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Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion 09:07 min

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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion

Hallo zusammen. Hier ist Anne. Und heute geht es erneut um das Thema Kurvendiskussion. Dieses Mal werden wir eine Exponentialfunktion untersuchen. Wir nehmen zum Beispiel die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x² * e-x. Wir werden den Definitionsbereich, die Symmetrieeigenschaft, das Verhalten der Funktion für x gegen + und - unendlich, die Nullstellen, den Schnittpunkt mit der y-Achse, die Extrempunkte, den Wertebereich und die Wendepunkte bestimmen, um letztendlich den Graphen der Funktion zeichnen zu können. Wir beginnen mit dem Definitionsbereich. Wir können für alle reellen Zahlen den zugehörigen Funktionswert berechnen. Daher umfasst der Definitionsbereich der Funktion f die Menge der reellen Zahlen. Nun geht es mit der Symmetrie weiter. Wir testen die Funktion f auf Achsensymmetrie und Punktsymmetrie. Wir berechnen zuerst f(-x). Wir erhalten x² * ex. Der Wert ist ungleich f(x). Die Funktion ist also nicht achsensymmetrisch. f(-x) ist außerdem ungleich -f(x). Die Funktion ist demnach auch nicht punktsymmetrisch. Nun untersuchen wir, wie sich die Funktion f für größer und kleiner werdende Werte verhält. Dazu betrachten wir zunächst den Funktionsverlauf von x² und von e-x. Wir beginnen mit dem Verhalten von f für x gegen unendlich. x² konvergiert gegen unendlich und e-x gegen 0. Der Grenzwert der Funktion f ist 0, da das Produkt der beiden Grenzwerte der Funktion x² und e-x 0 ist. Nun zum Verhalten von f für x gegen - unendlich. x² konvergiert gegen unendlich und e-x auch. Also konvergiert f gegen unendlich. Wir berechnen als nächstes die Nullstellen der Funktion. Dazu setzen wir f(x) = 0 und erhalten x² * e-x = 0. Wir dividieren durch e-x und erhalten somit x² = 0. Wir haben also nur eine Nullstelle, welche bei x = 0 liegt. Es folgt die Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse. Wir setzen dazu 0 in die Funktionsgleichung ein und erhalten so den Funktionswert 0. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat also die Koordinaten (0; 0). Für das Ermitteln der Extrem- und Wendepunkte benötigen wir die erste, zweite und dritte Ableitung. Mithilfe der Ableitungsregeln kannst du diese bestimmen. Halte am besten kurz das Video an, um die drei Ableitungen deiner eigenen Rechnung zu bestätigen. Nun starten wir mit der Berechnung der Extrempunkte. Dazu nutzen wir das notwendige Kriterium, das besagt, dass die erste Ableitung gleich 0 gesetzt werden muss. Wir dividieren durch e-x und erhalten -x² + 2x = 0. Wir klammern x aus und erhalten x * (-x + 2) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Für x = 0 und x = 2 werden die Faktoren jeweils 0. Also liegen die Nullstellen bei 0 bzw. 2. Um zu entscheiden, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, benötigen wir das hinreichende Kriterium. Die erste Ableitung muss 0 sein und außerdem muss die zweite Ableitung an der Stelle des potenziellen Extrempunktes ungleich 0 sein. Hier setzen wir 0 in die zweite Ableitung ein und erhalten den Funktionswert 2. Da dieser > 0 ist, liegt ein Tiefpunkt vor. Jetzt setzen wir unseren zweiten Kandidaten, nämlich x = 2 in die zweite Ableitung ein und erhalten den Funktionswert (-2) * e-2. Dieser ist < 0. Deshalb liegt ein Hochpunkt vor. Um die Koordinaten der beiden gefundenen Extrempunkte zu ermitteln, setzen wir 0 und 2 in die Funktionsgleichung der Funktion ein. f(0) ist 0. Der Tiefpunkt liegt also bei (0; 0). Nun berechnen wir noch den Funktionswert an der Stelle x = 2. Wir erhalten 4 * e-2. Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten (2; 4 * e-2). Nun zum Wertebereich. Wir kennen die Extrempunkt, sowie das Verhalten der Funktion für größer bzw. kleiner werdende Werte. Daraus kann nun geschlussfolgert werden, dass der Wertebereich von einschließlich 0 bis unendlich geht. Nun zu den Wendepunkten. Gemäß des notwendigen Kriteriums wird die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt. Wir dividieren durch e-x, wodurch wir die quadratische Gleichung x² - 4x + 2 = 0 erhalten. Wir lösen diese mit der pq Formel und bekommen zwei mögliche Kandidaten für die Wendepunkte. Der eine liegt bei 2 + Wurzel(2) und der andere bei 2 - Wurzel(2). Das hinreichende Kriterium sagt aber, dass die zweite Ableitung gleich 0 und dritte Ableitung ungleich 0 sein muss. Wir setzen daher unsere beiden Kandidaten in die dritte Ableitung ein. Zuerst klammern wir e-(2 + Wurzel(2)) aus, danach wenden wir die erste Binomische Formel und das Distributivgesetz an und erhalten e-(2 + Wurzel(2)) * 2 * Wurzel(2). Analog gehen wir für den zweiten Kandidaten x = 2 - Wurzel(2) vor. Schaut euch das noch einmal in Ruhe an. Das Ergebnis ist e-(2 - Wurzel(2)) * (-2) * Wurzel(2), also ungleich 0. Wir haben demnach einen zweiten Wendepunkt gefunden. Wir berechnen nun noch die zugehörigen Funktionswerte, indem 2 + Wurzel(2) und 2 - Wurzel(2) in die Funktionsgleichung eingesetzt werden. Der erste Wendepunkt liegt somit bei (2 + Wurzel(2); (2 + Wurzel(2))² * e-(2 + Wurzel(2))). Der zweite Wendepunkt hat die Koordinaten (2 - Wurzel(2); (2 - Wurzel(2))² * e-(2 - Wurzel(2))). Mit unseren Ergebnissen können wir nun den Graphen der Funktion f zeichnen. Dieser sieht dann folgendermaßen aus. Wir können sehr gut den Hoch- und den Tiefpunkt sowie die beiden Wendepunkte erkennen. Jetzt haben wir es geschafft. Die Kurvendiskussion ist mit dem Zeichnen des Graphen komplett. Du hast in diesem Video gelernt, wie eine spezielle Exponentialfunktion auf ihre charakteristischen Eigenschaften untersucht wird. Das heute Gelernte kannst du nun auf beliebige Exponentialfunktionen übertragen. Gutes Gelingen dafür. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

