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Beweise mit den Additionssätzen führen (2)

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Mathe-Team
Beweise mit den Additionssätzen führen (2)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Beweise mit den Additionssätzen führen (2)

In diesem Video wird dir erklärt, wie du die trigonometrische Identität sin( 3alpha ) = 3sin( alpha ) - 4sin3( alpha ) herleiten kannst. Du wirst dabei das erste Additionstheorem der Trigonometrie verwenden und außerdem mit anderen trigonometrischen Identitäten arbeiten. Jeder Schritt hin zur Lösung wird dir kleinschrittig erklärt, sodass du zu jedem Zeitpunkt den Lösungsweg verfolgen kannst. Viel Spaß beim Beweis!

Transkript Beweise mit den Additionssätzen führen (2)

In diesem Video zeigen wir dir, wie du die trigonometrische Identität Sinus von drei alpha mithilfe des Additionssatzes Sinus von alpha plus beta herleitest.

Die Identität lautet Sinus von drei alpha gleich drei mal Sinus alpha minus vier mal Sinus hoch drei von alpha. Wenn wir für alpha 30° einsetzen, dann erhalten wir sinus von 3 mal 30 Grad ist gleich 3 mal sinus von 30 Grad minus 4 mal sinus hoch drei von 30 Grad. Stimmt die Gleichung?

Wir schauen uns zunächst die linke Seite der Gleichung an. Der Sinus aus 3 mal 30 ° ist gleich dem Sinus aus 90°, welcher bekanntlich den Wert 1 hat. Bei der rechten Seite der Gleichung müssen wir wissen, dass der Sinus von 30° gleich ½ ist. Wir erhalten 3 mal sinus aus 30 Grad - 4 mal sinus hoch drei von 30 Grad sind gleich 3 mal ½ - 4 mal ½ hoch drei. Zusammengefasst ergibt das gleich 1.

Die linke Seite der Gleichung stimmt also mit der rechten Seite überein. Die trigonometrische Identität gilt somit für alpha gleich 30 Grad. Um zu beweisen, dass die Gleichung für jeden beliebigen Winkel stimmt, musst du sie aus schon bekannten Sätzen herleiten.

Wenn du es erstmal selbst probieren willst, hier ein paar Tipps: Du brauchst den ersten Additionssatz der Trigonometrie sowie die Identitäten für Sinus von zwei alpha, Kosinus von zwei alpha sowie Kosinus Quadrat von alpha, die du im Tafelwerk findest.

Der erste Additionssatz der Trigonometrie

Den ersten Additionssatz der Trigonometrie hast du bestimmt schon drauf, oder? Sinus von alpha plus beta ist gleich Sinus alpha mal Kosinus beta + Kosinus alpha mal Sinus beta.

Der Additionssatz Sinus alpha plus beta hilft dir beim Beweisen der Identität Sinus von 3 alpha = drei mal Sinus alpha minus vier mal Sinus hoch drei von alpha weiter.

In der Herleitung wirst du zudem die Identität für Sinus von zwei alpha benutzen. Diese lautet Sinus von zwei alpha gleich 2 mal Sinus alpha mal Kosinus alpha. Außerdem brauchst du diese Identität: Kosinus von zwei alpha ist gleich eins minus zwei Sinus quadrat von alpha.

Ebenfalls im Tafelwerk steht eine der wichtigsten Identitäten: Sinus Quadrat von alpha plus Kosinus Quadrat von alpha ist gleich eins. Umgestellt nach Kosinus Quadrat alpha ergibt sich Kosinus Quadrat alpha ist gleich eins minus Sinus Quadrat alpha. Diese Form benötigst du ebenfalls gleich.

Die Vorgehensweise in diesem Beweis ist ähnlich wie in der Herleitung der Identität für den Sinus von zwei alpha. Du schreibst den Term drei alpha als Summe, nämlich zwei alpha plus alpha. Also kannst du auch den Sinus von drei alpha ausdrücken als Sinus von zwei alpha plus alpha.

Jetzt wendest du den Additionssatz an: Statt der Winkel alpha und beta setzt du hier die Winkel zwei alpha und alpha ein: sinus von zwei alpha plus alpha ist gleich Sinus von zwei alpha mal Kosinus alpha plus Kosinus von zwei alpha mal Sinus von Alpha.

Für Sinus von zwei alpha kannst du die Identität einsetzen, die du schon kennst: zwei mal sinus alpha mal Kosinus alpha. Kosinus alpha mal Kosinus alpha ist Kosinus quadrat von alpha. Kosinus von zwei alpha ersetzt du ebenfalls mit der Identität, die hier schon notiert wurde: eins minus 2 mal sinus quadrat alpha. Achte darauf, die Klammern zu setzen, da der gesamte Term mit sinus alpha multipliziert wird. Durch das Ausmultiplizieren erhältst du sinus alpha minus zwei mal sinus hoch drei von alpha.

Im letzten Schritt ersetzt du Kosinus Quadrat alpha mit eins minus Sinus Quadrat alpha. Denk’ wieder daran, die Klammern zu setzen. Jetzt brauchst du nur noch auszurechnen und zusammenzufassen: Links schreibst du statt zwei alpha plus alpha wieder drei alpha. Ausmultiplizieren ergibt rechts zwei Sinus alpha minus zwei sinus hoch drei alpha plus Sinus alpha minus zwei sinus hoch drei alpha.

Zussamengefasst drei mal Sinus alpha minus vier mal Sinus hoch 3 von alpha. Damit hast du die Identität für Sinus von drei alpha hergeleitet.

