Beziehungen und Verknüpfungen von Ereignissen

Beziehungen und Verknüpfungen von Ereignissen Übung

• Gib die mathematischen Schreibweisen für die jeweiligen Beziehungen zwischen den Ereignissen $A$ und $B$ an.

  Tipps

  Zwei Ereignisse sind dann kausal äquivalent, wenn sie sich gegenseitig bedingen.

  $A\Rightarrow B$ bedeutet:

  Immer, wenn Ereignis $A$ eintritt, tritt auch Ereignis $B$ ein — aber nicht zwangsläufig umgekehrt.

  Lösung

  Wenn du die Beziehungen und Verknüpfungen von Ereignissen untersuchen möchtest, so ist es von Vorteil, die passenden mathematischen Ausdrücke zu kennen. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ können auf verschiedene Arten kausal zusammenhängen.

  • Sie könnten sich gegenseitig bedingen. Dann sind sie kausal äquivalent.
  • Sie könnten sich gegenseitig nicht ausschließen, aber auch nicht bedingen. Dann sind sie kausal unabhängig.
  • Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ eintritt — aber nicht zwangsläufig umgekehrt. Dann bedingt Ereignis $A$ das Ereignis $B$ kausal.
  • Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ nicht eintritt, und umgekehrt. Dann schließen sich die Ereignisse $A$ und $B$ kausal aus.

  Die mathematischen Ausdrücke sind dann wie folgt gegeben.

  $A\Leftrightarrow B$: $\quad A$ und $B$ sind kausal äquivalent.

  $A\nLeftarrow B$: $\quad A$ ist kausal unabhängig von $B$.

  $A\Rightarrow B$: $\quad A$ bedingt $B$ kausal.

  $A\otimes B$: $\quad A$ und $B$ schließen sich kausal aus.

• Bestimme die Beziehungen der gegebenen Ereignisse.

  Tipps

  Zwei Ereignisse $A$ und $B$, die sich gegenseitig nicht ausschließen, aber auch nicht bedingen, sind kausal unabhängig. Dann gilt sowohl $A\nRightarrow B$ als auch $A\nLeftarrow B$.

  Wenn Ereignis $B$ nur dann eintreten kann, wenn Ereignis $A$ eintritt, so sagt man, dass Ereignis $A$ Ereignis $B$ kausal bedingt — aber das gilt umgekehrt nicht zwangsläufig. Wir schreiben dann $A\Rightarrow B$.

  Dem König ist Folgendes bekannt:

  • Jeden Morgen betrachtet die Prinzessin aus ihrem Fenster den Sonnenaufgang. Die Prinzessin kann also aus dem Fenster blicken, ohne dass Hieronymus seine Audienz hat.
  • Zudem kann Hieronymus seine Audienz haben, ohne dass die Prinzessin aus dem Fenster blickt.
  • ABER beide Ereignisse könnten auch gleichzeitig eintreten.

  Lösung

  Bevor wir die gegebenen Beispiele betrachten, fassen wir zunächst zusammen, welche Beziehungen zwischen zwei Ereignissen vorliegen können. Im Folgenden sind diese mit den dazugehörigen mathematischen Schreibweisen aufgeführt.

  • $A\Leftrightarrow B$: $\quad A$ und $B$ sind kausal äquivalent.
  • $A\nLeftarrow B$: $\quad A$ ist kausal unabhängig von $B$.
  • $A\Rightarrow B$: $\quad A$ bedingt $B$ kausal.
  • $A\otimes B$: $\quad A$ und $B$ schließen sich kausal aus.

  Nun wenden wir uns an die gegebenen Ereignisse.

  Beispiel 1

  Gegeben sind die Ereignisse:

  • $A$: König sein
  • $B$: die Königskrone besitzen

  Man kann kein König sein, ohne die Krone zu besitzen. Denn man bekommt bei der Krönung die Krone und behält sie, solange man König ist. Auch kann man die Krone nicht besitzen, ohne König zu sein. Denn der Besitzer der Krone ist automatisch der König, so will es das Gesetz.

  Die beiden Ereignisse $A$ und $B$ bedingen sich also gegenseitig. Sind zwei Ereignisse kausal äquivalent, so schreiben wir:

  • $A\Leftrightarrow B$.