11 Kommentare
  1. @Thefencher: An welcher Stelle wird durch 0 geteilt? Das wäre nicht zulässig. Oder meinst du die Stelle wo 0 durch e^-x geteilt wird? Deine Argumentation ist hier tatsächliche eleganter. Sprich:
    -x^2•e^-x+2x•e^-x=e^-x•(-x^2+2x)=e^-x•[x•(-x+2)]
    Da e^x nicht 0 sein kann, bleiben nur die Möglichkeiten, dass x Null ist oder (-x+2) gleich Null ist.
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als einem Jahr
  2. Darf man wirklich e^-x durch 0 teilen? Oder muss man da nicht eher den Satz hinschreiben, dass ein Produkt 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist und e nie 0 werden kann?

    Von Thefechner, vor mehr als einem Jahr
  3. @Kue Bartels: Du musst bei der ersten Ableitung auf die beiden Summanden die Produktregel anwenden. Damit erhältst du:
    f'''(x)=-2xe^(-x)+x²e^(-x)+2e^(-x)-2xe^(-x)=x²e^(-x)-4xe^(-x)+2e^(-x). Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor etwa 3 Jahren
  4. Wie komme ich bei der zweiten ableitung auf -4xe^-x ?

    Von Kue Bartels, vor etwa 3 Jahren
  5. @Catmas:
    Ich denke du hast bei der pq-Formel unter der Wurzel nicht Minus (-), sondern plus (+) zwei (2) gerechnet:
    x²-4x+2=0 |pq Formel mit p= - 4 und q= + 2
    x1,2 = - (p/2)+- Wurzel ( (p/2)² - q)
    x1,2 = - (-4/2)+- Wurzel ( (-4/2)² - 2)
    x1,2 = 2 +- Wurzel ( 4 - 2)
    x1,2 = 2 +- Wurzel ( 2)
    Ich denke du hast einfach unter der Wurzel + 2 gerechnet:
    x1,2 = 2 +- Wurzel ( 4 +(!) 2)
    x1,2 = 2 +- Wurzel ( 6 )
    Ich hoffe, dass ich den Fehler aufdecken konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 5 Jahren
  1. Hallo!

