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Binomialverteilung - Definition 07:48 min

Binomialverteilung - Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilung - Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Überprüfe, welche Aussagen zu Binomialverteilungen wahr sind.

    Tipps

    Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette.

    Beim Münzwurf gibt es nur die zwei möglichen Ergebnisse „Kopf“ und „Zahl“.

    Lösung

    Die folgenden Antworten sind wahr:

    • „Eine Binomialverteilung tritt immer dann auf, wenn ein Bernoulli-Versuch mehrmals hintereinander ausgeführt wird.“ Tatsächlich ist die Binomialverteilung genau als diejenige Verteilung definiert, die auftritt, wenn ein Bernoulli-Versuch mehrmals hintereinander ausgeführt wird.
    • „Wirfst du eine Münze dreimal hintereinander, so unterliegen die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Anzahlen an „Kopf“-Würfen einer Binomialverteilung.“ Ein Münzwurf ist ein Bernoulli-Versuch, da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. Deshalb ergibt sich bei mehrfacher Ausführung eine Binomialverteilung.
    Die folgenden Antworten sind falsch:

    • „Eine Binomialverteilung tritt nur dann auf, wenn ein Zufallsexperiment ausgeführt wird, bei dem nur zwei Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit möglich sind.“ Wichtig ist nur, dass das Zufallsexperiment genau zwei Ergebnisse hat. Wie wahrscheinlich diese sind, spielt aber (für die Bezeichnung) keine Rolle.
    • „Bei einer Binomialverteilung gibt es nur zwei Ergebnisse.“ Es gibt bei den Bernoulli-Versuchen nur zwei Ergebnisse und deren Mehrfachausführung führt zu einer Binomialverteilung. Auch die Bezeichnung „Eine bestimmte Verteilung hat Ergebnisse“ ist unpräzise, besser ist: „Die Ergebnisse sind auf bestimmte Art verteilt“.
  • Gib wieder, unter welchen Bedingungen für ein Zufallsexperiment eine Binomialverteilung vorliegt.

    Tipps

    „Binomial“ stammt aus dem Lateinischen und bedeutet in etwa „zweinamig“.

    Eine besonders einfache Form eines Zufallsexperiments wird als Bernoulli-Versuch bezeichnet. Dabei hat der Zuvallsversuch nur zwei mögliche Ausgänge.

    Wahrscheinlichkeiten sind immer Zahlen, die im Intervall $[0;1]$ (also zwischen $0$% und $100$%) liegen.

    Lösung

    „Ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnisse binomialverteilt sind, kann stets als Bernoulli-Kette aufgefasst werden. Das bedeutet, dass ein Bernoulli-Versuch mehrmals hintereinander ausgeführt wird.
    Dabei gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse, die mit den Wahrscheinlichkeiten $p$ und $1-p$ eintreten können.“

    • Ein Bernoulli-Versuch ist die einfachste Form eines Zufallsexperiments, da es hier nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. Diese zwei Ergebnisse treten mit den Wahrscheinlichkeiten $p$ (Treffer) und $1-p$ (Niete) ein; zusammen ergeben ihre Wahrscheinlichkeiten also $p+1-p=1$ (wie bei jedem Zufallsexperiment).
    „Sei $n$ die Zahl der Versuche und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit. Jeder einzelne Pfad mit $k$ Treffern durch den Wahrscheinlichkeitsbaum hat dann für sich genommen folgende Eintrittswahrscheinlichkeit:

    $p^k(1-p)^{n-k}$“

    • Entlang eines Pfads im Wahrscheinlichkeitsbaum werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Um nach $n$ Versuchen $k$ Treffer erzielt zu haben, müssen wir einem Pfad gefolgt sein, auf dem wir genau $k$ mal in Richtung Treffer abgebogen sind (mit Wahrscheinlichkeit $p$) und die anderen $(n-k)$ mal in Richtung Niete (mit Wahrscheinlichkeit $1-p$). Wir müssen also die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $k$ mal mit sich selbst multiplizieren (also $p^k$) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete $(n-k)$ mal mit sich selbst multiplizieren (also $(1-p)^{n-k}$). Dann müssen wir nur noch beide Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Pfad mit $k$ Treffern zu erhalten.
    „Da es aber in der Regel mehrere Möglichkeiten gibt, nach $n$ Versuchen $k$ Treffer zu erzielen, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für $k$ Treffer gegeben durch:

    $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$“

    • Da es nicht nur einen möglichen Pfad mit $k$ Treffern gibt, müssen wir jetzt noch die Wahrscheinlichkeiten aller dieser Pfade addieren. Da ihre Wahrscheinlichkeiten aber alle gleich sind, müssen wir dafür lediglich herausfinden, wie viele Pfade mit $k$ Treffern es gibt. Anders gesagt wollen wir wissen, wie viele Möglichkeiten wir haben, $k$ Treffer auf $n$ Versuche zu verteilen - und diese Zahl ist genau der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$.
    „Damit gilt für eine binomialverteilte Zufallsgröße $k$ folgende Formel:

    $B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

    Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Bernoulli-Versuch, der $n$ mal ausgeführt wird und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ hat, genau $k$ Treffer zu erzielen.“

  • Leite die Formel für die Binomialverteilung her.

    Tipps

    Als Erstes solltest du dir darüber im Klaren sein, unter welchen Bedingungen eine Binomialverteilung überhaupt auftritt.

    Lösung

    Die Textabschnitte stehen in der folgenden Reihenfolge:

    • Wir betrachten eine sogenannte Bernoulli-Kette. So bezeichnen wir die $n$-fache Ausführung ein und desselben Bernoulli-Versuchs, also eines Versuchs, bei dem nur zwei Ergebnisse eintreten können. Diese haben die Wahrscheinlichkeiten $p$ (Treffer) und $1-p$ (Niete).
    • Wir wollen dabei untersuchen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei $n$-facher Ausführung des Versuchs mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ genau $k$ Treffer zu erzielen.
    • Folgen wir einem beliebigen Pfad im Wahrscheinlichkeitsbaum, so müssen wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass genau dieser Pfad gewählt wird. Wenn der Pfad $k$ Treffer hat, dann müssen wir entlang des Pfades genau $k$ mal „Treffer“ und $n-k$ mal „Niete“ gewählt haben.
    • Wir multiplizieren also die Wahrscheinlichkeit für „Treffer“ $k$ mal mit sich selbst und erhalten $p^k$. Außerdem multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeit für „Niete“ $n-k$ mal mit sich selbst und erhalten $(1-p)^{n-k}$. Multiplizieren wir noch beide Wahrscheinlichkeiten zusammen, erhalten wir also $p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.
    • Da es insgesamt $\binom{n}{k}$ Pfade mit $k$ Treffern gibt, multiplizieren wir dieses Ergebnis noch mit $\binom{n}{k}$. Damit erhalten wir die Formel für die Binomialverteilung: $B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k}$. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, bei einem Bernoulli-Versuch mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$, der $n$ mal hintereinander ausgeführt wird, genau $k$ Treffer zu erzielen.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der Ergebnisse in einer Binomialverteilung auftreten.

    Tipps

    Die mehr oder weniger willkürliche Festlegung, welches Ereignis als „Treffer“ oder „Niete“ bezeichnet wird, ist nicht immer vorgegeben. In diesen Fällen kannst du immer dasjenige Ereignis, dessen Eintreten du zählst, als „Treffer“ ansehen, und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ entsprechend berechnen.

    Die Formel für eine binomialverteilte Zufallsgröße lautet

    $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

    Lösung

    „In einer undurchsichtigen Schüssel befinden sich insgesamt $150$ Kugeln, von denen $30$ grün sind. Du ziehst nacheinander $15$ zufällige Kugeln, notierst ihre Farbe und legst sie direkt wieder zurück, bevor du die nächste Kugel ziehst.

    Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du genau $3$ grüne Kugeln ziehst.“

    Uns interessieren hier die Farben der anderen Kugeln nicht. Deshalb gibt es nur die Ergebnisse „grün“ und „nicht grün“, weswegen es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt und wir mit der Binomialverteilung rechnen können.
    Der Versuch (das Kugelziehen) wird insgesamt $15$ mal durchgeführt, also ist $n=15$. Wir untersuchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $k=3$ grüne Kugeln gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel ist durch $\frac{30}{150}=20\%$ gegeben. Für die Berechnung verwenden wir folgende Formel:

    $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

    Damit ergibt sich $P(X=k)\approx 25\%$.

    „Auf einem senkrecht aufgestellten Brett sind in einer dreieckigen Form Nägel angebracht, und zwar so, dass ein Ball, der auf den obersten Nagel prallt, mit jeweils $50$-prozentiger Wahrscheinlichkeit nach rechts oder nach links weiterfällt. Weiter unten trifft er auf den nächsten Nagel, von dem er ebenfalls mit jeweils $50$-prozentiger Wahrscheinlichkeit nach rechts oder nach links weiterfällt (Galton-Brett). Diesen Prozess durchläuft der Ball $9$ mal und fällt dann, je nachdem welchen Pfad er durchlaufen hat, in einen von $10$ Auffangbehältern am unteren Ende des Brettes. Das Ergeignis „Ball fällt an einem Nagel nach links“ bezeichnen wir als Treffer.

    Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Ball im dritten Behälter von links landet.“

    Der Ball kann insgesamt $9$ mal entweder nach rechts oder nach links fallen, also ist $n=9$. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist jeweils $p=50\%$. Damit der Ball in den dritten Behälter von links fällt, muss er genau zweimal nach rechts fallen und die restlichen $k=7$ mal nach links. Mit diesen Werten ergibt sich die Wahrscheinlichkeit von $P(X=k)\approx 7\%$.
    Das Galton-Brett ist sehr gut dafür geeignet, eine Binomialverteilung (speziell eine solche, bei der beide Ergebnisse des zugrundeliegenden Bernoulli-Versuchs gleich wahrscheinlich sind) zu veranschaulichen. Ein Ball, der einen Pfad mit $k$ Treffern (bzw. $k$ mal links und sonst nach rechts) durchläuft, wird immer im gleichen Auffangbehälter landen; egal, welchen der $\binom{n}{k}$ Pfade mit $k$ Treffern er durchlaufen hat. Wirft man also eine riesige Zahl an Bällen in das Brett, so werden sie die Auffangbehälter so füllen, dass die Säulen aus Bällen (näherungsweise) die Binomialverteilung für $p=50\%$ darstellen.

    „In Deutschland gab es im Jahr 2014 etwa $700000$ Geburten. Dabei kamen etwa $13000$ Mal Zwillinge zur Welt.

    Eine Hebamme hat in diesem Jahr $70$ Geburten betreut. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie genau $2$ Zwillingsgeburten betreut hat.“

    Die Hebamme hat bei insgesamt $n=70$ „Zufallsexperimenten“ mitgewirkt, bei denen sie jedes mal mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{13000}{700000}\approx 2\%$ eine Zwillingsgeburt betreut hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie bei genau $k=2$ Zwillingsgeburten dabei war, ist dann $P(X=k) \approx 10\%$.

  • Ermittle diejenigen Ereignisse, deren Ergebnisse binomialverteilt sind.

    Tipps

    Versuche die jeweiligen Zufallsexperimente auf Bernoulli-Ketten zurückzuführen.

    Bernoulli-Versuche müssen nicht zwangsweise hintereinander ausgeführt werden, um zu einer Binomialverteilung zu führen. Unter ganz bestimmten Bedingungen ist es auch möglich, mehrere Bernoulli-Versuche gleichzeitig auszuführen und trotzdem eine Binomialverteilung zu erhalten.

    Lösung

    Wir bezeichnen die Anzahl der Versuche mit $n$, die zu untersuchende (festgelegte) Trefferzahl mit $k$ und die tatsächlich erzielte Trefferzahl (also die Zufallsgröße) mit $X$.

    Bei den folgenden Versuchen unterliegt die Zufallsgröße einer Binomialverteilung:

    Du wirfst eine Münze $1000$ Mal und möchtest vorher wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass du genau $482$-mal „Kopf“ wirfst.

    • Der Münzwurf hat nur zwei mögliche Ergebnisse, ist also ein Bernoulli-Versuch. Er wird $n=1000$ mal hintereinander ausgeführt und es wird die Wahrscheinlichkeit dafür untersucht, dass die tatsächliche Trefferzahl (wobei Kopf=Treffer gilt) genau $482$ beträgt, also $X=k=482$. Hier liegt eine Bernoulli-Kette und damit auch eine Binomialverteilung vor. (Wahrscheinlichkeit zum Nachrechnen: $P(X=482)\approx 0,013$)
    In einem Raum befinden sich $10$ Personen. Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass genau $2$ dieser Personen in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben (oder hatten).

