b jetzt hier schon steht. Warum ist das jetzt anders, warum definiert man das anders? Nun, da gibt es viele Gründe, warum das so ist. 2 möchte ich mal kurz verwähnen. Im weiteren Verlauf deiner Schulkarriere wirst du ja noch mehr Mathematik machen und wirst geometrische Objekte immer mehr analytisch behandeln, mit Zahlen behandeln und dann werden also viele geometrische Objekte demnächst nur noch, was heißt nur noch, werden also Lösungsmengen von Gleichungen bzw. auch Gleichungssystemen sein. Und das, diese Überlegung, dieser Gedankengang, der fängt hier an. Für uns ist jetzt eine Gerade, so wie sie hier ist, nicht mehr eine Funktion, so für das früher für dich der Fall war, als du noch klein warst. Jetzt bist du ja schon groß und jetzt ist eine Gerade was anderes, nämlich eine Lösungsmenge einer Gleichung bzw. die Koordinaten der Punkte der Geraden, die lösen alle eine solche Gleichung. Und wenn wir alle Lösungen einer solchen Gleichung als Koordinaten auffassen, dann erhalten wir Punkte, die alle auf einer Geraden liegen. Ja, das ist jetzt das Neue daran, um diese Denkweise auch vorzubereiten. Es gibt aber noch einen ganz entscheidenden Grund, denn wir wollen in der Koordinatengeometrie alle Geraden betrachten, die sich hier so im Koordinatensystem befinden können, auch die, die parallel zur y-Achse verlaufen. Und wenn du dich daran erinnerst, das geht ja mit einer solchen Funktionsauffassung nicht. Mit dieser Gleichung hier, mit einer solchen Funktionsgleichung kann man keine Gerade darstellen, die parallel zur y-Achse verläuft. Außerdem wollen wir nicht nur Geraden betrachten, sondern auch Parabeln, also auch solche, die jetzt hier so im Koordinatensystem liegen. Also auch das ist keine Funktion mehr. Zudem wollen wir auch noch Kreise betrachten. Auch Kreise kann man jetzt in diesem Koordinatensystem hier nicht mehr als Funktion sehen. Und deshalb werden das alles Lösungsmengen von Gleichungen sein oder auch von Gleichungssystemen. Wie kannst du dir nun vorstellen, dass bei einer solchen Gleichung und bei der zugehörigen Lösungsmenge tatsächlich eine Gerade herauskommt? Du kannst dir Folgendes überlegen. Wir nehmen einfach mal ein kleines Beispiel: x+y=0. a ist in dem Fall 1, da steht ja 1×x+b , ist auch 1, also 1×x+1×y=0, c ist hier 0. Ist das eine Gerade? Du kannst diese Gleichung hier umformen und dann erhältst du y=-x.  y=-x hat wieder die Form, die du von früher her kennst. m ist in dem Fall -1 und n=0. Aber auch mit dieser Gleichung kannst du dir vorstellen, dass da tatsächlich eine Gerade herauskommt. Ich bastle hier noch mal ein Koordinatensystem, einfach nur eben 2 Striche, das reicht. Wenn wir Zahlen für x und y einsetzen, sodass diese Gleichung richtig ist, dann muss ja folgendes gelten: y muss immer die Gegenzahl von x sein. Wenn x=3 ist, muss y=-3 sein, sonst ist die Gleichung nicht richtig. Wenn x=-4 ist, muss y die Gegenzahl sein, also +4, sonst ist die Gleichung auch nicht richtig. Das bedeutet: Immer, wenn wir hier eine x-Koordinate nehmen, x ist ja hier im negativen Bereich, das ist hier die x-Achse, hier ist die y-Achse. Wenn x hier im negativen Bereich ist, dann ist y hier mit dem gleichen Betrag im positiven Bereich. Umgekehrt genauso, wenn x positiv ist, ist y negativ. Und wir erhalten dann diese Gerade. Das ist also, wie du das hier gewöhnt bist, y=-x, das kennst du schon, diese Gerade, aber du siehst auch, wenn man das als Gleichung sieht, als Lösungsmenge dieser Gleichung, dann kann man sich auch diese Gerade gut vorstellen. Was ist mit der Gleichung x-y=0? Auch die kann man umformen und du siehst sofort das läuft auf y=x hinaus, wenn man hier y auf beiden Seiten addiert. y=x, das weißt du, das ist eine Gerade, die hier so verläuft. Und auch das kann man mit einer solchen Gleichung verstehen. Wir wissen, wenn x-y=0 sein soll, dann müssen x und y gleich sein. Wenn x=1,5, dann muss y=1,5 sein, weil nämlich 1,5-1,5=0 ist. D. h. also, wenn jetzt die x-Koordinate hier ist im positiven Bereich, dann muss die y-Koordinate ebenso hier in diesem positiven Bereich sein, mit gleichem Betrag und wir erhalten dann diese gewohnte Gerade, da ist sie, die gehört dazu. Die gewohnte Gerade, die du auch von dieser Gleichung her kennst, aber eben, man kann das auch als Lösungsmenge dieser Gleichung verstehen. 2 kleine andere Beispiele möchte ich noch zeigen dazu. Und zwar, was passiert, wenn jetzt zum Beispiel 2x-y=0 sein soll? Wie ändert sich die ganze Lage dann? Man kann das auch umformen, dann kommt es hier auf die andere Seite, das macht nichts. Wir rechnen also +y auf beiden Seiten und haben dann y=2x dastehen. Und auch das kann sich hier im Koordinatensystem vorstellen, und zwar so: Das ist die y-Achse, hier haben wir die x-Achse. y=2x weißt du, das verläuft so, aber wie kann man das jetzt als Gleichung verstehen? Wenn x=1 ist zum Beispiel, wie groß muss dann y sein? Wenn x=1 ist, dann steht hier 2×1, das ist 2, dann muss y=2 sein. Wenn x=2 ist, dann muss y=4 sein, damit die Differenz 0 ergibt. D. h. also, einfach ausgedrückt: y muss immer doppelt so groß sein wie x. Zum Beispiel, wenn x=1 ist, ist y=2, wenn x=2 ist, ist y=4, da sind die Punkte und wir erhalten diese Gerade, hier mit der Steigung 2. Und das kennst du von dieser Geradengleichung auch, dass da so etwas herauskommt. Und als letztes Beispiel hier noch, was passiert, wenn 2x-y=1 sein soll? Wir stellen uns mal vor, wir nehmen in Gedanken die gleichen x-Werte wie vorher und fragen uns jetzt, wie muss ich das y ändern, damit jetzt 1 rauskommt? Die Frage ist jetzt eigentlich, muss y kleiner oder größer werden. Wir können konkret nachrechnen: Wenn x=1 ist, dann hatten wir hier, muss y=2 sein. Hier allerdings muss y nur =1 sein, denn 2×1=2-1=1. Hier war Folgendes der Fall, wenn x=2 ist, muss y=4 sein. In der Gleichung ist das anders. Wenn x=2 ist, muss y nur noch =3 sein, denn 2-3=1. Das bedeutet also zu den gleichen x-Werten kriegen wir jetzt y-Werte, die alle um 1 nach unten versetzt sind. Wir bekommen also eine Gerade, die hier, wenn ich das richtig gezeichnet hätte, parallel zur ersten Geraden verläuft, nur eben um eine Einheit nach unten versetzt. Und auch das kannst du dir vorstellen, wenn du nämlich diese Gleichung auflöst nach y, dann rechnest du erst -2x auf beiden Seiten und multiplizierst dann noch mit -1 und erhältst also y=2x-1. Und da ergibt sich das gewohnte Bild. Die Gerade zu der Funktionsgleichung y=2x oder zu der Gleichung 2x-y=0 wird einfach um 1 nach unten versetzt und dann kommt diese Gerade dabei heraus. Das ist die Funktionsgleichung dazu und das ist hier die allgemeine Form einer Gleichung. So wird das in Zukunft heißen: allgemeine Form. Und damit soll hier also mal gut sein mit den Beispielen. Viel Spaß mit den Geraden! Tschüss!  

