Exponentielles oder Lineares Wachstum 13:07 min

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Transkript Exponentielles oder Lineares Wachstum

Hallo. Ich heiße Lara. Ich schau mir heute mit Dir an, wie man Wachstumsvorgänge modelliert. Dabei geht es um die Unterschiede zwischen Linearen Funktionen und Exponentialfunktionen. Hast Du Dich auch schon einmal gefragt, wie man sich für die eine oder die andere Funktion entscheidet? Woran erkenne ich, welche Funktion für die Modellierung ich auswählen muss? Auf diese Fragen werde ich Dir in diesem Video eine Antwort geben. Dazu wiederhole ich kurz die Funktionsgleichungen und die Funktionsgraphen der Linearen Funktion und der Exponentialfunktion. Dann werde ich die Funktionsgraphen nebeneinander legen, um die Unterschiede deutlicher zu machen. Darauf folgen zwei Beispiele. Eines für die Lineare Funktion und eines für die Exponentialfunktion. Zum Schluss schauen wir uns gemeinsam eine Vorgehensweise zur Wahl der Modellierung an. Diese soll Dir helfen, Dich zu entscheiden, ob Du besser eine Lineare Funktion oder eine Exponentialfunktion zur Lösung Deiner Aufgabe wählst. Am Ende fasse ich zusammen, wie Du die beiden Funktionen modellierst. Wir beginnen mit Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen. Erinnerst Du Dich noch an die Lineare Funktion? Die allgemeine Formel lautet y = mx + b. Erinnerst Du Dich noch, wofür die Buchstaben m und b stehen? m steht für die Steigung und b für den Y-Achsenabschnitt. Hier siehst Du einen Graphen zu einer Linearen Funktion. Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt von dem Graphen mit der Y-Achse, b ist in diesem Fall gleich 1. Die Steigung wird mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt. Wenn wir auf der X-Achse eine Einheit nach rechts gehen, müssen wir zwei Einheiten nach oben gehen, um wieder auf dem Graphen zu landen. Die Steigung ist hier 2. Die Funktionsgleichung zu diesem Graphen lautet y = 2x + 1. Die allgemeine Formel für die Exponentialfunktion sieht so aus: y = c * ax, wobei c der Anfangswert ist und a der Wachstumsfaktor. Dies ist ein Graph zu einer Exponentialfunktion. Der Anfangswert ist der Schnittpunkt von dem Graphen mit der y-Achse, c ist in diesem Fall gleich 1. Der Wachstumsfaktor ist hier 2. Also lautet die Funktionsgleichung y = 1 * 2x. Nun kommen wir zum Vergleich der Funktionsgraphen. Hier siehst Du noch einmal beide Graphen nebeneinander. Der Graph der Linearen Funktion steigt gleichmäßig immer um denselben Wert. Der Graph der Exponentialfunktion verläuft bogenförmig und steigt nicht gleichmäßig, sondern immer weiter an. Als Beispiel schauen wir uns die Kosten für einen Handyvertrag an. Die Grundgebühr beträgt fünf Euro. Für jede Minute, die telefoniert wird, muss der Verbraucher 40 Cent bezahlen. Stelle eine Funktionsgleichung auf. Das heißt, für eine Minute müsste der Verbraucher 5€ + 1 * 0,40€ = 5,40€ zahlen. Für zwei Minuten müsste er 5€ + 2 * 0,40€ = 5,80€ zahlen. Für zehn Minuten müsste er 5€ + 10 * 0,40€ = 9,00€ zahlen. Man sieht schon, die fünf Euro und die 40 Cent bleiben immer gleich. 5 ist der Y-Achsenabschnitt und 0,40 ist die Steigung. Das heißt, die Funktion lautet y = 0,4x + 5. Die Vermehrung mancher Lebewesen verläuft anfangs exponentiell. Wir betrachten Stabheuschrecken. Schüler haben in einem Versuch Stabheuschrecken gezüchtet und Folgendes notiert. Sie haben mit acht Tieren am Tag null angefangen. Nach 90 Tagen waren es bereits 49 Tiere. Nach 100, 58, nach 105, 65 und nach 150 Tagen zählten sie bereits 160 Tiere. Um vorherzusagen, wie viele Tiere es nach 200 Tagen sein werden, versuchen wir, aus den Daten eine Formel für das exponentielle Wachstum herzuleiten. Gewollt ist eine Formel der Art y = c * ax. Das ist die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum. Wähle zwei Datenpaare. Ich habe mich für 0 und 8 (0, 8) und 150 und 160 (150, 160) entschieden. Der vordere Wert ist der x- und der hintere der y-Wert. Setze