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Das magische Quadrat

Magische Quadrate - faszinierend und knifflig zugleich! Lerne, wie man sie identifiziert und löst. Packe deine Neugierde ein und begib dich auf die Reise, fehlende Zahlen zu finden und die Rolle der Zaubersumme zu verstehen. Interessiert? Lass uns gemeinsam den Zauber lüften!

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Inhaltsverzeichnis zum Thema Das magische Quadrat

Was ist ein magisches Quadrat?
Magisches Quadrat – Definition
Wie löse ich ein magisches Quadrat?
Magisches Quadrat – Aufbau
Magisches Quadrat lösen – Anleitung

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Das magische Quadrat

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Was ist ein magisches Quadrat?

Hast du schon einmal von magischen Quadraten gehört? Das sind nicht etwa Quadrate, die dir Zauberkräfte verleihen – aber trotzdem ist es magisch, wie in einem magischen Quadrat alle Zahlen zusammenpassen.

Magisches Quadrat – Definition

Hier im Bild siehst du ein vollständig gelöstes magisches Quadrat.

Magisches Quadrat

Die Summe der Zahlen in jeder Zeile des Quadrates ist dieselbe, nämlich $18$. In der ersten Zeile ist die Summe der Zahlen: $5+10+3=18$. Dasselbe gilt auch für die Spalten des Quadrates und die beiden Diagonalen. In der farbig markierten Diagonale ist die Summe: $5+6+7=18$. Die Summe, die sich in jeder Zeile, Spalte und Diagonale ergibt, nennt man die Zaubersumme oder magische Zahl. Man schreibt sie meistens über das Quadrat.

Wie löse ich ein magisches Quadrat?

Nun wissen wir, was ein magisches Quadrat ist. Meistens begegnen uns unvollständige magische Quadrate. Die Aufgabe ist, die fehlenden Zahlen für die freien Kästchen zu finden. Schauen wir uns ein Beispiel an und überlegen uns eine Anleitung zum Lösen magischer Quadrate.

Wie funktioniert ein magisches Quadrat?

Die Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen muss bei diesem magischen Quadrat immer $30$ ergeben. Wir suchen zuerst eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der bereits zwei Zahlen vorhanden sind. In diesem Beispiel ist dies die dritte Zeile. Dort stehen die Zahlen $13$ und $11$. Zusammen ergeben die beiden Zahlen $13+11=24$. Die Summe aller Zahlen der Zeile soll $30$ ergeben. Was ist also die fehlende Zahl? Wir finden sie heraus, indem wir $30-24$ rechnen. Die gesuchte Zahl ist $6$, denn $30-24=6$. Die Zahl $6$ schreiben wir in das mittlere Kästchen der unteren Zeile. Wir können auch die Summe dieser Zeile noch einmal überprüfen: $13+6+11=30$.

Weiter geht’s: In der mittleren Spalte stehen bereits zwei Zahlen, nämlich $10$ und $6$. Wir addieren die beiden Zahlen und subtrahieren das Ergebnis von $30$:

$10+6=16$ und $30-16=14$

Wir tragen die Zahl $14$ in das obere Kästchen der mittleren Spalte ein.

Wir fahren fort mit der oberen Zeile. Dort stehen die Zahlen $9$ und $14$. Wir fassen die beiden Rechnungen zu einer zusammen, indem wir Klammern verwenden: $30-(9+14)=7$. Die Zahl $7$ tragen wir in das rechte Kästchen der oberen Zeile ein.

Jetzt rechnen wir in der rechten Spalte: $30-(11+7) = 12$ und tragen das Ergebnis in das mittlere Kästchen der rechten Spalte ein.

Für das fehlende Kästchen wählen wir die mittlere Zeile und rechnen $30-(10+12)=8$. Das Ergebnis tragen wir in das linke Kästchen der mittleren Zeile ein. Nun ist das magische Quadrat gelöst und sieht so aus:

Magisches Quadrat gelöst

Magisches Quadrat – Aufbau

Wir schauen uns noch ein weiteres Beispiel an, um den Aufbau magischer Quadrate zu verstehen. Dieses Beispiel ist etwas komplizierter als das vorige. Es ist ein Quadrat mit $4$ Kästchen in jeder Zeile, Spalte und Diagonale. Der Aufbau ist aber derselbe wie zuvor: Die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale ist gleich.

