Transkript Beweise mit den Additionssätzen führen (2)
In diesem Video zeigen wir dir, wie du die trigonometrische Identität Sinus von drei alpha mithilfe des Additionssatzes Sinus von alpha plus beta herleitest.
Die Identität lautet Sinus von drei alpha gleich drei mal Sinus alpha minus vier mal Sinus hoch drei von alpha. Wenn wir für alpha 30° einsetzen, dann erhalten wir sinus von 3 mal 30 Grad ist gleich 3 mal sinus von 30 Grad minus 4 mal sinus hoch drei von 30 Grad. Stimmt die Gleichung?
Wir schauen uns zunächst die linke Seite der Gleichung an. Der Sinus aus 3 mal 30 ° ist gleich dem Sinus aus 90°, welcher bekanntlich den Wert 1 hat. Bei der rechten Seite der Gleichung müssen wir wissen, dass der Sinus von 30° gleich ½ ist. Wir erhalten 3 mal sinus aus 30 Grad - 4 mal sinus hoch drei von 30 Grad sind gleich 3 mal ½ - 4 mal ½ hoch drei. Zusammengefasst ergibt das gleich 1.
Die linke Seite der Gleichung stimmt also mit der rechten Seite überein. Die trigonometrische Identität gilt somit für alpha gleich 30 Grad. Um zu beweisen, dass die Gleichung für jeden beliebigen Winkel stimmt, musst du sie aus schon bekannten Sätzen herleiten.
Wenn du es erstmal selbst probieren willst, hier ein paar Tipps: Du brauchst den ersten Additionssatz der Trigonometrie sowie die Identitäten für Sinus von zwei alpha, Kosinus von zwei alpha sowie Kosinus Quadrat von alpha, die du im Tafelwerk findest.
Der erste Additionssatz der Trigonometrie
Den ersten Additionssatz der Trigonometrie hast du bestimmt schon drauf, oder? Sinus von alpha plus beta ist gleich Sinus alpha mal Kosinus beta + Kosinus alpha mal Sinus beta.
Der Additionssatz Sinus alpha plus beta hilft dir beim Beweisen der Identität Sinus von 3 alpha = drei mal Sinus alpha minus vier mal Sinus hoch drei von alpha weiter.
In der Herleitung wirst du zudem die Identität für Sinus von zwei alpha benutzen. Diese lautet Sinus von zwei alpha gleich 2 mal Sinus alpha mal Kosinus alpha. Außerdem brauchst du diese Identität: Kosinus von zwei alpha ist gleich eins minus zwei Sinus quadrat von alpha.
Ebenfalls im Tafelwerk steht eine der wichtigsten Identitäten: Sinus Quadrat von alpha plus Kosinus Quadrat von alpha ist gleich eins. Umgestellt nach Kosinus Quadrat alpha ergibt sich Kosinus Quadrat alpha ist gleich eins minus Sinus Quadrat alpha. Diese Form benötigst du ebenfalls gleich.
Die Vorgehensweise in diesem Beweis ist ähnlich wie in der Herleitung der Identität für den Sinus von zwei alpha. Du schreibst den Term drei alpha als Summe, nämlich zwei alpha plus alpha. Also kannst du auch den Sinus von drei alpha ausdrücken als Sinus von zwei alpha plus alpha.
Jetzt wendest du den Additionssatz an: Statt der Winkel alpha und beta setzt du hier die Winkel zwei alpha und alpha ein: sinus von zwei alpha plus alpha ist gleich Sinus von zwei alpha mal Kosinus alpha plus Kosinus von zwei alpha mal Sinus von Alpha.
Für Sinus von zwei alpha kannst du die Identität einsetzen, die du schon kennst: zwei mal sinus alpha mal Kosinus alpha. Kosinus alpha mal Kosinus alpha ist Kosinus quadrat von alpha. Kosinus von zwei alpha ersetzt du ebenfalls mit der Identität, die hier schon notiert wurde: eins minus 2 mal sinus quadrat alpha. Achte darauf, die Klammern zu setzen, da der gesamte Term mit sinus alpha multipliziert wird. Durch das Ausmultiplizieren erhältst du sinus alpha minus zwei mal sinus hoch drei von alpha.
Im letzten Schritt ersetzt du Kosinus Quadrat alpha mit eins minus Sinus Quadrat alpha. Denk’ wieder daran, die Klammern zu setzen. Jetzt brauchst du nur noch auszurechnen und zusammenzufassen: Links schreibst du statt zwei alpha plus alpha wieder drei alpha. Ausmultiplizieren ergibt rechts zwei Sinus alpha minus zwei sinus hoch drei alpha plus Sinus alpha minus zwei sinus hoch drei alpha.
Zussamengefasst drei mal Sinus alpha minus vier mal Sinus hoch 3 von alpha. Damit hast du die Identität für Sinus von drei alpha hergeleitet.
Wir haben nun gemeinsam die Identität für Sinus von drei alpha hergeleitet. Je mehr du übst, desto einfacher wird es nächstes Mal, selbst auf die Lösungen zu kommen. Viel Erfolg!
Videobeschreibung
In diesem Video wird dir erklärt, wie du die trigonometrische Identität sin( 3alpha ) = 3sin( alpha ) - 4sin^3( alpha ) herleiten kannst. Du wirst dabei das erste Additionstheorem der Trigonometrie verwenden und außerdem mit anderen trigonometrischen Identitäten arbeiten. Jeder Schritt hin zur Lösung wird dir kleinschrittig erklärt, sodass du zu jedem Zeitpunkt den Lösungsweg verfolgen kannst. Viel Spaß beim Beweis!
Der Tutor:
Arbeitsblätter zum Video