diese beiden Paare in die allgemeine Formel y = c * ax ein. Dann erhältst Du folgende zwei Gleichungen: I) 8 = c * a0 und II) 160 = c * a150. Da jede Zahl hoch 0 1 ergibt, gilt auch a0 = 1. Das heißt, c * 1 = 8 und damit ist c = 8. Setzt man 8 in die zweite Gleichung ein, erhält man 160 = 8 * a150, teilt dieses durch 8, dann steht da: 20 = a150 und die 150. Wurzel aus 20 ist ungefähr 1,02. Das heißt, der Wachstumsfaktor ist in diesem Fall 1,02. Das heißt, dass unsere Funktionsgleichung wie folgend aussieht: Y = 8 * 1,02x. 8 ist der Anfangswert c und 1,02 der Wachstumsfaktor a. Setzt man nun die 200 Tage in die gefundene Funktionsgleichung ein, erhält man 420 Stabheuschrecken. Man sollte hier beachten, dass das exponentielle Wachstum nur in einem bestimmten Zeitraum realistisch ist, da es ja genug Räuber gibt, die Heuschrecken fressen. Keine schöne Vorstellung. Nun möchte ich Dir zeigen, wieso man die Vermehrung der Stabheuschrecken nicht mit einer Linearen Funktion beschreiben könnte. Ich gehe dazu genauso wie eben vor. Ich setzte die beiden gewählten Datenpaare in die allgemeine Formel ein. Gewollt ist die Formel, die wie y = mx + b aussieht. Durch Einsetzen erhalte ich die folgenden zwei Gleichungen: I) 8 = m * 0 + b, II) 160 = m * 150 + b. Da m * 0 = 0 und 0 + b = b ist b = 8. Setzt man b in die zweite Gleichung ein, erhält man 160 = m * 150 + 8. Durch Umstellen ergibt sich 152 = m * 150. Durch 150, das ist 1,013 Periode und das ist gleich m. Die Lineare Funktion heißt also y = 1,013 Periode * x + 8. Überprüfe Deine Lineare Funktion, indem Du die gegebenen x-Werte 0, 90, 100, 105 und 150 in die Gleichung einsetzt. Für x = 0 ergibt sich 8. Für x = 90 ungefähr 99, für x = 100 rund 109, für x = 105 ungefähr 114 und für x = 150 genau 160. Diese gerechneten Werte übertragen wir in eine Tabelle. Diese vergleichst Du mit der vorigen Tabelle. Laut Deiner Funktionsgleichung sind nach 90 Tagen 99 Stabheuschrecken gezählt worden. In Wirklichkeit sind es jedoch nur 49. Auch die beiden anderen Werte, die wir nicht zum Ausrechnen genutzt haben, weichen stark von der Vorgabe ab. Das heißt, dass sich die Lineare Funktion nicht zur Modellierung dieser Aufgabe eignet. Ich habe Dir am Anfang versprochen, dass ich Dir eine Vorgehensweise zur Wahl der Modellierung zeige. Diese habe ich bereits bei der Stabheuschreckenaufgabe benutzt. Ausgangspunkt ist immer eine Wertetabelle mit Daten, die einen bestimmten Prozess oder ein Phänomen beschreiben. Erst habe ich zwei Datenpaare gewählt. Ich habe mich für 0 und 8 und 150 und 160 entschieden. Diese habe ich in die beiden allgemeinen Formeln der Linearen Funktion und der Exponentialfunktion eingesetzt. Es ergaben sich folgende Gleichungen: I) 8 = m * 0 + b II) 160 = m * 150 + b und I) 8 = c * a0 und II) 160 = c * a150. Durch Umformen und Lösen habe ich m und b beziehungsweise c und a berechnet. In unserem Beispiel war m = 1,013 Periode und b = 8, c war ebenfalls 8 und a = 1,02. Die Parameter m und b habe ich dann wieder in die allgemeine Lineare Funktion eingesetzt. Und ebenso habe ich c und a in die allgemeine Exponentialfunktion eingesetzt. So ergaben sich als Lineare Funktion y = 1,013 Periode * x + 8 und als Exponentialfunktion y = 8 * 1,02x. In diese beiden Funktionen setze ich die gegebenen x-Werte ein. In unserem Beispiel war x die Anzahl der Tage. Dann werden zwei Tabellen erstellt. Eine für die Lineare Funktion und die andere für die Exponentialfunktion. Vergleiche die beiden Tabellen mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Tabelle. Die Werte, die näher an der Ausgangstabelle dran sind, ergeben die bessere Modellierung. In unserem Fall ist das ganz klar die Exponentialfunktion. Ich hoffe, dass Dir der Unterschied zwischen den beiden Wachstumsmodellen klarer geworden ist und Du mit der vorgeschlagenen Methode besser entscheiden kannst, welches Wachstumsmodell besser zu Deiner Aufgabe passt. Ich wünsche Dir viel Spaß beim Üben. Bis bald mal wieder.