  Beispiel 2

  Gegeben sind die Ereignisse:

  • $A$: Schwert besitzen
  • $B$: Schwert aus einem Stein ziehen

  Aus der Tatsache, dass man ein Schwert besitzt, folgt noch lange nicht, dass man dieses aus einem Stein zog. Schließlich hätte man es ebenso bei einem Schwerthändler kaufen können. Das Ereignis $A$ bedingt also nicht das Ereignis $B$. ABER umgekehrt bedingt das Ereignis $B$ das Ereignis $A$ kausal. Denn zieht man ein Schwert aus einem Stein, so besitzt man ein Schwert.

  Das Ereignis $B$ bedingt also das Ereignis $A$ – aber das gilt umgekehrt nicht zwangsläufig. Wir schreiben dann:

  • $A\Leftarrow B$ und
  • $A\nRightarrow B$.

  Beispiel 3

  Gegeben sind die Ereignisse:

  • $A$: Hieronymus kommt zur Audienz.
  • $B$: Die Prinzessin blickt aus dem Fenster.

  Die Prinzessin kann aus dem Fenster blicken, ohne dass Hieronymus seine Audienz hat. Zudem kann Hieronymus seine Audienz haben, ohne dass die Prinzessin aus dem Fenster blickt. ABER beide Ereignisse könnten durchaus auch gleichzeitig eintreten.

  Somit sind die Ereignisse $A$ und $B$ kausal unabhängig voneinander und wir schreiben:

  • $A\nLeftarrow B$ und
  • $A\nRightarrow B$.

  Beispiel 4

  Gegeben sind die Ereignisse:

  • $A$: Hieronymus hat den Drachen besiegt.
  • $B$: Der Drache treibt immer noch sein Unwesen.

  Diese beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus! Denn hätte Hieronymus den Drachen besiegt, so könnte dieser nicht immer noch sein Unwesen treiben. Tut er dies, so kann Hieronymus den Drachen nicht besiegt haben.

  Die Ereignisse $A$ und $B$ schließen sich gegenseitig kausal aus und wir schreiben:

  • $A\otimes B$.

• Erkläre die Bedeutung der Beziehung zwischen den Ereignissen $A$ und $B$.

  Tipps

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind kausal unabhängig voneinander.

  Man schreibt $A\nRightarrow B$ und $A\nLeftarrow B$.

  Eine Person kann männlich sein, ohne Gitarre zu spielen. Auch muss eine Person, die Gitarre spielt, nicht zwingend männlich sein.

  Lösung

  Im Folgenden betrachten wir die zwei Ereignisse

  • $A$: Eine Person ist männlich und
  • $B$: Eine Person spielt Gitarre,

  welche kausal unabhängig sind. Doch was bedeutet das? Schauen wir uns diese beiden Ereignisse mal genauer an.

  • Eine Person kann männlich sein, ohne Gitarre zu spielen.
  • Auch muss eine Person, die Gitarre spielt, nicht zwingend männlich sein.
  • Aber es ist natürlich möglich, dass eine männliche Person Gitarre spielt.
  • Auch kann es sein, dass eine Person weder männlich ist, noch Gitarre spielt.

  Was fällt uns also auf?

  • Durch das Eintreten von Ereignis $A$ wird das Eintreten von Ereignis $B$ weder bedingt noch ausgeschlossen.
  • Ebenso wird durch das Eintreten von Ereignis $B$ das Eintreten von Ereignis $A$ weder bedingt noch ausgeschlossen.
  • Daher könnte es sein, dass die Ereignisse $A$ und $B$ gleichzeitig eintreten.
  • Es könnte aber auch weder Ereignis $A$ noch Ereignis $B$ eintreten.

  Diese Beziehung nennen wir kausal unabhängig und schreiben:

  • $A\nRightarrow B$ und
  • $A\nLeftarrow B$.

• Ermittle die Beziehungen und Verknüpfungen zwischen den gegebenen Ereignissen.

  Tipps

  $A\otimes B$ bedeutet, dass Ereignis $A$ und Ereignis $B$ sich kausal ausschließen.

  Bedingen sich die Ereignisse gegenseitig, so sind diese kausal äquivalent. Wir schreiben dann $A\Leftrightarrow B$.