Magisches Quadrat Aufbau

Die magische Zahl dieses Quadrates ist aber nicht vorgegeben. Wir müssen sie erst bestimmen. Entdeckst du eine Zeile, Spalte oder Diagonale mit vier Zahlen? Richtig: In der dritten Spalte sind bereits alle vier Kästchen ausgefüllt. Die Summe dieser Zahlen ist die gesuchte Zaubersumme: $9+8+2+15=34$.

Wie gehen wir jetzt vor, um das magische Quadrat zu lösen? Wir suchen uns zuerst eine Zeile oder Spalte, in der nur noch ein Kästchen frei ist. Das sind die erste, zweite und vierte Zeile. Wir wählen die erste Zeile aus und rechnen:

$34-(16+9+3) = 6$

Die Zahl $6$ tragen wir in das zweite Kästchen der ersten Zeile ein. Weiter geht’s mit der zweiten Zeile:

$34-(1+11+8)=14$

Die Zahl $14$ tragen wir in das vierte Kästchen der zweiten Zeile ein. Nun haben wir wieder verschiedene Zeilen und Spalten zur Auswahl, mit denen wir weiterrechnen können, nämlich die erste, zweite und vierte Spalte und die vierte Zeile. Wir wählen die erste Spalte:

$34-(16+1+7) = 10$

Das Ergebnis tragen wir in das untere Kästchen der ersten Spalte ein. In der zweiten Spalte rechnen wir nun:

$34-(6+11+4)=13$

Die Zahl $13$ tragen wir in das dritte Kästchen der zweiten Zeile ein. Für das letzte freie Kästchen wählen wir die vierte Spalte:

$34-(3+14+5)=12$

Nun haben wir auch dieses magische Quadrat vollständig gelöst.

Magisches Quadrat lösen – Anleitung

Wir fassen noch einmal die Eigenschaften magischer Quadrate und die wichtigsten Punkte zum Lösen zusammen:

In einem magischen Quadrat ist die Summe der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonale gleich.
Diese Zahl heißt Zaubersumme oder magische Zahl. Sie steht meistens über dem Quadrat.
Ist die Zaubersumme nicht vorgegeben, so kannst du sie aus einer vollständig ausgefüllten Zeile, Spalte oder Diagonale berechnen.
Ist die Zaubersumme bekannt, so suche dir eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der nur noch ein Kästchen frei ist.
Addiere die Zahlen aller anderen Kästchen dieser Zeile, Spalte oder Diagonale und subtrahiere die Summe von der Zauberzahl.
Trage die Differenz in das freie Kästchen dieser Zeile, Spalte oder Diagonale ein.
Suche dir nun eine weitere Zeile, Spalte oder Diagonale mit nur einem freien Kästchen.
Fülle so nacheinander alle freien Kästchen, um das magische Quadrat vollständig zu lösen

Willst du das Lösen magischer Quadrate weiter üben? Dann findest du hier auf der Seite weitere Beispiele und interaktive Übungen.

