Exponentielles oder lineares Wachstum

Exponentielles oder lineares Wachstum Übung

• Gib wieder, in welcher Reihenfolge bei der Modellierung linearer bzw. exponentieller Funktionen vorzugehen ist.

  Tipps

  In einem ersten Schritt musst du aus den gegebenen Daten die Funktionsgleichungen für das vermeintlich lineare bzw. exponentielle Wachstum ermitteln.

  Im zweiten Schritt muss du in Modellrechnungen ein lineares und exponentielles Wachstum „simulieren” und die errechneten Datenreihen den Ausgangswerten gegenüberstellen.

  Lösung

  Um zu entscheiden, ob exponentielles oder lineares Wachstum vorliegt, gehst du am besten folgendermaßen vor:

  1. Datenpaare wählen

  Um die Parameter m und b bzw. c und a ermitteln zu können, musst du als erstes zwei beliebige Datenpaare $(x|f(x))$ bzw. $(x|y)$ auswählen. Es ist rechnerisch von Vorteil, wenn du für eines der Datenpaare den Ausgangswert $x=0$ einbeziehst.

  2. Einsetzen der Datenpaare in die lineare und exponentielle Grundgleichung

  Nun setzt du die Datenpaare als x und y in die jeweiligen Grundformen der Gleichung ein: Für die lineare Gleichung verwendest du $f(x)=m \cdot x+b$ und für die exponentielle Gleichung $f(x)=c \cdot a^{x}$. Du erhältst also für jede Gleichungsform zwei Gleichungen, also ein Gleichungssystem.

  3. Umformen und Lösen der Gleichungen

  Die Gleichungssysteme sind nun durch geeignete äquivalente Umformungsschritte zu lösen, sodass die gesuchten Parameter bestimmt werden können.

  4. Einsetzen der ermittelten Parameter in die Grundform der jeweiligen Funktionsgleichung

  Nach dem Einsetzen der ermittelten Parameter sind eine lineare und exponentielle Funktionsgleichung entstanden, deren Richtigkeit für die Modellierung des Wachstumsvorgangs nun geprüft werden muss.

  5. Ausgangswerte (x-Werte) in beide Funktionsgleichungen einsetzen

  Dazu bedient man sich am besten der x-Werte aus dem gegebenen Sachverhalt und errechnet durch das Einsetzen dieser x-Werte in die Funktionsgleichungen die zugehörigen y-Werte.

  6. Tabellen für lineares und exponentielles Wachstum erstellen

  Die errechneten Werte können sodann der besseren Übersicht halber geordnet in einer Wertetabelle erfasst werden.

  7. Vergleich der erstellten Tabellen mit den Ausgangswerten

  Letztlich wird klar, welche Funktionsgleichung besser zur Modellierung des Sachverhalts geeignet ist: Die Funktionsgleichung, deren Werte „dichter” an den Ausgangswerten liegen, ist die richtige.

• Gib die lineare Funktionsgleichung für den angegebenen Sachverhalt und die Telefonkosten nach zehn Minuten Gesprächszeit an.

  Tipps

  Du musst zunächst eine lineare Funktionsgleichung der Form $y=m \cdot x+b$ ermitteln. Dabei stehen die Parameter m und b für die Steigung bzw. den Anfangswert des linearen Wachstums.

  Um die Kosten zu ermitteln, musst du die Gesprächszeit in Minuten für x in die lineare Funktiosgleichung einsetzen: Der nun zu berechnende y-Wert entspricht den monatlichen Telefonkosten.

  Lösung

  Lineare Wachstumsprozesse lassen sich allgemein mit der Funktionsgleichung $y=m \cdot x+b$ beschreiben. Die Parameter m und b lassen sich meist direkt aus dem Sachverhalt entnehmen.

  Der Parameter b repräsentiert immer den Anfangswert eines lineares Wachstums für den Zeitpunkt $x=0$: Wenn also überhaupt nicht telefoniert würde, müsste dennoch die Grundgebühr in Höhe von 5 Euro entrichtet werden. Somit ergbit sich $b=5$.

  Der Parameter m steht für die Steigung: Das ist das Wachstum pro Zeiteinheit. In unserem Beispiel sind das die Kosten, die pro Minute berechnet werden. Somit ergibt sich $m=0,4$.

  Achtung: Alle Einheiten in einer Funktionsgleichung müssen einander entsprechen, weshalb der Parameter m auch in „Euro” eingesetzt wird.

  Die Funktionsgleichung lautet also korrekt: $y=0,4 \cdot x+5$

  Der um die Zeit in Minuten vervielfachte Preis pro Minute wird letztlich also noch um die Grundgebühr vermehrt.