  Tritt Ereignis $B$ ein, sofern Ereignis $A$ eintritt — aber nicht zwangsläufig umgekehrt – so bedingt Ereignis $A$ das Ereignis $B$ kausal. Es gilt:

  $A\Rightarrow B$ und
  $A\nLeftarrow B$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe betrachten wir die folgenden Ereignisse:

  $A$: An der Fahrradführerschein-Prüfung teilgenommen
  $B$: Fahrradführerschein-Prüfung bestanden

  $C$: Fußballteam spielt im Viertelfinale
  $D$: Fußballteam hat im Achtelfinale gewonnen

  Diese untersuchen wir nun bezüglich ihrer Beziehungen und Verknüpfungen zueinander.

  Fahrradführerschein-Prüfung

  Nimmt man an einer Fahrradführerschein-Prüfung teil, so heißt es noch lange nicht, dass man diese auch besteht. Ereignis $A$ ist also kausal unabhängig von Ereignis $B$. Wir schreiben dann $A\nRightarrow B$.

  Hat man die Fahrradführerschein-Prüfung jedoch bestanden, so muss man an dieser teilgenommen haben, sodass $B\Rightarrow A$ gilt. Das heißt, dass das Ereignis $B$ das Ereignis $A$ kausal bedingt.

  Fußballteam

  Ein Fußballteam, das im Achtelfinale gewonnen hat, kommt ins Viertelfinale. Das bedeutet, dass ein Fußballteam, das im Viertelfinale spielt, im Achtelfinale gewonnen haben muss. Diese Ereignisse sind also kausal äquivalent und wir schreiben $A\Leftrightarrow B$.

• Beschreibe die gegebenen Beziehungen und Verknüpfungen zwischen Ereignissen.

  Tipps

  Die folgenden beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus:

  • $A$: Felix war heute um 14:00 Uhr im Kino und
  • $B$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule.

  Ereignis $C$ und $D$ sind kausal unabhängig:

  • $C$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule und
  • $D$: Felix hat heute um 14:00 Uhr geschlafen.

  Lösung

  Es sind folgende Beziehungen und Verknüpfungen zwischen Ereignissen möglich:

  • Sie könnten sich gegenseitig bedingen. Dann sind sie kausal äquivalent.
  • Sie könnten sich gegenseitig nicht ausschließen, aber auch nicht bedingen. Dann sind sie kausal unabhängig.
  • Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ eintritt — aber nicht zwangsläufig umgekehrt. Dann bedingt Ereignis $A$ das Ereignis $B$ kausal.
  • Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ nicht eintritt und umgekehrt. Dann schließen sich die Ereignisse $A$ und $B$ kausal aus.

  Je ein Beispiel soll diese Beziehungen verdeutlichen.

  $A$ und $B$ sind kausal äquivalent

  • $A$: Lena hat in der Prüfung alle Aufgaben richtig bearbeitet
  • $B$: Lena hat eine 1+ in der Prüfung

  $C$ und $D$ sind kausal unabhängig

  • $C$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule
  • $D$: Felix hat heute um 14:00 Uhr geschlafen

  $E$ bedingt $F$ kausal

  • $E$: Die Patrone ist leer
  • $F$: Der Füller schreibt nicht mehr

  $G$ und $H$ schließen sich gegenseitig aus

  • $G$: Felix war heute um 14:00 Uhr im Kino
  • $H$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule

• Prüfe die Aussagen bezüglich ihrer Richtigkeit.

  Tipps

  Wenn ein Ereignis $M$ ein Ereignis $N$ kausal bedingt, so tritt $N$ nur dann ein, wenn $M$ eingetreten ist. Man schreibt dann $M\Rightarrow N$.

  Nicht immer, wenn es schneit, bleibt auch Schnee liegen.

  Lösung

  Hier untersuchen wir die Beziehungen und Verknüpfungen folgender Ereignisse

  $A$: Es hat geschneit,
  $B$: Es liegt Schnee und
  $C$: Kinder rodeln.

  Nicht immer, wenn es schneit, bleibt auch Schnee liegen.

  • Es gilt: $A\nRightarrow B$.

  Wenn jedoch Schnee liegt, dann muss es irgendwann einmal geschneit haben.

  • Damit folgt: $A\Leftarrow B$.

  Kinder können nur rodeln, wenn Schnee liegt.

  • Es ist also: $B\Leftarrow C$.

  Aber nur weil es schneit, können Kinder noch lange nicht rodeln.

  • Es gilt: $A\nRightarrow C$.

  Auch nur weil Schnee liegt, müssen die Kinder nicht zwingend rodeln.

  • Es gilt: $B\nRightarrow C$.