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Additionssätze – Einführung

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Mathe-Team
Additionssätze – Einführung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Additionssätze – Einführung

In diesem Video werden vier Additionssätze der Trigonometrie vorgestellt. Mit Hilfe dieser Additionstheoreme lassen sich Sinus und Kosinus von Summen oder Differenzen von Winkeln berechnen. Die trigonometrischen Additionssätze sind hilfreich, wenn exakte Werte von Winkelfunktionen berechnet werden sollen. Mit dem ersten Additionssatz lässt sich der Sinus von Alpha plus Beta berechnen, mit dem zweiten Additionssatz der Sinus von Alpha minus Beta. Der dritte Additionssatz ermöglicht die Berechnung des Kosinus von Alpha plus Beta. Den Kosinus von Alpha minus Beta kann man schließlich mit dem vierten Additionssatz berechnen. Für alle vier Fälle werden im Video Beispiele durchgerechnet.

Transkript Additionssätze – Einführung

Hallo. In diesem Video mit dem Titel “Additionsätze” wiederholen wir zunächst die Definition des Sinus und Kosinus an einem rechtwinkligen Dreieck.

Im Anschluss berechnen wir den Sinus und Kosinus von konkreten Werten und zeigen dir, wie du mithilfe der trigonometrischen Additionssätze u.a. den sinus von alpha plus beta ermittelst.

Definition Sinus und Kosinus

Du weißt schon, wie der Sinus und der Kosinus am rechtwinkligen Dreieck definiert sind. So gilt Sinus alpha ist gleich Gegenkathete von alpha durch Hypotenuse.

Der Kosinus von alpha ist gleich die Ankathete von alpha durch die Hypotenuse.

Sinus und Kosinus berechnen

Du solltest auch in der Lage sein, mit dem Taschenrechner Sinus oder Kosinus eines gegebenen Winkels zu berechnen.

Nimm als Beispiel zwei Winkel: Alpha = 45° und Beta = 30°. Für diese Winkel lassen sich die Werte für Sinus und Kosinus exakt angeben. Der Sinus von 45 Grad beträgt genau Eins durch Wurzel aus Zwei, das ist rund 0,707. Der Sinus von 30 Grad ist 0,5.

Wie groß ist der Kosinus von 45 Grad? Na genauso groß wie der Sinus von 45 Grad, also auch Eins durch Wurzel aus Zwei. Denkt man dabei nämlich an ein rechtwinkliges Dreieck mit alpha = 45°, dann beträgt der dritte Winkel beta auch 45°. Damit ist das Dreieck gleichschenklig, d.h. die Ankathete von alpha und die Gegenkathete von alpha sind gleichlang.

Somit gilt Sinus aus 45 Grad ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse ist gleich Ankathete durch Hypotenuse und das ist gleich dem cos aus 45 Grad.

Der Kosinus von 30 Grad ist einhalb mal Wurzel aus Drei, das ist rund 0,866.

Wie groß ist aber nun der Sinus eines Winkels, der sich aus den Winkeln Alpha und Beta zusammensetzt? Wie du leicht nachprüfen kannst, ist der Sinus von Alpha + Beta nicht gleich der Summe des Sinus von Alpha und des Sinus von Beta!

Für Alpha = 45 Grad und Beta = 30 Grad beträgt der zusammengesetzte Winkel alpha + beta = 75°.

Der Sinus von 75° beträgt, wenn man im Tafelwerk nachschaut: Wurzel aus 6 + Wurzel aus 2 geteilt durch 4. In den Taschenrechner eingegeben ergibt dies ist circa 0,966.

Die Summe des Sinus von 45 Grad beträgt Eins durch Wurzel aus Zwei,und des Sinus von 30 Grad beträgt ½, was dagegen ungefähr 1,207 ist.