    Sag mal, bei den Wendepunkten kommt bei mir 2+ wurzel6 und 2-wurzel6. pq-formel angewandt und noch zweimal überprüft.. kannst du evtl erklären woran das liegt? Danke! :)

    Von Catmas, vor mehr als 5 Jahren
  2. Hiermit bekommst du noch den ausführlichen Weg:

    f'''(x)=2xe^-x-x^2e^-x-4e^-x+4xe^-x-2e^-x=-x^2e^-x+6xe^-x-6e^-x

    Von Anne Erdmann, vor mehr als 5 Jahren
  3. Ich habe die Produktregel und die Faktorregel angewendet, es kommen aber bei mir auch andere Werte bei ber 3. Ableitung raus: -x^2e^-x+2xe^-x-2e^-x. Könntest du dass bitte überprüfen?

    Von Pia Wi 878, vor mehr als 5 Jahren
  4. Ist immer 0 mal unendlich gleich null?

    Von Katherin Prado, vor mehr als 6 Jahren
  5. Du musst zuerst die ersten beiden Summanden mit der Produktregel und den dritten Summanden mit der Faktorregel ableiten. Achte darauf, dass die Ableitung von e^(-x) gleich -e^(-x) ist. Im Anschluss musst du die einzelnen Terme noch zusammenfassen. Gutes Gelingen dabei!

    Von Anne Erdmann, vor mehr als 6 Jahren
  6. Kannst du bitte erklären wie du auf die dritte Ableitung gekommen bist, ich bekomme da etwas anderes heraus und weiß nicht wie du auf dein Ergebnis gekommen bist.

    Von Bebop, vor mehr als 6 Jahren
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Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die ersten drei Ableitungen der Exponentialfunktion $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$.

    Tipps

    Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$ ist wie folgt gegeben:

    $\left(e^x\right)'=e^x$

    Damit ist $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$.

    Hinweis: Benutze die Kettenregel.

    Verwende die Produktregel zur Ableitung einer Produktfunktion.

    Diese siehst du hier in der Kurzschreibweise:

    $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.

    Achte auf die Vorzeichen beim Ausklammern. Schau dir ein Beispiel an:

    $5x\cdot e^x + 3x^2 \cdot e^x - 4x \cdot e^x = (3x^2 + x)\cdot e^x$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Exponentialfunktion $f$ mit $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$. Bei dieser sollst du zunächst den Definitionsbereich bestimmen und dann dreimal ableiten.

    Da diese Funktion jedem $x \in \mathbb{R}$ einen $y$-Wert zuordnet ist der Definitionsbereich $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

    Da es sich um ein Produkt handelt, verwendest du die Produktregel, um die Ableitungen zu ermitteln:

    $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.

    Die 1. Ableitung

    Diese siehst du hier ausführlich. Im ersten Schritt wurde die Produktregel angewendet:

    $\begin{array}{rclll} \left(x^2\cdot e^{-x}\right)'&=&2x\cdot e^{-x}+(x^2\cdot (-e^{-x}))&|&\text{Ausklammern}\\ &=&(2x-x^2)\cdot e^{-x}&|&\text{Sortieren der Terme}\\ &=&(-x^2+2x)\cdot e^{-x} \end{array}$

    Ebenso kannst du die weiteren Ableitungen berechnen.

    • $f''(x)=(x^2-4x+2)\cdot e^{-x}$
    • $f'''(x)=(-x^2+6x-6)\cdot e^{-x}$
  • Beschreibe das Vorgehen bei einer Kurvendiskussion.

    Tipps

    Es gilt $f(x) = y$. Für die Nullstellen einer Funktion gilt, dass der $y$-Wert des zugehörigen Punktes $0$ ist.

    Merke dir:

    • Für die Bestimmung der Extremstellen benötigst du die erste und zweite Ableitung ($f'$ und $f''$). Um die Extrempunkte zu bestimmen, benötigst du zusätzlich die Funktion $f$.
    • Für die Bestimmung der Wendestellen benötigst du die zweite und dritte Ableitung ($f''$ und $f'''$). Auch hier benötigst du zur Bestimmung der Wendepunkte zusätzlich die Funktion $f$.
    Lösung

    Eine Kurvendiskussion besteht aus vielen einzelnen Untersuchungen. Im Folgenden siehst du eine Liste der möglichen Einzelteile. Du untersuchst die Funktion/den Graphen der Funktion auf...