1 Kommentar
  1. Default

    Gutes video

    Von Abdosarah, vor etwa einem Jahr

Exponentielles oder Lineares Wachstum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentielles oder Lineares Wachstum kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die Parameter der linearen und exponentiellen Funktionsgleichung.

    Tipps

    „Steigung” und „y-Achsenabschnitt“ sind Bezeichnungen aus einer linearen Funktionsgleichung.

    Eine Exponentialgleichung lässt sich folgendermaßen mit Worten beschreiben: Das Produkt aus dem Anfangswert und dem mit einer Zeitspanne potenzierten Wachstumsfaktor ergibt den Funktionswert nach dieser Zeitspanne.

    Lösung

    Für die exponentielle Funktionsgleichung der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ gilt:

    Der Parameter a ist der Wachstumsfaktor. Dieser Faktor bestimmt das Ausmaß des Wachstums und legt fest, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder Zunahme handelt. Der Parameter c bezeichnet den Anfangswert eines Wachstums zum Zeitpunkt $x=0$. Das ist also immer der Wert, der zum Beobachtungs- bzw. Versuchsbeginn vorhanden ist.

    Für die lineare Funktionsgleichung der Form $f(x)=m \cdot x+b$ gilt:

    Der Parameter m, auch als „Steigung” oder „Anstieg” bezeichnet, gibt das Ausmaß des Wachstums an. Dies erfolgt bei linearem Wachstum allerdings in immer gleichen Stufen und nimmt nicht ständig wie bei einer exponentiellen Funktion zu. Der Parameter b markiert den y-Achsenabschnitt eines linearen Wachstums.

    Für beide Funktionsgleichungen gilt:

    Das Argument x verwendest du bei allen Wachstumsprozessen in der Regel für die Zeitspanne. Der Funktionswert $f(x)$, oft einfach nur mit y bezeichnet, ist Ergebnis des Wachstums nach einer bestimmten Zeitspanne x. Der Funktionswert wird also nur von der Zeit bestimmt, da alle anderen Parameter feststehende Größen sind.

    Hinweis: Die Parameter c und b sind sich also sehr ähnlich, denn beide stehen unabhängig von der Art des Wachstums für den Wert zum Zeitpunkt $x=0$. Beides sind also Anfangswerte und zugleich die y-Achsenabschnitte des Funktionsgraphen. Bei linearen Funktionen findet allerdings bei der Bezeichnung eher der Buchstabe „b” Verwendung, während man bei Exponentialfunktionen meist „c” verwendet.