  Um nun noch die Gebühren für zehn Minuten Gesprächszeit zu bestimmen, musst du einfach $x=10$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

  $y=0,4 \cdot 10+5=9$

  Bei zehn Minuten Gesprächszeit ergeben sich also monatliche Kosten in Höhe von neun Euro.

• Leite die zu dem jeweiligen Graphen zugehörige Funktionsgleichung ab.

  Tipps

  Bei einer linearen Funktion der Form $f(x)=m \cdot x +b$ ist der Graph eine Gerade.

  Exponentielle Funktionen der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ verlaufen im Koordinatensystem immer als eine bogenförmige Kurve. Der Anfangswert c ist zugleich der y-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Zuerst musst du zwischen linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum unterscheiden können: Lineare Funktionen verlaufen im Koordinatensystem immer als Gerade, während exponentielle Funktionen immer eine gebogene Kurve als Graphen haben.

  Bei einer linearen Funktion der Form $f(x)=m \cdot x +b$ handelt es sich beim b-Wert um den y-Achsenabschnitt. Dasselbe gilt übrigens auch für den c-Wert der exponentiellen Funktion: Du brauchst also jeweils nur an der y-Achse ablesen und mit den Werten in der Funktionsgleichung vergleichen.

  Der m-Wert der linearen Funktion steht für die Steigung der Gerade. Die Steigung kannst du an jedem beliebigen Punkt ablesen, indem du dich zum Beispiel von einem Punkt auf dem Graphen um eine Einheit nach rechts bewegst und dann schaust, wie viele Einheiten du nach oben oder unten musst, um wieder auf dem Graphen zu „landen”: Wenn du nach oben musst, also wenn der Graph steigt, ist die Steigung m positiv. Wenn du nach unten musst, also der Graph fällt, ist die Steigung m negativ.

  Im Falle einer exponentiellen Funktion der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ ist das etwas schwieriger, denn der Wachstumsfaktor kann nicht ganz so einfach abgelesen werden. Hier ist es besser, einen x-Wert zu wählen und dazu den passenden y-Wert abzulesen, sodass ein Wertepaar $(x|y)$ entsteht, das auf dem Graphen der Funktion liegt. Dieser Punkt kann dann zur Probe für x und y in die gegebene Funkionsgleichung eingesetzt werden. Ergibt sich bei der entstandenen Gleichung eine wahre Aussage, so handelt es sich um die zugehörige Gleichung.

  Hier eine Beispiel für die Funktion $f(x)=2 \cdot 1,5^{x}$ und den gut aus der graphischen Darstellung ablesbaren Punkt $(1|3)$:

  $f(1)=2 \cdot 1,5^{1}=3~$, was eine wahre Aussage ist.

  Der Punkt $(1|3)$ liegt also tatsächlich auf dem Graphen der Funktion $f(x)=2 \cdot 1,5^{x}$. Bei dieser Aufgabe war diese sogenannte „Punktprobe” eigentlich nicht nötig, da man alle gegebenen Exponentialfunktionen bereits anhand der Anfangswerte c unterscheiden konnte.

• Bestimme die Anzahl der Elefanten nach 15 Jahren.

  Tipps

  Die benötigte Funktionsgleichung hat die Form $f(x)=c \cdot a^{x}$.

  Du musst zwei Datenpaare wählen und daraus ein Gleichungssystem erstellen, womit du dann die Parameter bestimmen kannst.

  Aber Achtung: Du kannst für x nur Zeitspannen und niemals Jahreszahlen einsetzen.

  Wenn du die Funktionsgleichung hast, kannst du die gegebene Zeitspanne für das gesuchte Jahr für x einsetzen und so den passenden Funktionswert bestimmen.

  Die Datenpaare lauten $(0|4)$ und $(10|16)$.

  Lösung

  Um die Parameter $c$ und $a$ der benötigten exponentiellen Funktionsgleichung der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ zu bestimmen, werden die Datenpaare $(0|4)$ und $(10|16)$ ausgewählt. Hierbei muss berücksichtigt werden, dass nur Zeitspannen für den x-Wert in Frage kommen.

  Es entsteht ein Gleichungssystem mit den Gleichungen (1) $4=c \cdot a^{0}$ und (2) $16=c \cdot a^{10}$, das nach den Parametern $c$ und $a$ aufgelöst werden muss. Die erste Gleichung ist dabei einfach zu lösen, denn $a^{0}=1$. Also ergibt sich als Anfangswert $c=4$.

  Nun kannst du $c$ in Gleichung (2) einsetzen und löst diese Gleichung entsprechend der Abbildung nach dem Parameter $a$ auf.

  Wenn du die Parameter $c$ und $a$ zurück in die Funktionsgleichung setzt, erhältst du $f(x)=4 \cdot 1,15^{x}$.