3 Kommentare
  1. @Tanja Werner: Du kannst die Übungen wiederholen, dazu klickst du oben in der Übung auf: "Übersicht" und dann unten links auf "Aufgaben zurücksetzen".
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  2. Hallo,
    ich habe mal eine Frage,
    kann man eine Übung zweimal machen und wenn ja wie ?

    Von Tanja Werner, vor mehr als 2 Jahren
  3. für einen anfänger zu kompliziert

    Von Broomkids, vor etwa 7 Jahren

Geraden – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geraden – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie eine Gerade definiert ist.

    Tipps

    Schau dir das Beispiel $2x-y=4$ an:

    Wenn $x=1$ ist, ist $y=-2$. Das resultierende Paar ist $(1|-2)$.

    Gib dir weitere $x$ vor und bestimme damit $y$. Zeichne die Paare in ein x-y-Koordinatensystem.

    Für $a=0$ liegt die resultierende Gerade parallel zur x-Achse und für $b=0$ parallel zur y-Achse.

    $c$ darf durchaus $0$ sein. Überlege dir, welche besondere Lage diese Gerade hat.

    Lösung

    Eine Gerade ist die Lösungsmenge der Gleichung

    $ax+by=c$.

    Dabei muss gelten, dass entweder $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ ist.

    Das bedeutet, dass alle Paare $(x|y)$, die die obige Gleichung erfüllen, auf einer Geraden liegen.