  • Gib wieder, in welcher Reihenfolge bei der Modellierung linearer bzw. exponentieller Funktionen vorzugehen ist.

    Tipps

    In einem ersten Schritt musst du aus den gegebenen Daten die Funktionsgleichungen für das vermeintlich lineare bzw. exponentielle Wachstum ermitteln.

    Im zweiten Schritt muss du in Modellrechnungen ein lineares und exponentielles Wachstum „simulieren” und die errechneten Datenreihen den Ausgangswerten gegenüberstellen.

    Lösung

    Um zu entscheiden, ob exponentielles oder lineares Wachstum vorliegt, gehst du am besten folgendermaßen vor:

    1. Datenpaare wählen

    Um die Parameter m und b bzw. c und a ermitteln zu können, musst du als erstes zwei beliebige Datenpaare $(x|f(x))$ bzw. $(x|y)$ auswählen. Es ist rechnerisch von Vorteil, wenn du für eines der Datenpaare den Ausgangswert $x=0$ einbeziehst.

    2. Einsetzen der Datenpaare in die lineare und exponentielle Grundgleichung

    Nun setzt du die Datenpaare als x und y in die jeweiligen Grundformen der Gleichung ein: Für die lineare Gleichung verwendest du $f(x)=m \cdot x+b$ und für exponentielle Gleichung $f(x)=c \cdot a^{x}$. Du erhältst also für jede Gleichungsform zwei Gleichungen, also ein Gleichungssystem.

    3. Umformen und Lösen der Gleichungen

    Die Gleichungssysteme sind nun durch geeignete äquivalente Umformungsschritte zu lösen, so dass die gesuchten Parametern bestimmt werden können.

    4. Einsetzen der ermittelten Parameter in die Grundform der jeweiligen Funktionsgleichung

    Nach dem Einsetzen der ermittelten Parameter sind eine lineare und exponentielle Funktionsgleichung entstanden, deren Richtigkeit für die Modellierung des Wachstumsvorgangs nun geprüft werden muss.

    5. Ausgangswerte (x-Werte) in beide Funktionsgleichungen einsetzen

    Dazu bedient man sich am besten der x-Werte aus dem gegebenen Sachverhalt und errechnet durch das Einsetzen dieser x-Werte in die Funktionsgleichungen die zugehörigen y-Werte.

    6. Tabellen für lineares und exponentielles Wachstum erstellen

    Die errechneten Werte können sodann der besseren Übersicht halber geordnet in einer Wertetabelle erfasst werden.

    7. Vergleich der erstellten Tabellen mit den Ausgangswerten

    Letztlich wird klar, welche Funktionsgleichung besser zur Modellierung des Sachverhalts geeignet ist: Die Funktionsgleichung, deren Werte „dichter” an den Ausgangswerten liegen, ist die richtige.

  • Gib die lineare Funktionsgleichung für den angegebenen Sachverhalt und die Telefonkosten nach zehn Minuten Gesprächszeit an.

    Tipps

    Du musst zunächst eine lineare Funktionsgleichung der Form $y=m \cdot x+b$ ermitteln. Dabei stehen die Parameter m und b für die Steigung bzw. den Anfangswert des linearen Wachstums.

    Um die Kosten zu ermitteln, musst du die Gesprächszeit in Minuten für x in die lineare Funktiosgleichung einsetzen: Der nun zu berechnende y-Wert entspricht den monatlichen Telefonkosten.

    Lösung

    Lineare Wachstumsprozesse lassen sich allgemein mit der Funktionsgleichung $y=m \cdot x+b$ beschreiben. Die Parameter m und b lassen sich meist direkt aus dem Sachverhalt entnehmen.

    Der Parameter b repräsentiert immer den Anfangswert eines lineares Wachstums für den Zeitpunkt $x=0$: Wenn also überhaupt nicht telefoniert würde, müsste dennoch die Grundgebühr in Höhe von 5 Euro entrichtet werden. Somit ergbit sich $b=5$.