    • Dieser Versuch mündet vielleicht nicht ganz so eindeutig in einer Binomialverteilung. Du kannst dir allerdings vorstellen, dass du die $n=10$ Personen einfach nacheinander fragst, ob sie in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben oder hatten. Jede von ihnen wird (näherungsweise) mit der Wahrscheinlichkeit $p=2/7$ mit Ja antworten bzw. mit der Wahrscheinlichkeit $1-p=5/7$ mit Nein. Es liegt also auch hier eine Bernoulli-Kette vor und $k=2$. (Wahrscheinlichkeit zum Nachrechnen: $P(X=2)\approx 0,249$)
    Bei den anderen Versuchen liegt aus verschiedenen Gründen keine Binomialverteilung vor:

    • Beim Würfeln liegt beispielsweise kein Bernoulli-Versuch vor, da Treffer und Niete nicht eindeutig definiert sind. Welche Zahlen benötigt werden, um das Ziel zu erreichen, hängt außerdem von den vorangegangenen Würfen ab.
    • Beim Loseziehen ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem gezogenen Los, da wir ohne Zurücklegen ziehen. Beispiel: Zu Beginn gibt es $1000$ Lose, $15$ davon sind Treffer; die Trefferwahrscheinlichkeit ist also $15/1000$. Ziehst du im ersten Versuch eine Niete, sind nur noch $999$ Lose im Topf; die Trefferwahrscheinlichkeit beim zweiten Los ist also nun $15/999$.
    • Das Lottoziehen lässt sich nicht wirklich sinnvoll in eine Versuchskette zerlegen, geschweige denn in eine Bernoulli-Kette.
  • Erschließe aus der gegebenen Formel den Ablauf des beschriebenen Zufallsexperiments.

    Tipps

    Die allgemeine Formel für eine Binomialverteilung lautet:

    $P(x)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

    Ordne den Zahlen zunächst ihre Bedeutung zu und finde dann heraus, welche der fehlenden Zahlen im Text diese Bedeutung einnehmen.

    • $n$: Anzahl der durchgeführten Bernoulli-Versuche
    • $k$: Anzahl der Treffer
    • $p$: Trefferwahrscheinlichkeit
    Lösung

    Die allgemeine Formel für die Binomialverteilung lautet:

    $P(x)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

    Dabei ist $n$ die Anzahl der durchgeführten Bernoulli-Versuche, $k$ die Anzahl der Treffer und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit. Wir können die gegebenen Formeln jetzt damit vergleichen und so herausfinden, welche Zahlen jeweils welche Größe darstellen.

    1) Formel: $P(x)=\binom{10}{3}\cdot 0,3^3\cdot 0,7^7$

    Hier gilt also $n=10$ und $k=3$. Dementsprechend muss $p=0,3$ sein, da hier im Exponenten die Trefferanzahl ($k=3$) steht. Der letzte Faktor entspricht dem Term $(1-p)^{n-k}$, da $1-p=0,7$ und $n-k=7$ gilt. Jetzt müssen wir diese Zahlen nur noch im Text unterbringen: Da die Trefferwahrscheinlichkeit $0,3$ und die Nietenwahrscheinlichkeit $0,7$ ist und wir wissen, dass die roten Kugeln als Treffer gelten, müssen bei $70$ blauen Kugeln genau $30$ rote Kugeln in der Urne sein. Aus dieser Urne ziehst du $n=10$ Kugeln, von denen $k=3$ Treffer sein sollen. Es ergibt sich also:

    „In einer undurchsichtigen Urne befinden sich insgesamt $70$ blaue und $30$ rote Kugeln, die du vor dem Ziehen nicht voneinander unterscheiden kannst. Du ziehst zufällig $10$ Kugeln aus dieser Urne und möchtest die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass genau $3$ davon rot (Treffer) sind.“

    2) Formel: $P(x)=\binom{494}{470}\cdot 0,95^{470}\cdot 0,05^{24}$

    Hier gilt $n=494$ und $k=470$. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist dementsprechend $p=0,95$, da auch hier wieder $k$ im Exponenten stehen muss; die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist also $0,05$.
    Da $5\%$ mehr Tickets verkauft werden, als es Sitzplätze gibt, werden insgesamt $470\cdot 1,05 = 493,5\approx 494$ Tickets verkauft. Der Text lässt sich dann so übersetzen, dass du die Wahrscheinlichkeit berechnen musst, bei $494$ Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit $0,95$ genau $470$ Treffer zu erzielen. Es ergibt sich:

    „Eine Airline verkauft für jeden Flug $5\%$ mehr Tickets, als sie Sitzplätze hat (und rundet dabei natürlich auf ganze Sitzplatzzahlen). Jeder Kunde, der ein Ticket kauft, erscheint mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,05$ nicht zu seinem Flug (Niete).
    Eine Boeing 747 hat $470$ Sitzplätze und wird auf einem Langstreckenflug verwendet; dementsprechend werden $494$ Tickets verkauft. Du willst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass genau so viele Passagiere den Flug antreten, wie es Sitzplätze gibt.“