Was hat Kommissar Kornelius da denn schon wieder für einen Hinweis bekommen? Dieser hat sicherlich etwas mit einem ganz neuen Fall zu tun. Aber was sind denn das für Quadrate? Diese Quadrate nennt man magische Quadrate. In diesem Video lernst du, wie ein magisches Quadrat aufgebaut ist und wie du dieses lösen kannst. Eins dieser Quadrate hat Kornelius anscheinend schon gelöst. Schauen wir uns das doch einmal an, um die Eigenschaften dieser magischen Quadrate herauszufinden. Bei einem magischen Quadrat ergeben die Summen der Zeilen der Spalten und dieser Diagonalen immer dasselbe. Diese Summe, die auch Zaubersumme genannt wird, notiert man meistens wie hier über dem Quadrat. So ergibt zum Beispiel die Summe dieser Zeile 18, denn 5+10+3 ergibt 18. Schauen wir doch jetzt einmal die anderen magischen Quadrate an, die Kornelius auf seinem Hinweis stehen hat. Diese müssen nämlich noch weiter gelöst werden. Wir wissen, dass die Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen 30 ergeben muss. Um das magische Quadrat auszufüllen, betrachten wir zunächst die Zeilen, Spalten oder Diagonalen, bei denen zwei Zahlen schon vorhanden sind. Beginnen wir hier also mit der untersten Zeile. Wir haben bereits die 13 und die 11. Addieren wir diese, so erhalten wir 24. Insgesamt soll die Summe dieser Zeile 30 ergeben. Wir können nun also 24 von 30 subtrahieren und erhalten 6. Dieses Kästchen können wir also mit 6 ausfüllen. Wir können nun mit dieser Spalte weitermachen, da wir hier nun auch zwei unserer Zahlen gegeben haben. 10 + 6 sind 16 und 30 - 16 sind 14. Fast gelöst. Machen wir weiter mit dieser Zeile. Wir können die Lösung auch nur mithilfe einer Rechnung finden, indem wir Klammern verwenden. Wir rechnen 30 minus in Klammern 9 +14. Da wir die Klammern zuerst berechnen, rechnen wir auch hier zunächst die Summe aus und subtrahieren dann. In dieses Kästchen tragen wir also die 7 ein. Berechnen wir nun diese Zeile, rechnen also 30 minus in Klammern 11 + 7 und tragen das Ergebnis ein so müssen wir nur noch den Wert für das letzte Kästchen berechnen. Wir rechnen 30 minus in Klammern 10 + 12 und das sind 8. Geschafft! Wir sind dem Rätsel um diesen Hinweis nun schon näher gekommen. Nur noch ein magisches Quadrat und dann erfahren wir endlich, an was für einem Fall Kornelius überhaupt arbeitet. Wie wir sehen hat dieses Quadrat aber 4 Kästchen in jeder Zeile und Spalte und dieses Mal müssen wir außerdem die Zaubersumme noch herausfinden. Da diese Spalte schon komplett ausgefüllt ist, können wir die Zahlen addieren und erhalten so die Summe. Wir rechnen also 9 + 8 + 2 + 15. Die Summe, die die Zeilen, Spalten und Diagonalen in diesem Quadrat ergeben muss, ist also 34. In dieser Zeile haben wir schon 3 Werte gegeben, also lass uns doch damit beginnen. Hier rechnen wir 34 minus in Klammern 16 + 9 + 3 und erhalten 6 und hier 34 minus in Klammern 1 + 11 + 8. Das sind 14. In dieser Spalte rechnen wir 34 minus in Klammern 16 + 1 + 7 und erhalten 10. Die Zahl für dieses Kästchen können wir mit dieser Rechnung herausfinden. Und die allerletzte Ziffer können wir so berechnen. Wir haben alle Rätsel gelöst! Bevor wir herausfinden, wozu dieser Hinweis Kornelius geführt hat, fassen wir das doch noch einmal zusammen. Bei einem magischen Quadrat ergeben die Summen der Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dasselbe Ergebnis. Diese Summe, die auch Zaubersumme genannt wird, notiert man meistens wie hier über dem Quadrat. Hat man ein magisches Quadrat mit Lücken gegeben, so kann man zunächst die Zeilen, Spalten und Diagonalen berechnen, bei denen alle Summanden bis auf einer gegeben sind. Dann kann man mithilfe der Lösungen weiterarbeiten. Hat man die Zaubersumme nicht gegeben, so kann man diese durch eine vollständig ausgefüllte Zeile, Spalte oder Diagonale berechnen. Was ist denn nun mit Kornelius Fall? Die Hausaufgaben sind jetzt auf jeden Fall gelöst.

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Die Autor*innen

Team Digital

Das magische Quadrat

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Das magische Quadrat Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das magische Quadrat kannst du es wiederholen und üben.

Berechne die fehlenden Zahlen des magischen Quadrats.
Tipps

Um die Zaubersumme herauszufinden, betrachtest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, die vollständig ausgefüllt ist. Dann addierst du alle Einträge zur Zaubersumme.

Um die fehlende Zahl einer Zeile, Spalte oder Diagonale zu bestimmen, kannst du die beiden gegebenen Zahlen von der Zaubersumme abziehen.