1. Additionssatz

Ganz so einfach ist es also nicht. Aber es gibt eine Formel, mit der man den Sinus von Alpha + Beta ausdrücken kann. Das ist der erste Additionssatz der Trigonometrie, und der lautet wie folgt:

sin(α + β) = sin(ɑ) · cos(β) + cos(α) · sin(β)

Probier das doch gleich mal aus. Du setzt die Werte, die schon am Anfang notiert wurden, in die Formel ein. Es ergibt sich Sinus aus 45 Grad plus 30 Grad ist gleich Sinus 45 Grad mal Kosinus 30 Grad plus cos 45 Grad mal sinus aus 30 Grad.

Wir erhalten sin (45°+ 30°) ist gleich 1 durch Wurzel 2 mal Wurzel aus 3 durch 2 plus 1 durch Wurzel aus 2 mal ½ und formen die rechte Seite der Gleichung um in Wurzel aus 3 +1 geteilt durch 2 mal Wurzel aus 2.

Nun erweitern wir den Bruch mit Wurzel aus 2 und erhalten Wurzel aus 2 mal Wurzel aus 3 plus Wurzel aus 2 geteilt durch 4. Im Zähler können wir nach den Wurzelgesetzen für Wurzel aus 2 mal Wurzel aus 3 auch die Wurzel aus 6 notieren.

Ein Blick ins Tafelwerk verrät uns, dass dies der Sinus aus 75° ist. In den Taschenrechner eingegeben erhalten wir rund 0,966.

2. Additionssatz

Mit dem zweiten Additionssatz kann man den Sinus der Differenz zweier Winkel ausdrücken, also z.B. den Sinus von Alpha minus Beta.

sin(α − β) = sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β)

Du setzt als Beispiel wieder die Winkel Alpha=45° und Beta=30° ein. Es ergibt sich Sinus aus 45 Grad minus 30 Grad ist gleich Sinus von 45 Grad mal Kosinus aus 30° Minus Kosinus aus 45 Grad mal Sinus aus 30 Grad.

Wir erhalten 1 durch Wurzel 2 mal Wurzel 3 durch 2 Minus 1 durch Wurzel 2 * 1 durch 2 ist gleich Wurzel aus 3 Minus 1 geteilt durch 2 mal Wurzel 2.

Diesen Term können wir analog wie im vorherigen Beispiel umformen zu Wurzel aus 6 minus Wurzel aus 2 geteilt durch 4. Ein Blick in das Tafelwerk verrät uns, dass dies der Sinus aus 15° ist. In denTaschenrechner eingegeben erhalten wir rund 0,259.

3. und 4. Additionssatz

Was ist nun, wenn wir den Kosinus aus einer Summe oder Differenz von zwei Winkels bestimmen sollen? Auch hierfür existieren zwei Additionssätze.

Der dritte Additionssatz lautet:
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)

Der vierte Additionssatz ist dem Dritten sehr ähnlich und lautet:
cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)

Zusammenfassung trigonometrische Additionssätze

Wir fassen nun zusammen: Dir wurden vier Additionssätze der Trigonometrie vorgestellt. Du hast gelernt, wie man damit den Sinus und den Kosinus von Summen und Differenzen von Winkeln berechnen kann. So gilt:

  1. sin(α + β) = sin(ɑ) · cos(β) + cos(α) · sin(β)
  2. sin(α − β) = sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β)
  3. cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
  4. cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sehr gut erklärt

    Vielen Dank

    Von Shayma1980, vor 9 Monaten

Additionssätze – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Additionssätze – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Additionssätze für Sinus und Kosinus.

    Tipps

    Bei den Additionssätzen zu Sinus

    • werden die trigonometrischen Funktionen gemischt multipliziert
    • und die Produkte addiert oder subtrahiert.

    Bei den Additionssätzen zu Kosinus

    • werden gleiche trigonometrische Funktionen multipliziert
    • und die Produkte subtrahiert oder addiert.

    Lösung

    Die Additionssätze lauten:

    1. $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    2. $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    3. $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    4. $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  • Berechne den Sinuswert des Winkels $15^\circ$.

    Tipps

    Es gilt $15^\circ=45^\circ-30^\circ$.

    Verwende den zweiten Additionssatz

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

    Die Winkelwerte, welche du benötigst, kannst du oben sehen.

