sofatutor 30 Tage kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Das magische Quadrat 06:20 min

Textversion des Videos

Transkript Das magische Quadrat

Was hat Kommissar Kornelius da denn schon wieder für einen Hinweis bekommen? Dieser hat sicherlich etwas mit einem ganz neuen Fall zu tun. Aber was sind denn das für Quadrate? Diese Quadrate nennt man magische Quadrate. In diesem Video lernst du, wie ein magisches Quadrat aufgebaut ist und wie du dieses lösen kannst. Eins dieser Quadrate hat Kornelius anscheinend schon gelöst. Schauen wir uns das doch einmal an, um die Eigenschaften dieser magischen Quadrate herauszufinden. Bei einem magischen Quadrat ergeben die Summen der Zeilen der Spalten und dieser Diagonalen immer dasselbe. Diese Summe, die auch Zaubersumme genannt wird, notiert man meistens wie hier über dem Quadrat. So ergibt zum Beispiel die Summe dieser Zeile 18, denn 5+10+3 ergibt 18. Schauen wir doch jetzt einmal die anderen magischen Quadrate an, die Kornelius auf seinem Hinweis stehen hat. Diese müssen nämlich noch weiter gelöst werden. Wir wissen, dass die Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen 30 ergeben muss. Um das magische Quadrat auszufüllen, betrachten wir zunächst die Zeilen, Spalten oder Diagonalen, bei denen zwei Zahlen schon vorhanden sind. Beginnen wir hier also mit der untersten Zeile. Wir haben bereits die 13 und die 11. Addieren wir diese, so erhalten wir 24. Insgesamt soll die Summe dieser Zeile 30 ergeben. Wir können nun also 24 von 30 subtrahieren und erhalten 6. Dieses Kästchen können wir also mit 6 ausfüllen. Wir können nun mit dieser Spalte weitermachen, da wir hier nun auch zwei unserer Zahlen gegeben haben. 10 + 6 sind 16 und 30 - 16 sind 14. Fast gelöst. Machen wir weiter mit dieser Zeile. Wir können die Lösung auch nur mithilfe einer Rechnung finden, indem wir Klammern verwenden. Wir rechnen 30 minus in Klammern 9 +14. Da wir die Klammern zuerst berechnen, rechnen wir auch hier zunächst die Summe aus und subtrahieren dann. In dieses Kästchen tragen wir also die 7 ein. Berechnen wir nun diese Zeile, rechnen also 30 minus in Klammern 11 + 7 und tragen das Ergebnis ein so müssen wir nur noch den Wert für das letzte Kästchen berechnen. Wir rechnen 30 minus in Klammern 10 + 12 und das sind 8. Geschafft! Wir sind dem Rätsel um diesen Hinweis nun schon näher gekommen. Nur noch ein magisches Quadrat und dann erfahren wir endlich, an was für einem Fall Kornelius überhaupt arbeitet. Wie wir sehen hat dieses Quadrat aber 4 Kästchen in jeder Zeile und Spalte und dieses Mal müssen wir außerdem die Zaubersumme noch herausfinden. Da diese Spalte schon komplett ausgefüllt ist, können wir die Zahlen addieren und erhalten so die Summe. Wir rechnen also 9 + 8 + 2 + 15. Die Summe, die die Zeilen, Spalten und Diagonalen in diesem Quadrat ergeben muss, ist also 34. In dieser Zeile haben wir schon 3 Werte gegeben, also lass uns doch damit beginnen. Hier rechnen wir 34 minus in Klammern 16 + 9 + 3 und erhalten 6 und hier 34 minus in Klammern 1 + 11 + 8. Das sind 14. In dieser Spalte rechnen wir 34 minus in Klammern 16 + 1 + 7 und erhalten 10. Die Zahl für dieses Kästchen können wir mit dieser Rechnung herausfinden. Und die allerletzte Ziffer können wir so berechnen. Wir haben alle Rätsel gelöst! Bevor wir herausfinden, wozu dieser Hinweis Kornelius geführt hat, fassen wir das doch noch einmal zusammen. Bei einem magischen Quadrat ergeben die Summen der Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dasselbe Ergebnis. Diese Summe, die auch Zaubersumme genannt wird, notiert man meistens wie hier über dem Quadrat. Hat man ein magisches Quadrat mit Lücken gegeben, so kann man zunächst die Zeilen, Spalten und Diagonalen berechnen, bei denen alle Summanden bis auf einer gegeben sind. Dann kann man mithilfe der Lösungen weiterarbeiten. Hat man die Zaubersumme nicht gegeben, so kann man diese durch eine vollständig ausgefüllte Zeile, Spalte oder Diagonale berechnen. Was ist denn nun mit Kornelius Fall? Die Hausaufgaben sind jetzt auf jeden Fall gelöst.