Lösung
So sieht das fertige magische Quadrat aus. Du kannst es folgendermaßen berechnen:
„Die Zaubersumme dieses magischen Quadrats berechnet er, indem er die untere Zeile addiert:
$13+6+11=30$
Die Zaubersumme beträgt also $30$.“
- Um die Zaubersumme herauszufinden, betrachtest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, die vollständig ausgefüllt ist. Dann addierst du alle Einträge zur Zaubersumme.
„Anschließend berechnet er den Eintrag in der Mitte der obersten Zeile.
Dafür rechnet er: $30-(10+6) =14$“
- Um diesen Eintrag zu berechnen, hat er sich die mittlere Spalte angeschaut, bei der bereits die Werte $10$ und $6$ gegeben waren.
„Den Eintrag in der obersten Zeile ganz rechts können wir nun entweder anhand der Diagonalen bestimmen:
$30-(13+10)=7$
oder wir nutzen die oberste Zeile, in der schon zwei Summanden vorhanden sind:
$30-(9+14)=7$
Da bei beiden Rechnungen dieselbe Zahl rauskommen muss, ist das ein guter Test, ob du richtig gerechnet hast.“
- Um die letzte Zahl einer Zeile, Spalte oder Diagonale zu bestimmen, kannst du die beiden gegebenen Zahlen von der Zaubersumme abziehen.
„Anschließend berechnen wir den Eintrag in der Mitte links:
$30-(13+9)=8$
Und den Eintrag in der Mitte rechts:
$30-(11+7)=12$“
- Um ein magisches Quadrat zu lösen, betrachtest du nacheinander alle Zeilen, Spalten und Diagonalen, bei denen nur eine Zahl schon vorhanden ist und bestimmst die fehlenden Zahlen.
Ergänze das magische Quadrat.
Tipps
Du kannst das magische Quadrat vervollständigen, indem du zuerst die Zaubersumme und anschließend nacheinander die einzelnen Einträge bestimmst.

Für den Eintrag links unten rechnest du:
- $34-(16+1+7)=$
Lösung
Du kannst das magische Quadrat vervollständigen, indem du zuerst die Zaubersumme und anschließend nacheinander die einzelnen Einträge bestimmst. Die Zaubersumme kannst du anhand der obersten Zeile bestimmen:
- $16+6+9+3=34$
Anschließend kannst du den Eintrag links unten bestimmen:
- $34-(16+1+7)=10$
Für den fehlenden Eintrag in der zweiten Spalte erhältst du:
- $34-(11+6+4)=13$
Der obere Eintrag in der rechten Spalte lautet:
- $34-(11+1+8)=14$
Und für den Eintrag in der rechten Spalte und dritten Zeile gilt:
- $34-(13+2+7)=12$
Ermittle den fehlenden Eintrag des magischen Quadrats.
Tipps

Um die Zaubersumme zu bestimmen, musst du eine Zeile, Spalte oder Diagonale finden, die komplett ausgefüllt ist. Anschließend summierst du alle Einträge dieser Zeile, Spalte oder Diagonalen.

Lösung
Um den fehlenden Eintrag zu finden, musst du zunächst die Zaubersumme bestimmen. Dazu musst du eine Zeile, Spalte oder Diagonale finden, die komplett ausgefüllt ist. Anschließend summierst du alle Einträge dieser Zeile, Spalte oder Diagonalen.
Danach ziehst du die drei Einträge einer Zeile, Spalte oder Diagonalen, in der dein gesuchter Eintrag vorkommt, von der Zaubersumme ab. So erhältst du:
- Das Quadrat ganz links hat eine Zaubersumme von $23$. Der grüne Eintrag beträgt: $23-(11+5+4)=3$
- Das nächste magische Quadrat hat eine Zaubersumme von $21$. Der grüne Eintrag beträgt: $21-(10+2+1)=8$
- Die dritte Zaubersumme beträgt: $44$. Der grüne Eintrag beträgt: $44-(14+4+2)=24$
- Das Quadrat ganz rechts hat eine Zaubersumme von $64$. Der grüne Eintrag beträgt: $64-(21+10+6)=27$
Ermittle die fehlenden Einträge des magischen Quadrats.

Tipps

Um das magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der ersten Zeile.

Um einen fehlenden Eintrag in einer Zeile zu berechnen, subtrahierst du von der Zaubersumme (hier: $9+10+11=30$) die anderen beiden Einträge der Zeile, Spalte oder Diagonalen.
Für den Eintrag in der ersten Zeile ganz rechts rechnest du also:
$30-(9+14)=7$

Lösung

Um das kleine magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der ersten Zeile. Hier erhältst du:
$8+1+6=15$
Die Zaubersumme beträgt also $15$. Damit kannst du alle anderen Einträge bestimmen. Wir beginnen bei dem Eintrag links unten. Hier erhalten wir:
$15-(8+3)=4$
Damit erhalten wir für den mittleren Eintrag:
$15-(4+6)=5$
Und für rechts unten:
$15-(8+5)=2$
Der letzte Eintrag beträgt damit:
$15-(2+6)=7$
Auch um das große magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der ersten Zeile. Hier erhältst du:
$1+1+12+7=21$
Damit bestimmen wir die restlichen Einträge. Dazu finden wir eine Zeile, Spalte oder Diagonale in der alle Einträge bis auf einer ausgefüllt sind. Dann addieren wir alle vorhandenen Einträge und ziehen sie von der Zaubersumme ab. Hier ist das zum Beispiel die zweite Spalte von links. Wir erhalten:
$21-(10+2+1)=8$
Für den Eintrag in der ersten Spalte erhalten wir:
$21-(11+4+1)=5$
Für den Eintrag in der dritten Spalte und zweiten Zeile ergibt sich:
$21-(10+4+7)=0$
Für den anderen Eintrag in dieser Spalte erhalten wir:
$21-(12+6+0)=3$
Für die Einträge der letzten Spalte erhalten wir:
$21-(11+8+0)=2$
$21-(10+5+3)=3$
$21-(4+2+6)=8$
Bestimme die korrekten Aussagen zu magischen Quadraten.
Tipps