    Lösung

    Mit diesen Werten sowie dem 2. Additionssatz kann $\sin(15^\circ)$ berechnet werden:

    $\begin{align*} &\sin(45^\circ)=\frac1{\sqrt2};~~\sin(30^\circ)=\frac12\\ &\cos(45^\circ)=\frac1{\sqrt2};~~\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}2 \end{align*}$

    Denn es gilt der folgende Additionssatz:

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    Somit kann die Umformung erfolgen.

    $\begin{align*} \sin(15^\circ)&=\sin(45^\circ-30^\circ)\\ &=\sin(45^\circ)\cdot\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\cdot\sin(30^\circ)\\ &=\frac1{\sqrt2}\frac{\sqrt3}2-\frac1{\sqrt2}2\cdot\frac12\\ &=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2\cdot2}&|&\text{Erweitern mit }\sqrt2\\ &=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\\ &\approx 0,6503 \end{align*}$

  • Ermittle den Kosinuswert von $75^\circ$.

    Tipps

    Der Additionssatz, welchen du hier verwenden kannst, ist:

    $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    Da $\cos(90^\circ)=0$ und $\sin(90^\circ)=1$ ist, gilt $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$.

    Lösung

    Es gilt $\cos(75^\circ)=\cos(90^\circ-15^\circ)$.

    Unter Verwendung des Additionssatzes

    $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    kann dann wie folgt gerechnet werden:

    $\begin{align} \cos(90^\circ-15^\circ) & =\cos(90^\circ)\cdot\cos(15^\circ)+\sin(90^\circ)\cdot\sin(15^\circ)\\ &=0\cdot\frac{\sqrt6 +\sqrt2}4+1\cdot\frac{\sqrt6 -\sqrt2}4\\ &=\frac{\sqrt6 -\sqrt2}4. \end{align}$

  • Weise nach, dass $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$ ist.

    Tipps

    Verwende den Additonssatz:

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

    Es gilt:

    • $\sin(90^\circ)=1$ und
    • $\cos(90^\circ)=0$.

    Lösung

    Es wird der Additionssatz

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    verwendet.

    $\begin{align*} \sin(90^\circ-\alpha)&=\sin(90^\circ)\cdot \cos(\alpha)-\cos(90^\circ)\cdot \sin(\alpha)\\ &=1\cdot \cos(\alpha)-0\cdot \sin(\alpha)\\ &=\cos(\alpha). \end{align*}$

    Dies ist eine wichtige Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus:

    Der jeweilige Graph geht aus dem anderen durch Verschiebung hervor.

    • $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$
    • $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$

  • Gib an, wie Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck erklärt sind.

    Tipps

    Sowohl beim Sinus als auch beim Kosinus wird die Länge einer Kathete durch die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks geteilt.

    Kosinus und Sinus nehmen Werte zwischen $-1$ und $1$ an.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem Dreieck. Das bedeutet, dass das Verhältnis von einer Kathete zur Hypotenuse im Betrag nicht größer als $1$ sein kann.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck sind der Sinus sowie der Kosinus eines spitzen Winkels wie folgt definiert:

    $\begin{align*} \sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\\ \cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}. \end{align*}$

  • Leite den trigonometrischen Pythagoras mit einem Additionssatz her.

    Tipps

    Schreibe den Winkel $0^\circ$ als Differenz.

    Hier siehst du den Verlauf der Kosinusfunktion.

    Dabei entspricht das Bogenmaß $\large{-\frac{\pi}2}$ dem Winkel $\large{-90^\circ}$ und das Bogenmaß $\large{\frac{\pi}2}$ dem Winkel $\large{90^\circ}$.

    Lösung

    Da beim trigonometrischen Pythagoras die Quadrate von trigonometrischen Funktionen addiert werden, kann es sich nur um den 3. oder 4. Additionssatz handeln. Grundsätzlich könnten beide verwendet werden.

    Hier wird der 4. Additionssatz $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ verwendet:

    $\begin{align*} 1&=\cos(0^\circ)\\ &=\cos(\alpha-\alpha)\\ &=\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\alpha)\\ &=\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha). \end{align*}$

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