Wir haben nun gemeinsam die Identität für Sinus von drei alpha hergeleitet. Je mehr du übst, desto einfacher wird es nächstes Mal, selbst auf die Lösungen zu kommen. Viel Erfolg!

Beweise mit den Additionssätzen führen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Beweise mit den Additionssätzen führen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Identität $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ für $\alpha=30^\circ$.

    Tipps

    $\sin(3\cdot30^\circ)=\sin(90^\circ)$.

    Spezielle Werte der Sinusfunktion kannst du in der Formelsammlung finden.

    Für den Winkel $\alpha=30^\circ$ gilt $\sin(30^\circ)=\frac12$.

    Lösung

    Es gilt $\sin(90^\circ)=1$.

    Auf der anderen Seite ist $\sin(90^\circ)=\sin(3\cdot 30^\circ)$.

    Nun kann die Formel $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ verwendet werden:

    $\begin{align*} \sin(3\cdot 30^\circ)&=3\sin(30^\circ)-4\sin^3(30^\circ)&|&~\sin(30^\circ)=\frac12\\ &=3\cdot\frac12-4\cdot\left(\frac12\right)^3\\ &=\frac32-\frac48\\ &=1. \end{align*}$

    Somit ist diese Identität für den Winkel $30^\circ$ gezeigt.

  • Beschreibe, wie $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ nachgewiesen werden kann.

    Tipps

    Für die Berechnung des Sinus der Summe zweier Winkel wird der folgende Additionssatz verwendet:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    Der Winkel $3\alpha$ kann als Summe $2\alpha+\alpha$ geschrieben werden, um den Additionssatz anwenden zu können.

    Lösung

    Der Winkel $3\alpha$ kann als Summe $2\alpha+\alpha$ geschrieben werden, um den Additionssatz anwenden zu können:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    $\begin{align*} \sin(3\alpha)&=\sin(2\alpha+\alpha)\\ &=\sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha). \end{align*}$

    Im Folgenden werden die Identitäten

    • $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
    • $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)$
    • $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$
    verwendet:

    $\begin{align*} \sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha)&=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\left(1-2\sin^2(\alpha)\right)\cdot\sin(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot\cos^2(\alpha)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot\left(1-\sin^2(\alpha)\right)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha). \end{align*}$

    Und damit ist diese Aussage bewiesen.

  • Berechne $\sin(270^\circ)$ mithilfe der Gleichung $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha) $.

    Tipps

    Es gilt $\sin(90^\circ)=1$.

    Auch hier lässt sich der Funktionswert für $\alpha=90^\circ$ ablesen. Kannst du den Funktionswert für $\sin(270^\circ)$ erahnen, wenn du an die Symmetrieeigenschaften der Sinus-Funktion denkst?

    Lösung

    Da $270^\circ=3\cdot90^\circ$ ist und $\sin(90^\circ)=1$ kann wie folgt gerechnet werden:

    $\begin{align*} \sin(270^\circ)&=\sin(3\cdot90^\circ)\\ &=3\sin(90^\circ)-4\sin^3(90^\circ)\\ &=3\cdot1-4 \cdot 1^3\\ &=3-4\\ &=-1 \end{align*}$

    Dass der Sinuswert für $\alpha=270^\circ$ den Funktionswert $y=-1$ annimmt, lässt sich im Bild schon erahnen.

  • Setze $\sin(\alpha+90^\circ)$ in Beziehung zu der Kosinusfunktion.

    Tipps

    Verwende den Additionssatz:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    Dies ist der Graph der Kosinusfunktion.

    Dies ist der Graph der Sinusfunktion.

    Lösung

    Mit dem Additionssatz

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

    und $\beta=90^\circ$ erhält man

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\sin(\alpha)\cdot\cos(90^\circ)+\cos(\alpha)\cdot\sin(90^\circ)$.

    Es gilt

    • $\sin(90^\circ)=1$ sowie
    • $\cos(90^\circ)=0$.
    Damit gilt:

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\sin(\alpha)\cdot0+\cos(\alpha)\cdot1=\cos(\alpha)$.

    Da der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt auch

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$.

  • Gib an, welcher Additionssatz zur Berechnung von $\sin(3\alpha)$ verwendet werden kann.

    Tipps

    Der bereits bewiesenen Gleichung $\sin(2\alpha+\alpha)=\sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha)$ liegt der gesuchte Additionssatz zugrunde.

    Lösung

    Der verwendete Additionssatz ist der erste Additionssatz:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  • Weise nach, dass $\frac12(1+\cos(2\alpha))=\cos^2(\alpha)$ ist.

    Tipps

    Die folgenden Identitäten können verwendet werden:

    • $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
    • $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)$
    • $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras

    $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

    Lösung

    Wir wollen zum einen $\cos(2\alpha)=1-2\cdot \sin^2(\alpha)$ verwenden, zum anderen den trigonometrischen Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ ist. Wir können somit $\cos^2(\alpha)$ durch $1-\sin(\alpha)$ ersetzen. Durch diese beiden Identitäten ergibt sich diese Gleichung:

    $\begin{align} \frac12 \cdot \left(1+\cos(2\alpha) \right) & = \frac12 \cdot \left(1+1-2\cdot \sin^2(\alpha) \right)\\ & = \frac12 \cdot \left( 2 - 2\cdot \sin^2(\alpha) \right)\\ & = 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\\ \end{align}$

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