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Beweise mit den Additionssätzen führen (1)

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Mathe-Team
Beweise mit den Additionssätzen führen (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beweise mit den Additionssätzen führen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Beweise mit den Additionssätzen führen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Sinuswert von $60^\circ$ mit $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$.

    Tipps

    Verwende den Additionssatz:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    Du kannst $60^\circ$ als Produkt $2\cdot30^\circ$ schreiben oder als Summe $30^\circ+30^\circ$.

    Spezielle Werte für Sinus und Kosinus findest du in der Formelsammlung.

    Lösung

    Die verwendete Formel lautet $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$.

    Für die folgende Rechnung werden noch zwei spezielle Werte von Sinus und Kosinus benötigt, welche man einer Formelsammlung entnehmen kann:

    • $\sin(30^\circ)=\frac12$ sowie
    • $\cos(30^\circ)=\frac12 \sqrt3$.
    Da $60^\circ=2\cdot 30^\circ$ ist, erhält man somit

    $\begin{align*} \sin(60^\circ)&=\sin(2\cdot 30^\circ)\\ &=2\sin(30^\circ)\cdot \cos(30^\circ)\\ &=2\cdot \frac12\cdot\frac12\sqrt3\\ &=\frac12\sqrt3. \end{align*}$

  • Beschreibe, wie man $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)$ nachweisen kann.

    Tipps

    Welchen Additionssatz kannst du verwenden? Es geht um den Sinus der Summe von Winkeln.

    Der Winkel $2\alpha$ kann als Summe $\alpha+\alpha$ geschrieben werden.

    Es gilt das Kommutativgesetz: $a\cdot b=b\cdot a$.

    Lösung

    Man startet mit $\sin(2\alpha)$. Dies ist das Gleiche wie $\sin(\alpha+\alpha)$. Es kann also der erste Additionssatz

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

    verwendet werden.

    Somit gilt

    $\begin{align*} \sin(\alpha+\alpha)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)&|&\text{Kommutativgesetz}\\ &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha), \end{align*}$

    womit die Aussage bewiesen wäre.

  • Berechne $\sin(45^\circ)$.

    Tipps

    Verwende die Formel $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ zur Berechnung von $\sin(90^\circ)$.

    Betrachte ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. Gib in diesem den Sinus und den Kosinus des spitzen Winkels, dieser ist $45^\circ$, an.

    Die Gleichung $1=2\sin^2(\alpha)$ kann nach $\sin(\alpha)$ aufgelöst werden.

    Lösung

    Da $90^\circ=2\cdot 45^\circ$ gilt und $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ kann daraus abgeleitet werden:

    $\begin{align*} 1=\sin(90^\circ)&=\sin(2\cdot 45^\circ)\\ &=2\sin(45^\circ)\cdot\cos(45^\circ)&|&~\cos(45^\circ)=\sin(45^\circ)\\ &=2\sin^2(45^\circ). \end{align*}$

    Nun kann diese Gleichung nach $\sin(45^\circ)$ umgeformt werden:

    $\begin{align*} 1&=2\sin^2(45^\circ)&|&:2\\ \frac12&=\sin^2(45^\circ)&|&\sqrt{}\\ \pm \frac1{\sqrt2}&=\sin(45^\circ). \end{align*}$

    Der negative Wert ist nicht möglich: wie man an dem Bild erkennen kann, muss $\sin(45^\circ)$ positiv sein. Also ist $\sin(45^\circ)=\frac1{\sqrt2}$.

  • Weise nach, dass $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$ gilt.

    Tipps

    Zur Berechnung des Sinuswertes der Differenz zweier Vektoren wird der Additionssatz

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

    verwendet.

    Die Nullstellen von Kosinus sind die ungeraden Vielfachen von $90^\circ$.

    An den Stellen, an denen Kosinus den Wert $0$ annimmt, nimmt Sinus den Wert $±1$ an.

    Lösung

    Hier kann der zweite Additionssatz verwendet werden:

    $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$:

    $\begin{align*} \sin(90^\circ-\alpha)&=\sin(90^\circ)\cdot \cos(\alpha)-\cos(90^\circ)\cdot\sin(\alpha)&|&~\sin(90^\circ)=1,~\cos(90^\circ)=0\\ &=1\cdot \cos(\alpha)-0\cdot\sin(\alpha)\\ &=\cos(\alpha). \end{align*}$

  • Gib an, welcher Additionssatz zur Berechnung von $\sin(\alpha+\alpha)$ verwendet werden kann.

    Tipps

    Es ist nur ein Satz richtig.

    Wenn du in die richtige Gleichung $\beta=\alpha$ einsetzt, so sollte $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ herauskommen.

    Es gilt $2\alpha=\alpha+\alpha$.

    Lösung

    Der verwendete Additionssatz ist der erste Additionssatz:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  • Leite eine Formel für $\sin(\alpha+90^\circ)$ her.

    Tipps

    Verwende den Additionssatz

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    Zwei Formeln sind korrekt.

    Es gilt:

    • $\sin(90^\circ)=1$ sowie
    • $\cos(90^\circ)=0$.

    Der Graph der Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Lösung

    Unter Verwendung des Additionssatzes

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

    kann wie folgt gerechnet werden:

    $\begin{align*} \sin(\alpha+90^\circ)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(90^\circ)+\cos(\alpha)\cdot\sin(90^\circ)&|&~\cos(90^\circ)=0,~~\sin(90^\circ)=1\\ &=\cos(\alpha). \end{align*}$

    Auf Grund der Achsensymmetrie zur y-Achse der Kosinusfunktion gilt $\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$ und somit

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\cos(-\alpha)$.

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