2 Kommentare
  1. Coole Übungen und gut erklärt

    Von Sevgi Bebek, vor 7 Monaten
  2. Es macht soooooooooo ser Spaß👌😘

    Von Eelaa, vor 8 Monaten

Das magische Quadrat Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das magische Quadrat kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die fehlenden Zahlen des magischen Quadrats.

    Tipps

    Um die Zaubersumme herauszufinden, betrachtest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, die vollständig ausgefüllt ist. Dann addierst du alle Einträge zur Zaubersumme.

    Um die fehlende Zahl einer Zeile, Spalte oder Diagonale zu bestimmen, kannst du die beiden gegebenen Zahlen von der Zaubersumme abziehen.

    Lösung

    So sieht das fertige magische Quadrat aus. Du kannst es folgendermaßen berechnen:

    „Die Zaubersumme dieses magischen Quadrats berechnet er, indem er die untere Zeile addiert:

    $13+6+11=30$

    Die Zaubersumme beträgt also $30$.“

    • Um die Zaubersumme herauszufinden, betrachtest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, die vollständig ausgefüllt ist. Dann addierst du alle Einträge zur Zaubersumme.
    „Anschließend berechnet er den Eintrag in der Mitte der obersten Zeile.

    Dafür rechnet er: $30-(10+6) =14$“

    • Um diesen Eintrag zu berechnen, hat er sich die mittlere Spalte angeschaut, bei der bereits die Werte $10$ und $6$ gegeben waren.
    „Den Eintrag in der obersten Zeile ganz rechts können wir nun entweder anhand der Diagonalen bestimmen:

    $30-(13+10)=7$

    oder wir nutzen die oberste Zeile, in der schon zwei Summanden vorhanden sind:

    $30-(9+14)=7$

    Da bei beiden Rechnungen dieselbe Zahl rauskommen muss, ist das ein guter Test, ob du richtig gerechnet hast.“

    • Um die letzte Zahl einer Zeile, Spalte oder Diagonale zu bestimmen, kannst du die beiden gegebenen Zahlen von der Zaubersumme abziehen.
    „Anschließend berechnen wir den Eintrag in der Mitte links:

    $30-(13+9)=8$

    Und den Eintrag in der Mitte rechts:

    $30-(11+7)=12$“

    • Um ein magisches Quadrat zu lösen, betrachtest du nacheinander alle Zeilen, Spalten und Diagonalen, bei denen nur eine Zahl schon vorhanden sind und bestimmst die fehlenden Zahlen.
  • Ergänze das magische Quadrat.

    Tipps

    Du kannst das magische Quadrat vervollständigen, indem du zuerst die Zaubersumme und anschließend nacheinander die einzelnen Einträge bestimmst.