Kennst du das Ergebnis der Addition dreier Zahlen (z. B. $19$) und kennst außerdem zwei ihrer Summanden (z. B. $11$ und $2$), dann kannst du die letzte Zahl so bestimmen: $19-(11+2)=19-13=6$

Bei diesem magischen Quadrat ist die Zaubersumme $15$.

Bei diesem Quadrat würdest du zunächst die linke und mittlere Spalte ausfüllen. Für die linke Spalte rechnet man:
$30-(9+13)=8$

Lösung
Diese Aussagen sind falsch:
„Bei einem magischen Quadrat sind die Summen der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen jeweils unterschiedlich.“
- Bei einem magischen Quadrat sind die Summen der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen genau gleich. Dies ist die Definition des magischen Quadrats.
„Um ein magisches Quadrat zu lösen, betrachtest du nacheinander alle Zeilen, Spalten und Diagonalen, bei denen nur eine Zahl schon vorhanden ist und bestimmst die fehlenden Zahlen.“
- Du betrachtest Zeilen, Spalten und Diagonalen, bei denen zwei Zahlen schon ausgefüllt sind. Kennst du die Zaubersumme, kannst du damit die fehlende Zahl bestimmen.
Diese Aussagen sind richtig:
„Die Summe der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen heißt auch Zaubersumme.“
„Um die Zaubersumme herauszufinden, betrachtest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, die vollständig ausgefüllt ist. “
- Da die Zaubersumme die Summe der einzelnen Zeilen, Spalten und Diagonalen ist, kannst du anhand einer vollständig ausgefüllten Zeile, Spalte oder Diagonale die Zaubersumme bestimmen.
„Um die letzte Zahl einer Zeile, Spalte oder Diagonale zu bestimmen, kannst du alle gegebenen Zahlen von der Zaubersumme abziehen.“
Leite die fehlenden Einträge des magischen Quadrats ab.

Tipps

Hast du die Zaubersumme gefunden, kannst du die restlichen Einträge bestimmen. Dazu findest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der alle Einträge bis auf einer ausgefüllt sind. Dann addierst du alle vorhandenen Einträge und ziehst sie von der Zaubersumme ab.

Auch wenn hier negative Zahlen vorkommen, kannst du wie gewohnt vorgehen. Wenn zwei unterschiedliche Vorzeichen hintereinander vorkommen, bleibt ein Minus. Zum Beispiel gilt:
$3+(-4)=3-4=-1$

Lösung

Um das magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der letzten Zeile.
Auch wenn hier negative Zahlen vorkommen, kannst du wie gewohnt vorgehen. Wenn zwei unterschiedliche Vorzeichen hintereinander vorkommen, bleibt ein Minus. Zum Beispiel gilt:
$3+(-4)=3-4=-1$
Mit diesem Wissen erhältst du für die Zaubersumme:
$4-1+6+9=18$
Damit bestimmen wir die restlichen Einträge. Dazu finden wir eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der alle Einträge bis auf einer ausgefüllt sind. Dann addieren wir alle vorhandenen Einträge und ziehen sie von der Zaubersumme ab. Hier ist das zum Beispiel die Diagonale von links oben nach rechts unten. Wir erhalten:
$18-(9+3-2)=18-10=8$
Für den Eintrag in der ersten Spalte erhalten wir:
$18-(7+1-2)=18-6=12$
Für den Eintrag in der ersten Spalte und dritten Zeile ergibt sich:
$18-(11+4-2)=5$
Für den anderen Eintrag in dieser Zeile erhalten wir:
$18-(10+3+5)=0$
Für die anderen Einträge der zweiten Spalte erhalten wir:
$18-(12+6+3)=-3$
$18-(7+9+0)=2$

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