    • ...den Definitionsbereich. Dieser beinhaltet alle Werte, die du für $x$ einsetzen darfst. Besonders interessant sind also Werte, die du nicht für $x$ einsetzen darfst.
    • ...die Symmetrie. Hierbei konzentrierst du dich oft nur auf Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung und Achsensymmetrie zur $y$-Achse.
    • ...die Nullstellen. Das sind die Stellen, an denen der Graph der Funktion die $x$-Achse schneidet. Löse die Gleichung $f(x)=0$.
    • ... die Extremstellen. Löse die Gleichung $f'(x)=0$ und setze die Lösungen in die zweite Ableitung ein.
    • ...die Wendestellen. Löse die Gleichung $f''(x)=0$ und setze die Lösungen in die dritte Ableitung ein.
    • ... das Verhalten im Unendlichen.
    Oft sollst du aus den vorausgegangenen Ergebnissen eine Skizze des Graphen anfertigen.

    Hinweis: Dies ist nur der „Schnelldurchlauf“ einer Kurvendiskussion. Jeder einzelne Punkt bedarf einer genaueren Betrachtung.

  • Ermittle die Extrempunkte der Exponentialfunktion.

    Tipps

    Bei Extrempunkten muss notwendigerweise die erste Ableitung $0$ sein. Du musst also die Gleichung $f'(x)=0$ lösen.

    Beachte, dass $e^{-x}\neq 0$ ist.

    Die hinreichende Bedingung bei Extrempunkten lautet:

    • Die notwendige Bedingung muss erfüllt sein und
    • zusätzlich muss an den gefundenen Stellen $x_E$ gelten $f''(x_E)\neq 0$.

    Anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung kannst du entscheiden, welcher Art das Extremum ist:

    $f''(x_E) \begin{cases} <0,& \text{dann liegt ein lokaler Hochpunkt vor } \\ >0,& \text{dann liegt ein lokaler Tiefpunkt vor } \end{cases}$

    Die $y$-Koordinate eines Punktes auf einem Funktionsgraphen erhältst du so:

    Du setzt die $x$-Koordinate in die zugehörige Funktionsgleichung ein, also $y=f(x)$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Nullstellen und die Extrema der Exponentialfunktion $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$.

    Der Graph der Funktion schneidet die $x$-Achse bei $x=0$. Das ist die Nullstelle. Wie kommst du darauf?

    Für die Nullstelle $x_N$ gilt $f(x_N) = 0$. Deshalb setzt du $f(x) = 0$, was zu $x^2\cdot e^{-x}=0$ führt. Eine Division durch $e^{-x}$ führt zu $x^2 = 0$. Das Ziehen der Wurzel führt zu $x=0$.

    Bei Extrempunkten gehst du wie folgt vor:

    1. Du untersuchst die notwendige Bedingung $f'(x)=0$. Das bedeutet, dass du eine Gleichung lösen musst. Wenn du hier Lösungen erhältst, dann gehst du zum zweiten Schritt. Ansonsten hat die Funktion keine Extrema.
    2. Dann prüfst du die hinreichende Bedingung. Jede Lösung der obigen Gleichung setzt du in die zweite Ableitung ein. Diese muss ungleich $0$ sein. Je nach Vorzeichen weißt du, ob ein lokaler Tief- oder Hochpunkt vorliegt.
    Wichtig: Die Bedingung im zweiten Schritt alleine ist nicht hinreichend. Nur zusammen mit der notwendigen Bedingung ist sie hinreichend.

    Die notwendige Bedingung

    Löse die Gleichung $f'(x)=0$, also $(-x^2+2x)e^{-x}=0$.

    • Dividiere durch $e^{-x}$. Dann erhältst du $-x^2+2x=0$.
    • Klammere $x$ aus zu $x(-x+2)=0$.
    • Verwende den Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist $0$, wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist.
    • So kommst du auf die Gleichungen $x=0$, die schon gelöst ist, und $-x+2=0$, was zu $x=2$ führt.
    An diesen beiden Stellen könnten Extrema vorliegen. Ob dies wirklich so ist, kannst du mit Hilfe der nächsten Bedingung prüfen. Zusammen ergeben die beiden Bedingungen die hinreichende Bedingung.