    Für den Eintrag links unten rechnest du:

    • $34-(16+1+7)=$
    Lösung

    Du kannst das magische Quadrat vervollständigen, indem du zuerst die Zaubersumme und anschließend nacheinander die einzelnen Einträge bestimmst. Die Zaubersumme kannst du anhand der obersten Zeile bestimmen:

    • $16+6+9+3=34$
    Anschließend kannst du den Eintrag links unten bestimmen:

    • $34-(16+1+7)=10$
    Für den fehlenden Eintrag in der zweiten Spalte erhältst du:

    • $34-(11+6+4)=13$
    Der obere Eintrag in der rechten Spalte lautet:

    • $34-(11+1+8)=14$
    Und für den Eintrag in der rechten Spalte und dritten Zeile gilt:

    • $34-(13+2+7)=12$
  • Ermittle den fehlenden Eintrag des magischen Quadrats.

    Tipps

    Um die Zaubersumme zu bestimmen, musst du eine Zeile, Spalte oder Diagonale finden, die komplett ausgefüllt ist. Anschließend summierst du alle Einträge dieser Zeile, Spalte oder Diagonalen.

    Lösung

    Um den fehlenden Eintrag zu finden, musst du zunächst die Zaubersumme bestimmen. Dazu musst du eine Zeile, Spalte oder Diagonale finden, die komplett ausgefüllt ist. Anschließend summierst du alle Einträge dieser Zeile, Spalte oder Diagonalen.

    Danach ziehst du die drei Einträge einer Zeile, Spalte oder Diagonalen, in der dein gesuchter Eintrag vorkommt von der Zaubersumme ab. So erhältst du:

    • Das Quadrat ganz links hat eine Zaubersumme von $23$. Der grüne Eintrag beträgt: $23-(11+5+4)=3$
    • Das nächste magische Quadrat hat eine Zaubersumme von $21$. Der grüne Eintrag beträgt: $21-(10+2+1)=8$
    • Die dritte Zaubersumme beträgt: $44$. Der grüne Eintrag beträgt: $44-(14+4+2)=24$
    • Das Quadrat ganz rechts hat eine Zaubersumme von $64$. Der grüne Eintrag beträgt: $64-(21+10+6)=27$
  • Ermittle die fehlenden Einträge des magischen Quadrats.

    Tipps

    Um das magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der ersten Zeile.

    Um einen fehlenden Eintrag in einer Zeile zu berechnen, subtrahierst du von der Zaubersumme (hier: $9+10+11=30$) die anderen beiden Einträge der Zeile, Spalte oder Diagonalen.

    Für den Eintrag in der ersten Zeile ganz rechts rechnest du also:

    $30-(9+14)=7$

    Lösung

    Um das kleine magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der ersten Zeile. Hier erhältst du:

    $8+1+6=15$

    Die Zaubersumme beträgt also $15$. Damit kannst du alle anderen Einträge bestimmen. Wir beginnen bei dem Eintrag links unten. Hier erhalten wir:

    $15-(8+3)=4$

    Damit erhalten wir für den mittleren Eintrag:

    $15-(4+6)=5$

    Und für rechts unten:

    $15-(8+5)=2$

    Der letzte Eintrag beträgt damit:

    $15-(2+6)=7$

    Auch um das große magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der ersten Zeile. Hier erhältst du:

    $1+1+12+7=21$

    Damit bestimmen wir die restlichen Einträge. Dazu finden wir eine Zeile, Spalte oder Diagonale in der alle Einträge bis auf einer ausgefüllt sind. Dann addieren wir alle vorhandenen Einträge und ziehen sie von der Zaubersumme ab. Hier ist das zum Beispiel die zweite Spalte von links. Wir erhalten:

    $21-(10+2+1)=8$

    Für den Eintrag in der ersten Spalte erhalten wir:

    $21-(11+4+1)=5$

    Für den Eintrag in der dritten Spalte und zweiten Zeile ergibt sich:

    $21-(10+4+7)=0$

    Für den anderen Eintrag in dieser Spalte erhalten wir:

    $21-(12+6+0)=3$

    Für die Einträge der letzten Spalte erhalten wir:

    $21-(11+8+0)=2$

    $21-(10+5+3)=3$

    $21-(4+2+6)=8$

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu magischen Quadraten.