  Nun brauchst du nur noch die gesuchte Zeitspanne für x einsetzen und du kannst die Population im Jahr $2024$ bestimmen:

  $f(15)=4 \cdot 1,15^{15} \approx 33$

  Im Jahr $2024$ sind also ca. $33$ Tiere vorhanden.

• Beschrifte die Parameter der linearen und exponentiellen Funktionsgleichung.

  Tipps

  „Steigung” und „y-Achsenabschnitt“ sind Bezeichnungen aus einer linearen Funktionsgleichung.

  Eine Exponentialgleichung lässt sich folgendermaßen mit Worten beschreiben: Das Produkt aus dem Anfangswert und dem mit einer Zeitspanne potenzierten Wachstumsfaktor ergibt den Funktionswert nach dieser Zeitspanne.

  Lösung

  Für die exponentielle Funktionsgleichung der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ gilt:

  Der Parameter a ist der Wachstumsfaktor. Dieser Faktor bestimmt das Ausmaß des Wachstums und legt fest, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder Zunahme handelt. Der Parameter c bezeichnet den Anfangswert eines Wachstums zum Zeitpunkt $x=0$. Das ist also immer der Wert, der zum Beobachtungs- bzw. Versuchsbeginn vorhanden ist.

  Für die lineare Funktionsgleichung der Form $f(x)=m \cdot x+b$ gilt:

  Der Parameter m, auch als „Steigung” oder „Anstieg” bezeichnet, gibt das Ausmaß des Wachstums an. Dies erfolgt bei linearem Wachstum allerdings in immer gleichen Stufen und nimmt nicht ständig wie bei einer exponentiellen Funktion zu. Der Parameter b markiert den y-Achsenabschnitt eines linearen Wachstums.

  Für beide Funktionsgleichungen gilt:

  Das Argument x verwendest du bei allen Wachstumsprozessen in der Regel für die Zeitspanne. Der Funktionswert $f(x)$, oft einfach nur mit y bezeichnet, ist Ergebnis des Wachstums nach einer bestimmten Zeitspanne x. Der Funktionswert wird also nur von der Zeit bestimmt, da alle anderen Parameter feststehende Größen sind.

  Hinweis: Die Parameter c und b sind sich also sehr ähnlich, denn beide stehen unabhängig von der Art des Wachstums für den Wert zum Zeitpunkt $x=0$. Beides sind also Anfangswerte und zugleich die y-Achsenabschnitte des Funktionsgraphen. Bei linearen Funktionen findet allerdings bei der Bezeichnung eher der Buchstabe „b” Verwendung, während man bei Exponentialfunktionen meist „c” verwendet.

• Arbeite mit Hilfe der Modellierung heraus, welche Funktionsgleichung den gegebenen Daten am ehesten entspricht.

  Tipps

  Bei einer Modellierung wird der Versuch unternommen, Sachverhalte aus der Realität mathematisch zu beschreiben. Eine Funktionsgleichung kann allerdings nie alle „Unwägbarkeiten” realer Prozesse erfassen, sodass reale und errechnete Daten fast zwangsläufig in gewissem Rahmen voneinander abweichen. Dennoch kannst du anhand der rechnerischen Daten die Art des Wachstums und die den Sachverhalt annähernd beschreibende Funktionsgleichung ermitteln.

  Du kannst die Funktionsgleichungen benutzen, um aus den gegebenen x-Werten y-Werte zu berechnen. Es ist günstig, wenn du für jede Funktionsgleichung eine neue Wertetabelle erstellst, die du dann den gegebenen vergleichend gegenüberstellen kannst.

  Lösung

  Wir wollen den gegebenen Funktionsgleichungen die passenden Datenpaare, die geordnet in Wertetabellen erfasst sind, zuordnen. Deshalb ist es günstig, mit Hilfe der gegebenen x-Werte y-Werte zu berechnen, die du dann in eigenen Wertetabellen darstellst.

  So berechnest du zum Beispiel die y-Werte für die Funktion $f(x)=8 \cdot 1,2^{x}$:

  $\begin{align} f(0) &= 8 \cdot 1,2^{0}=8 \\ f(10) &= 8 \cdot 1,2^{10}\approx 50 \\ f(20) &= 8 \cdot 1,2^{20}\approx 307 \\ f(30) &= 8 \cdot 1,2^{30}\approx 1899 \end{align}$

  Wenn du dies mit jeder Funktionsgleichung tust, erhältst du vier Tabellen (siehe Abbildung), die du mit den gegebenen Tabellen vergleichen kannst.

  Auch wenn die Funktionswerte nicht exakt übereinstimmen, kannst du nun gut erkennen, welche Funktionsgleichung zu welcher Wertetabelle passt: Diese Funktionsgleichung beschreibt den Wachstumsprozess am besten.