    Die hinreichende Bedingung

    Setze jede der beiden gefunden Stellen in die zweite Ableitung ein:

    • $f''(0)=(0^2-4\cdot 0+2)e^{-0}=2$.
    • Du siehst, dass dieser Wert ungleich $0$ ist, also liegt ein Extremum vor.
    • Da der Wert positiv ist, liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. Dieser hat die $x$-Koordinate $0$.
    • Bestimme die $y$-Koordinate: $y=f(0)=0^2\cdot e^{-0}=0$.
    • Du hast also einen lokalen Tiefpunkt T$(0|0)$ gefunden.
    Ebenso gehst du für $x=2$ vor:

    • $f''(2)=(2^2-4\cdot 2+2)e^{-2}=-2e^{-2}<0$
    • Hier liegt ein lokaler Hochpunkt vor.
    • $y=f(2)=2^2\cdot e^{-2}=4e^{-2}$
    • Der lokale Hochpunkt ist H$\left(2|4e^{-2}\right)$.
    Du kannst diese Punkte auch in dem abgebildeten Graphen erkennen.

  • Ermittle die Extrem- und Wendepunkte der Funktion mit der Gleichung $f(x)=(x^2-1)\cdot e^{0,5x}$.

    Tipps

    Der Funktionsgraph besitzt einen lokalen Hochpunkt und einen globalen Tiefpunkt. Dazwischen muss ein Wendepunkt liegen.

    Löse für Extremstellen die Gleichung $f'(x)=0$ und für Wendestellen $f''(x)=0$.

    Die jeweiligen $y$-Werte erhältst du durch Einsetzen in $f(x)$.

    Lösung

    Betrachte die Exponentialfunktion $f$ mit $f(x)=(x^2-1)\cdot e^{0,5x}$.

    Die Ableitungen dieser Funktion sind:

    • $f'(x)=(0,5x^2+2x-0,5)\cdot e^{0,5x}$
    • $f''(x)=(0,25x^2+2x+1,75)\cdot e^{0,5x}$
    Extrempunkte

    Notwendige Bedingung

    Lokale Extrempunkte zeichnen sich dadurch aus, dass die Steigung der Funktion in diesem Punkt $0$ sein muss. Deshalb löst du die Gleichung $f'(x)=0$. Da es aber Punkte gibt, in denen die Steigung $0$ ist, die aber keine lokalen Extrempunkte sind, reicht das nicht aus.

    Hinreichende Bedingung

    Die notwendige Bedingung $f'(x) = 0$ und die Bedingung $f''(x) \neq 0$ ergeben zusammen die hinreichende Bedingung.

    Hier siehst du die Rechnung:

    $\begin{array}{rcll} (0,5x^2+2x-0,5)\cdot e^{0,5x} & = & 0 & \vert : e^{0,5x} \\ 0,5x^2+2x-0,5 & = & 0 & \vert :0,5 \\ x^2 + 4x - 1 & = & 0 \end{array}$

    Diese Gleichung kannst du nun mit Hilfe der $p$-$q$-Formel lösen:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac42\pm\sqrt{\left(\frac42\right)^2+1}\\ &=&-2\pm\sqrt{5} \end{array}$

    Du erhältst diese beiden Lösungen:

    • $x_1=-2+\sqrt5\approx0,24$
    • $x_2=-2-\sqrt5\approx-4,24$
    Anschließend setzt du jeden der $x$-Werte in die zweite Ableitung und in $f(x)$ ein. Beginne mit $x_1$:

    • $f''\left(-2+\sqrt5\right)\approx2,43>0$: Hier liegt also ein Tiefpunkt vor. Es handelt sich sogar um einen globalen Tiefpunkt.
    • Dessen $y$-Koordinate ist $y=f\left(-2+\sqrt5\right)\approx-1,06$.
    • Der globale Tiefpunkt ist TP$(0,24|-1,06)$.
    Nun setzt du $x_2$ ein:

    • $f''\left(-2-\sqrt5\right)\approx-64,9<0$: Hier liegt ein lokaler Hochpunkt vor.
    • Die $y$-Koordinate ist $y=f\left(-2-\sqrt5\right)\approx2,04$.
    • So erhältst du den lokalen Hochpunkt HP$(-4,24|2,04)$.
    Damit hast du die beiden Extrempunkte der Funktion bestimmt.