    Diese Gleichung kann unter der Voraussetzung, dass $b\neq 0$ ist, wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{array}{rclll} ax+by & = & x &|& -ax\\ by & = & -ax+c &|& :b\\ y & = & -\frac ab x+\frac c b \end{array}$

    Dies ist eine lineare Funktionsgleichung $y=mx+b$.

  • Gib an, welche Lage die beiden Geraden zueinander haben.

    Tipps

    Hier ist die Gerade zu $2x-y=0$ zu sehen.

    Alle Geraden der Form $ax+by=0$ mit $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ verlaufen durch den Koordinatenursprung.

    Die lineare Funktionsgleichung zu $2x-y=0$ lautet $y=2x$.

    Die lineare Funktionsgleichung zu $2x-y=1$ lautet $y=2x-1$.

    Lösung

    Die grüne Gerade ist die zu $2x-y=0$ und die blaue die zu $2x-y=1$.

    Hier ist zu erkennen, dass die beiden Geraden parallel zueinander sind. Die blaue entsteht aus der grünen durch Verschieben um eine Einheit nach unten.

    Kann man dies auch rechnerisch nachweisen?

    Klar! Man leitet die jeweilige lineare Funktionsgleichung $y=mx+n$ her:

    • $2x-y=0$. Durch Addition von $y$ und Vertauschen der Seiten der Gleichung erhält man $y=2x$.
    • $2x-y=1$: Subtraktion von $2x$ führt zu $-y=-2x+1$. Nun kann man mit $-1$ multiplizieren zu $y=2x-1$.
    Also wird von der oberen der beiden Funktionsgleichung $y=2x$ die $1$ subtrahiert. Dies entspricht der Verschiebung um eine Einheit nach unten.

  • Stelle die jeweilige lineare Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$ auf.

    Tipps

    Forme die jeweilige Gleichung $ax+by=c$ nach $y$ um.

    Hier ist die allgemeine Umformung zu sehen. Weil durch $b$ dividiert wird, muss die Voraussetzung $b\neq 0$ gelten.

    Wenn du die Gleichung $2x+y=3$ umformen willst, musst du $2x$ subtrahieren. Du erhältst dann $y=-2x+3$.

    Lösung

    Eine lineare Funktionsgleichung ist gegeben durch

    $y=mx+n$.

    Eine Umformung von $ax+by=c$ ist jedoch nur möglich, wenn $b\neq 0$ ist. Andernfalls liegt die Gerade parallel zur y-Achse. Dies kann aber nicht der Graph einer Funktion sein.

    1. $x+y=0$: Durch Subtraktion von $x$ erhält man $y=-x$.
    2. $x-y=0$: Wenn man zunächst $x$ subtrahiert, also $-y=-x$, und dann mit $-1$ multiplizert, erhält man $y=x$.
    3. $2x-y=0$: Man kann auch direkt $y$ addieren und die Seiten der Gleichung vertauschen zu $y=2x$.
    4. $2x-y=1$: Subtraktion von $2x$ führt zu $-y=-2x+1$. Nun kann man mit $-1$ multiplizieren, sodass sich $y=2x-1$ ergibt.

  • Erkläre, welche besondere Lage die Gerade besitzt.

    Tipps

    Der Koordinatenursprung ist der Punkt $O(0|0)$.

    Um zu prüfen, ob dieser auf einer Geraden liegt, kannst du $x=0$ und $y=0$ in die entsprechende Gleichung einsetzen.

    Betrachte die Achsenabschnitte für $3x+0y=6$.

    Der x-Achsenschnittpunkt ist $x=2$. Ein y-Achsenschnittpunkt existiert nicht. Was bedeutet dies für die Lage der Gerade?

    Wenn der Koordinatenursprung auf einer Geraden liegt und die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft, dann liegt die Gerade auf einer der Koordinatenachsen.

    Lösung

    Ganz allgemein ist durch die Lösungsmenge von $ax+by=c$ für $a\neq0$ oder $b\neq0$ eine Gerade gegeben.

    Nun kann man sich ja fragen, was passiert, wenn $a=0$ ist oder $b=0$. Es dürfen nicht beide gleichzeitig $0$ sein. Natürlich kann man sich auch überlegen, welche Bedeutung $c$ auch im Zusammenhang mit der obigen Frage hat.

    Beginnend mit $c=0$ kann man feststellen, dass der Koordinatenursprung $O(0|0)$ die Gleichung $ax+by=0$ löst, denn

    $a\cdot 0+b\cdot 0=0$ $~~~~~$✓

    Das bedeutet, dass jede Gerade zu der Gleichung $ax+by=0$ durch den Koordinatenursprung verläuft.