    Der Parameter m steht für die Steigung: Das ist das Wachstum pro Zeiteinheit. In unserem Beispiel sind das die Kosten, die pro Minute berechnet werden. Somit ergibt sich $m=0,4$.

    Achtung: Alle Einheiten in einer Funktionsgleichung müssen einander entsprechen, weshalb der Parameter m auch in „Euro” eingesetzt wird.

    Die Funktionsgleichung lautet also korrekt: $y=0,4 \cdot x+5$

    Der um die Zeit in Minuten vervielfachte Preis pro Minute wird letztlich also noch um die Grundgebühr vermehrt.

    Um nun noch die Gebühren für zehn Minuten Gesprächszeit zu bestimmen, musst du einfach $x=10$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

    $y=0,4 \cdot 10+5=9$

    Bei zehn Minuten Gesprächszeit ergeben sich also monatliche Kosten in Höhe von neun Euro.

  • Arbeite mit Hilfe der Modellierung heraus, welche Funktionsgleichung den gegebenen Daten am ehesten entspricht.

    Tipps

    Bei einer Modellierung wird der Versuch unternommen, Sachverhalte aus der Realität mathematisch zu beschreiben. Eine Funktionsgleichung kann allerdings nie alle „Unwägbarkeiten” realer Prozesse erfassen, so dass reale und errechnete Daten fast zwangsläufig in gewissem Rahmen voneinander abweichen. Dennoch kannst du anhand der rechnerischen Daten die Art des Wachstums und die den Sachverhalt annäherend beschreibende Funktionsgleichung ermitteln.

    Du kannst die Funktionsgleichungen benutzen, um aus den gegebenen x-Werten y-Werte zu berechnen. Es ist günstig, wenn du für jede Funktionsgleichung eine neue Wertetabelle erstellst, die du dann den gegebenen vergleichend gegenüberstellen kannst.

    Lösung

    Wir wollen den gegebenen Funktionsgleichungen die passenden Datenpaaren, die geordnet in Wertetabellen erfasst sind, zuordnen. Deshalb ist es günstig, mit Hilfe der gegebenen x-Werte y-Werte zu berechnen, die du dann in eigenen Wertetabellen darstellst.

    So berechnest du zum Beispiel die y-Werte für die Funktion $f(x)=8 \cdot 1,2^{x}$:

    $\begin{align} f(0) &= 8 \cdot 1,2^{0}=8 \\ f(10) &= 8 \cdot 1,2^{10}\approx 50 \\ f(20) &= 8 \cdot 1,2^{20}\approx 307 \\ f(30) &= 8 \cdot 1,2^{30}\approx 1899 \end{align}$

    Wenn du dies mit jeder Funktionsgleichung tust, erhältst du vier Tabellen (siehe Abbildung), die du mit den gegebenen Tabellen vergleichen kannst.

    Auch wenn die Funktionswerte nicht exakt übereinstimmen, kannst du nun gut erkennen, welche Funktionsgleichung zu welcher Wertetabelle passt: Diese Funktionsgleichung beschreibt den Wachstumsprozess am besten.

  • Leite die zu dem jeweiligen Graphen zugehörige Funktionsgleichung ab.

    Tipps

    Bei einer linearen Funktion der Form $f(x)=m \cdot x +b$ ist der Graph eine Gerade.

    Exponentielle Funktionen der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ verlaufen im Koordinatensystem immer als eine bogenförmige Kurve. Der Anfangswert c ist zugleich der y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Zuerst musst du zwischen linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum unterscheiden können: Lineare Funktionen verlaufen im Koordinatensystem immer als Gerade, während exponentielle Funktionen immer eine gebogene Kurve als Graphen haben.

    Bei einer linearen Funktion der Form $f(x)=m \cdot x +b$ handelt es sich beim b-Wert um den y-Achsenabschnitt. Dasselbe gilt übrigens auch für den c-Wert der exponentiellen Funktion: Du brauchst also jeweils nur an der y-Achse ablesen und mit den Werten in der Funktionsgleichung vergleichen.