    Wendepunkte

    Bei der Berechnung der beiden Wendepunkte wird auf die Prüfung der Bedingung $f'''(x) \neq 0$ verzichtet. Löse zunächst die Gleichung $f''(x)=0 \Leftrightarrow (0,25x^2+2x+1,75)e^{0,5x}=0$:

    • Dividiere durch $e^{0,5x}$. Dies führt zu der quadratischen Gleichung $0,25x^2+2x+1,75=0$.
    • Multipliziere mit $4$. Dies führt zu $x^2+8x+7=0$.
    • Verwende die $p$-$q$-Formel:
    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac82\pm\sqrt{\left(\frac82\right)^2-7}\\ &=&-4\pm\sqrt{16-7} \end{array}$

    Du erhältst die beiden folgenden Lösungen:

    • $x_1=-4-3=-7$
    • $x_2=-4+3=-1$
    Zuletzt kannst du noch die jeweiligen $y$-Koordinaten berechnen:

    • $f(-7)=((-7)^2-1)\cdot e^{-3,5}\approx1,45$
    • $f(-1)=0$, da $x=-1$ eine Nullstelle ist.
    Du hast nun die beiden Wendepunkte WP$_1(-7|1,45)$ und WP$_2(-1|0)$ gefunden.

  • Untersuche die Exponentialfunktion auf Symmetrie, ihren Definitionsbereich und das Verhalten im Unendlichen.

    Tipps

    Im Definitionsbereich befinden sich alle Werte für $x$, welche du in die Funktionsgleichung einsetzen darfst, ohne eine Rechenregel zu verletzen. Dabei gehst du von der Menge aller reellen Zahlen ($\mathbb{R}$) als Grundmenge aus.

    • Du darfst nicht durch $0$ teilen.
    • Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

    Du untersuchst die Symmetrie so:

    • Ist $f(-x)=f(x)$, dann ist der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
    • Ist $f(-x)=-f(x)$, dann ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    • Ansonsten liegt keine dieser beiden Symmetrien vor.

    Du kannst das Grenzwertverhalten zum Beispiel durch Testeinsetzen prüfen. Setze immer größere (positive oder negative) Werte für $x$ in die Funktionsgleichung ein. Wie verhalten sich die zugehörigen Funktionswerte?

    Hier siehst du den Graphen der Funktion. An diesem kannst du eventuelle Symmetrie und auch das Verhalten im Unendlichen ablesen.

    Beachte, dass du auch in der Lage sein solltest, diese Eigenschaften ohne den Graphen zu untersuchen.

    Lösung

    Üblicherweise beginnt eine Kurvendiskussion mit dem Definitionsbereich, der Symmetrie und dem Grenzwertverhalten.

    Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2-1)\cdot e^{0,5x}$, deren Funktionsgraphen du hier sehen kannst.

    Der Definitionsbereich

    Gibt es Einschränkungen an $x$? Oder anders gefragt: Gibt es reelle Zahlen, die du hier nicht für $x$ einsetzen „darfst“?

    • $x^2-1$ ist für alle reellen Zahlen definiert. Hier gibt es keine Einschränkungen.
    • Auch bei $e^{0,5x}$ darfst du für $x$ jede beliebige reelle Zahl einsetzen.
    Zusatz: Schau dir beispielsweise die Funktion $h(x) = \frac{1}{x}$ an. Hier darfst du für $x$ nicht den Wert $0$ einsetzen. Der Definitionsbereich ist dann $\mathbb{D}_h = \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

    Bei der Funktion in dieser Aufgabe ist $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$, die Menge der reellen Zahlen.

    Die Symmetrie

    Ersetze in der Funktionsgleichung $x$ durch $-x$. So erhältst du

    $f(-x)=((-x)^2-1)\cdot e^{0,5\cdot(-x)}=(x^2-1)\cdot e^{-0,5x}$.