    Die Lage einer Gerade zu einer Gleichung mit $a=0$ oder $b=0$ kann man sich anhand der Achsenabschnitte klar machen:

    • $ax+0y=c$. Der x-Achsenabschnitt ist $x=\frac ca$. Ein y-Achsenabschnitt existiert nicht. Das heißt, dass die Gerade keinen gemeinsamen Punkt mit der y-Achse hat. Dies geht nur, wenn die Geraden parallel zueinander sind. Also ist die resultierende Gerade parallel zur y-Achse. Für $c=0$ liegt die Gerade auf der y-Achse.
    • Ebenso kann man argumentieren, dass die Gerade zu $0x+by=c$ parallel zur x-Achse und damit die zu $0x+by=0$ auf der x-Achse liegt.
    Verschiedene Beispiele für diese speziellen Lagen der Geraden sind hier zu sehen.

  • Ermittle die Gerade zu der Gleichung.

    Tipps

    Eine Möglichkeit, die Gerade zu der oben gegebenen Gleichung zu zeichnen, besteht darin, die zugehörige lineare Funktionsgleichung aufzustellen.

    Forme die Gleichung $y=2x+4$ nach $y$ um.

    Du erhältst eine Gleichung der Form $y=mx+n$. Dabei ist $n$ der y-Achsenabschnitt.

    Du kannst auch zwei Punkte bestimmen, die die Gleichung erfüllen:

    Zum Beispiel $P(0|?)$ sowie $Q(?|0)$.

    Durch zwei Punkte ist die Gerade eindeutig gegeben.

    Lösung

    Hier ist die zugehörige Gerade zu sehen.

    Man kann entweder $2x+y=4$ nach $y$ umformen durch Subtraktion von $2x$ zu $y=-2x+4$.

    Der y-Achsenabschnitt ist $4$, welcher in der Skizze zu erkennen ist. Die Steigung ist $-2$. Diese kann man sich mit Hilfe eines Steigungsdreiecks klar machen.

    Alternativ kann man auch die Achsenabschnitte berechnen:

    • y-Achsenabschnitt: Hierfür wird $x=0$ in der Gleichung eingesetzt: $2\cdot 0+y=4$, also $y=4$.
    • x-Achsenabschnitt: Nun wird $y=0$ in der Gleichung eingesetzt: $2x+0=4$. Division durch $2$ führt zu $x=2$.

  • Entscheide, welche der Geraden zu der jeweiligen Gleichung gehört.

    Tipps

    Du könntest jede der Gleichungen so umformen, dass sie die Form $y=mx+n$ hat.

    Dann kannst du über den y-Achsenabschnitt und die Steigung entscheiden.

    Beispiel: Wenn eine Gerade in der Form

    $-x+4y=8$

    gegeben ist, kannst du die Achsenschnittpunkte wie folgt bestimmen:

    • y-Achsenabschnitt: Setze $x=0$ in die obige Gleichung ein: $4y=8$. Division durch $4$ führt zu $y=2$.
    • x-Achsenabschnitt: Setze $y=0$ in die obige Gleichung ein: $-x=8$. Multiplikation mit $-1$ führt zu $x=-8$.
    Die Achsenabschnitte zu einer Gleichung sind eindeutig.

    Wenn $c=0$ gilt, handelt es sich um eine Ursprungsgerade. Das heißt, die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung.

    Lösung

    Wenn eine Geradengleichung vorgegeben ist, kann man einzelne Punkte prüfen.

    Umgekehrt kann man sich die Achsenabschnitte anschauen:

    Die blaue Gerade hat die Achsenabschnitte $y=3$ und $x=2$. Dies führt zu der Gleichung

    $\frac12x+\frac13y=1$.

    Setzen wir dann $x=0$, um $y$ zu bestimmen: $\frac13y=1$. Multiplikation mit $3$ führt zu $y=3$. Ebenso kann der x-Achsenabschnitt nachgewiesen werden.

    Wenn man die obige Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner $6$ multipliziert, erhält man $3x+2y=6$. Die Geradengleichung werden meist so angegeben, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

    Ebenso kann die Gleichung der grünen Geraden ermittelt werden: Der y-Achsenabschnitt ist $y=-2$ und der x-Achsenabschnitt $x=2$. Dies führt zu

    $\frac12x-\frac12y=1$.

    Durch Multiplikation mit $-2$ erhält man

    $-x+y=-2$.

    Da die rote Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft, kann die Gleichung nicht so wie bei den beiden anderen bestimmt werden. Es gilt $y=ax$, wobei $a$ noch unbekannt ist. Da für $x=1$ der zugehörige y-Wert $y=2$ ist, folgt $a=2$ und somit $y=2x$ und durch Subtraktion von $2x$ die Gleichung $-2x+y=0$.

    Übrigens: Jede Gerade zu einer Gleichung der Form $ax+by=0$ verläuft durch den Koordinatenursprung. Dabei muss allerdings $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ sein.