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Additionssätze – Einführung

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Mathe-Team
Additionssätze – Einführung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Additionssätze – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Additionssätze – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Additionssätze für Sinus und Kosinus.

    Tipps

    Bei den Additionssätzen zu Sinus

    • werden die trigonometrischen Funktionen gemischt multipliziert
    • und die Produkte addiert oder subtrahiert.

    Bei den Additionssätzen zu Kosinus

    • werden gleiche trigonometrische Funktionen multipliziert
    • und die Produkte subtrahiert oder addiert.

    Lösung

    Die Additionssätze lauten:

    1. $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    2. $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    3. $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    4. $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  • Berechne den Sinuswert des Winkels $15^\circ$.

    Tipps

    Es gilt $15^\circ=45^\circ-30^\circ$.

    Verwende den zweiten Additionssatz

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

    Die Winkelwerte, welche du benötigst, kannst du oben sehen.

    Lösung

    Mit diesen Werten sowie dem 2. Additionssatz kann $\sin(15^\circ)$ berechnet werden:

    $\sin(45^\circ)=\frac1{\sqrt2};~~\sin(30^\circ)=\frac12 \\ \cos(45^\circ)=\frac1{\sqrt2};~~\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}2$

    Denn es gilt der folgende Additionssatz:

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    Somit kann die Umformung erfolgen.

    $\sin(15^\circ)=\sin(45^\circ-30^\circ) \\ \\ =\sin(45^\circ)\cdot\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\cdot\sin(30^\circ) \\ \\ =\frac1{\sqrt2}\frac{\sqrt3}2-\frac1{\sqrt2}2\cdot\frac12 \\ \\ =\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2\cdot2}~|~\text{mit }\sqrt2~\text{erweitern} \\ \\ =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \\ \\ \approx 0,6503$

  • Ermittle den Kosinuswert von $75^\circ$.

    Tipps

    Der Additionssatz, welchen du hier verwenden kannst, ist:

    $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    Da $\cos(90^\circ)=0$ und $\sin(90^\circ)=1$ ist, gilt $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$.

    Lösung

    Es gilt $\cos(75^\circ)=\cos(90^\circ-15^\circ)$.

    Unter Verwendung des Additionssatzes

    $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    kann dann wie folgt gerechnet werden:

    $\cos(90^\circ-15^\circ)= \\ =\cos(90^\circ)\cdot\cos(15^\circ)+\sin(90^\circ)\cdot\sin(15^\circ) \\ =0\cdot\frac{\sqrt6 +\sqrt2}4+1\cdot\frac{\sqrt6 -\sqrt2}4 \\ =\frac{\sqrt6 -\sqrt2}4$

  • Weise nach, dass $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$ ist.

    Tipps

    Verwende den Additonssatz:

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

    Es gilt:

    • $\sin(90^\circ)=1$ und
    • $\cos(90^\circ)=0$.

    Lösung

    Es wird der Additionssatz

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

    verwendet.

    $\sin(90^\circ-\alpha)= \\ =\sin(90^\circ)\cdot \cos(\alpha)-\cos(90^\circ)\cdot \sin(\alpha) \\ =1\cdot \cos(\alpha)-0\cdot \sin(\alpha) \\ =\cos(\alpha)$

    Dies ist eine wichtige Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus:

    Der jeweilige Graph geht aus dem anderen durch Verschiebung hervor.

    • $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$
    • $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$

  • Gib an, wie Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck erklärt sind.

    Tipps

    Sowohl beim Sinus als auch beim Kosinus wird die Länge einer Kathete durch die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks geteilt.

    Kosinus und Sinus nehmen Werte zwischen $-1$ und $1$ an.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem Dreieck. Das bedeutet, dass das Verhältnis von einer Kathete zur Hypotenuse im Betrag nicht größer als $1$ sein kann.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck sind der Sinus sowie der Kosinus eines spitzen Winkels wie folgt definiert:

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ \\ \\ \cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  • Leite den trigonometrischen Pythagoras mit einem Additionssatz her.

    Tipps

    Schreibe den Winkel $0^\circ$ als Differenz.

    Hier siehst du den Verlauf der Kosinusfunktion.

    Dabei entspricht das Bogenmaß $\large{-\frac{\pi}2}$ dem Winkel $\large{-90^\circ}$ und das Bogenmaß $\large{\frac{\pi}2}$ dem Winkel $\large{90^\circ}$.

    Lösung

    Da beim trigonometrischen Pythagoras die Quadrate von trigonometrischen Funktionen addiert werden, kann es sich nur um den 3. oder 4. Additionssatz handeln. Grundsätzlich könnten beide verwendet werden.

    Hier wird der 4. Additionssatz $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ verwendet:

    $1=\cos(0^\circ)=\cos(\alpha-\alpha) \\ =\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\alpha) \\ =\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)$

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