    Um Achsensymmetrie zu prüfen, schaust du, ob $f(-x) = f(x)$ gilt. Dies ist hier nicht der Fall. Um Punktsymmetrie zu prüfen, schaust du, ob $f(-x) = -f(x)$ gilt. Auch das ist nicht der Fall. Diese beiden Ergebnisse führen zu der Erkenntnis, dass der Graph der Funktion keine Symmetrie aufweist. Das siehst du auch in dem abgebildeten Graphen.

    Das Grenzwertverhalten

    Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie du das Grenzwertverhalten untersuchen kannst. Eine davon ist das Testeinsetzen.

    Setze immer größere positive Werte für $x$ ein:

    • $f(10)=14692,90...$
    • $f(20)=8788559,852...$
    • $f(100)=5,184...\cdot 10^{25}$: Dies ist eine wirklich große Zahl.
    Du kannst bereits erkennen, dass die Funktionswerte immer größer werden: $\lim\limits_{x\to\infty}=\infty$.

    Setze immer größere negative Werte für $x$ ein:

    • $f(-10)=0,6670...$
    • $f(-20)=0,0181...$
    • $f(-100)=1,928...\cdot 10^{-18}$: Dies ist eine sehr kleine Zahl, also eine Zahl, die sehr nahe bei $0$ liegt.
    Es gilt somit $\lim\limits_{x\to\infty}=0$.

    Wichtig: Du darfst nicht argumentieren, dass der eine Faktor $e^{0,5x}$ gegen $0$ geht und damit auch das Produkt gegen $0$ gehen muss. Dies gilt bei Grenzwerten im Allgemeinen nicht.

    Zusatz: Exponentialfunktionen sind gegenüber Polynomen „wichtiger“, was das Verhalten im Unendlichen betrifft.

  • Berechne die Nullstellen und die ersten beiden Ableitungen der Exponentialfunktion.

    Tipps

    Bei der Nullstellensuche kannst du den Term $e^{0,5x}$ vernachlässigen bzw. durch ihn teilen, da er nicht $0$ werden kann. Es gilt:

    $e^{0,5x} \neq 0$ für alle $x\in\mathbb{R}$.

    Verwende die folgende Ableitung:

    $\left(e^{0,5x}\right)'=0,5e^{0,5x}$.

    Lösung

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2-1)\cdot e^{0,5x}$.

    Die Nullstellen

    Eine Nullstelle ist der $x$-Wert, bei dem der Graph einer Funktion die $x$-Achse schneidet. In der Abbildung siehst du, dass dies bei den Stellen $x_1=-1$ und $x_2=1$ der Fall ist.

    Rechnerisch ermittelst du die Stellen so:

    Du löst die Gleichung $f(x)=0$, also $(x^2-1)\cdot e^{0,5x}=0$. Da $e^{0,5x}$ nicht $0$ werden kann, kannst du durch diesen dividieren. Du erhältst die Gleichung $x^2 - 1 = 0$. Eine Addition von $1$ und das Ziehen der Wurzel führt zu $x_1 = 1$ und $x_2 = -1$.

    Die Ableitungen

    Hinweis: Häufig wird in Klausuren darauf hingewiesen, dass auf den Nachweis der hinreichenden Bedingungen bei den Wendepunkten verzichtet werden kann. Das bedeutet, dass du die dritte Ableitung nicht benötigst.

    Verwende für die Rechnungen die Ableitung $\left(e^{0,5x}\right)'=0,5e^{0,5x}$.

    Die erste Ableitung

    $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&\left((x^2-1)\cdot e^{0,5x}\right)'&|&\text{Produktregel}\\ &=&2x\cdot e^{0,5x}+0,5(x^2-1)\cdot e^{0,5x}&|&\text{Ausklammern von } e^{0,5x}\\ &=&(2x+0,5(x^2-1))\cdot e^{0,5x}\\ &=&(0,5x^2+2x-0,5)\cdot e^{0,5x} \end{array}$

    Die zweite Ableitung

    $\begin{array}{rclll} f''(x)&=&\left((0,5x^2+2x-0,5)\cdot e^{0,5x}\right)'&|&\text{Produktregel}\\ &=&(x+2) e^{0,5x}+0,5(0,5x^2+2x-0,5)\cdot e^{0,5x}&|&\text{Ausklammern von } e^{0,5x}\\ &=&(x+2+0,5(0,5x^2+2x-0,5))\cdot e^{0,5x}\\ &=&(0,25x^2+2x+1,75)\cdot e^{0,5x} \end{array}$