    Tipps

    Kennst du das Ergebnis der Addition dreier Zahlen (z.B. $19$) und kennst außerdem zwei ihrer Summanden (z.B. $11$ und $2$), dann kannst du die letzte Zahl so bestimmen:

    $19-(11+2)=19-13=6$

    Bei diesem magischen Quadrat ist die Zaubersumme $15$.

    Bei diesem Quadrat würdest du zunächst die linke und mittlere Spalte ausfüllen. Für die linke Spalte rechnet man:

    $30-(9+13)=8$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei einem magischen Quadrat sind die Summen der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen jeweils unterschiedlich.“

    • Bei einem magischen Quadrat sind die Summen der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen genau gleich. Dies ist die Definition des magischen Quadrats.
    „Um ein magisches Quadrat zu lösen, betrachtest du nacheinander alle Zeilen, Spalten und Diagonalen, bei denen nur eine Zahl schon vorhanden sind und bestimmst die fehlenden Zahlen.“

    • Du betrachtest Zeilen, Spalten und Diagonalen, bei denen zwei Zahlen schon ausgefüllt sind. Kennst du die Zaubersumme, kannst du damit die fehlende Zahl bestimmen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Summe der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen heißt auch Zaubersumme.“

    „Um die Zaubersumme herauszufinden, betrachtest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale, die vollständig ausgefüllt ist. “

    • Da die Zaubersumme die Summe der einzelnen Zeilen, Spalten und Diagonalen ist, kannst du anhand einer vollständig ausgefüllten Zeile, Spalte oder Diagonale die Zaubersumme bestimmen.
    „Um die letzte Zahl einer Zeile, Spalte oder Diagonale zu bestimmen, kannst du alle gegebenen Zahlen von der Zaubersumme abziehen.“

  • Leite die fehlenden Einträge des magischen Quadrats ab.

    Tipps

    Hast du die Zaubersumme gefunden, kannst du die restlichen Einträge bestimmen. Dazu findest du eine Zeile, Spalte oder Diagonale in der alle Einträge bis auf einer ausgefüllt sind. Dann addierst du alle vorhandenen Einträge und ziehst sie von der Zaubersumme ab.

    Auch wenn hier negative Zahlen vorkommen, kannst du wie gewohnt vorgehen. Wenn zwei unterschiedliche Vorzeichen hintereinander vorkommen, bleibt ein Minus. Zum Beispiel gilt:

    $3+(-4)=3-4=-1$

    Lösung

    Um das magische Quadrat zu vervollständigen, musst du zuerst die Zaubersumme bestimmen. Dazu addierst du alle Einträge der letzten Zeile.

    Auch wenn hier negative Zahlen vorkommen, kannst du wie gewohnt vorgehen. Wenn zwei unterschiedliche Vorzeichen hintereinander vorkommen, bleibt ein Minus. Zum Beispiel gilt:

    $3+(-4)=3-4=-1$

    Mit diesem Wissen erhältst du für die Zaubersumme:

    $4-1+6+9=18$

    Damit bestimmen wir die restlichen Einträge. Dazu finden wir eine Zeile, Spalte oder Diagonale in der alle Einträge bis auf einer ausgefüllt sind. Dann addieren wir alle vorhandenen Einträge und ziehen sie von der Zaubersumme ab. Hier ist das zum Beispiel die Diagonale von links oben nach rechts unten. Wir erhalten:

    $18-(9+3-2)=18-10=8$

    Für den Eintrag in der ersten Spalte erhalten wir:

    $18-(7+1-2)=18-6=12$

    Für den Eintrag in der ersten Spalte und dritten Zeile ergibt sich:

    $18-(11+4-2)=5$

    Für den anderen Eintrag in dieser Zeile erhalten wir:

    $18-(10+3+5)=0$

    Für die anderen Einträge der zweiten Spalte erhalten wir:

    $18-(12+6+3)=-3$

    $18-(7+9+0)=2$