    Der m-Wert der linearen Funktion steht für die Steigung der Gerade. Die Steigung kannst du an jedem beliebigen Punkt ablesen, indem du dich zum Beispiel von einem Punkt auf dem Graphen um eine Einheit nach rechts bewegst und dann schaust, wieviel Einheiten du nach oben oder unten musst, um wieder auf dem Graphen zu „landen”: Wenn du nach oben musst, also wenn der Graph steigt, ist die Steigung m positiv. wenn du nach unten musst, also der Graph fällt, ist die Steigung m negativ.

    Im Falle einer exponentiellen Funktion der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ ist das etwas schwieriger, denn der Wachstumsfaktor kann nicht ganz so einfach abgelesen werden. Hier ist es besser, einen x-Wert zu wählen und dazu den passenden y-Wert abzulesen, so dass ein Wertepaar $(x|y)$ entsteht, das auf dem Graphen der Funktion liegt. Dieser Punkt kann dann zur Probe für x und y in die gegebene Funkionsgleichung eingesetzt werden. Ergibt sich bei der entstandenen Gleichung eine wahre Aussage, so handelt es sich um die zugehörige Gleichung.

    Hier eine Beispiel für die Funktion $f(x)=2 \cdot 1,5^{x}$ und den gut aus der graphischen Darstellung ablesbaren Punkt $(1|3)$:

    $f(1)=2 \cdot 1,5^{1}=3~$, was eine wahre Aussage ist.

    Der Punkt $(1|3)$ liegt also tatsächlich auf dem Graphen der Funktion $f(x)=2 \cdot 1,5^{x}$. Bei dieser Aufgabe war diese sogenannte „Punktprobe” eigentlich nicht nötig, da man alle gegebenen Exponentialfunktionen bereits anhand der Anfangswerte c unterscheiden konnte.

  • Bestimme die Anzahl der Elefanten nach 15 Jahren.

    Tipps

    Die benötigte Funktionsgleichung hat die Form $f(x)=c \cdot a^{x}$.

    Du musst dir zwei Datenpaare wählen und daraus ein Gleichungssystem erstellen, womit du dann die Parameter bestimmen kannst.

    Aber Achtung: Du kannst für x nur Zeitspannen und niemals Jahreszahlen einsetzen.

    Wenn du die Funktionsgleichung hast, kannst du die gegebene Zeitspanne für das gesuchte Jahr für x einsetzen und so den passenden Funktionswert bestimmen.

    Die Datenpaare lauten $(0|4)$ und $(10|16)$.

    Lösung

    Um die Parameter $c$ und $a$ der benötigten exponentiellen Funktionsgleichung der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ zu bestimmen, werden die Datenpaare $(0|4)$ und $(10|16)$ ausgewählt. Hierbei muss berücksichtigt werden, dass nur Zeitspannen für den x-Wert in Frage kommen.

    Es entsteht ein Gleichungssystem mit den Gleichungen (1) $4=c \cdot a^{0}$ und (2) $16=c \cdot a^{10}$, das nach den Parametern $c$ und $a$ aufgelöst werden muss. Die erste Gleichung ist dabei einfach zu lösen, denn $a^{0}=1$. Also ergibt sich als Anfangswert $c=4$.

    Nun kannst du $c$ in Gleichung (2) einsetzen und löst diese Gleichung entsprechend der Abbildung nach dem Parameter $a$ auf.

    Wenn du die Parameter $c$ und $a$ zurück in die Funktionsgleichung setzt, erhältst du $f(x)=4 \cdot 1,15^{x}$.

    Nun brauchst du nur noch die gesuchte Zeitspanne für x einsetzen und du kannst die Population im Jahr $2015$ bestimmen:

    $f(15)=4 \cdot 1,15^{15} \approx 33$

    Im Jahr $2015$ sind also ca. $33$ Tiere vorhanden.