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Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

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Team Digital
Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten anzuwenden.

Zunächst lernst du, was die Vereinigung und die Schnittmenge von Ereignissen sind. Anschließend lernst du, was der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten aussagt und wie du ihn anwendest.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Schnittmenge (“Und-Verknüpfung”, Vereinigung (“Oder-Verknüpfung”) und Additionssatz.

Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung haben.

Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten beim Skat.

    Tipps
    • $A \cup B$: Die gezogene Karte hat die Farbe Kreuz oder ist ein Bube.
    • $A \cap B$: Die gezogene Karte ist ein Kreuzbube.

    $13$ von $52$ Karten sind Kreuzkarten.
    $4$ von $52$ Karten sind Buben.

    Lösung

    Wir betrachten das gegebene Beispiel:
    Aus einem Skatblatt mit $52$ Karten wird eine Karte gezogen.
    Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Kreuzkarte oder ein Bube gezogen?

    Wir benennen die Ereignisse wie folgt:

    • $A$: Die gezogene Karte hat die Farbe Kreuz.
    • $B$: Die gezogene Karte ist ein Bube.
    Dementsprechend gilt für die Vereinigungsmenge:
    • $A \cup B$: Die gezogene Karte hat die Farbe Kreuz oder ist ein Bube.
    Und für die Schnittmenge gilt:
    • $A \cap B$: Die gezogene Karte ist ein Kreuzbube.

    Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten lautet:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

    In Worten: Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse $A$ und $B$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ plus die Wahrscheinlichkeit von $B$ abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$.

    Wir bestimmen also die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

    $13$ von $52$ Karten sind Kreuzkarten:
    $P(A)= \dfrac{13}{52}$

    $4$ von $52$ Karten sind Buben:
    $P(B)= \dfrac{4}{52}$

    $1$ von $52$ Karten ist ein Kreuzbube:
    $P(A \cap B)= \dfrac{1}{52}$

    Wir setzen in die Formel ein und erhalten:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52}$

    Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kreuzkarte oder ein Bube gezogen wird, beträgt $\frac{16}{52}$.

  • Gib den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    Wenn wir lediglich die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ addieren, dann zählen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, doppelt.

    Die Schnittmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind.

    Die Vereinigungsmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ schließt alle Elemente ein, die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind.

    Lösung

    Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten lautet:

    $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - \color{#99CC00}{P(A \cap B)}$

    In Worten: Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse $A \cup B$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ plus die Wahrscheinlichkeit von $B$ abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A \cap B$.

    Begründung:

    Wenn wir lediglich die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ addieren, dann zählen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, doppelt.
    Die Wahrscheinlichkeit, die wir in Summe erhalten, ist dann ggf. zu groß. Daher ziehen wir die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von dieser Summe wieder ab.

    Spezialfall:

    Die Ereignisse $A$ und $B$ können auch keine beziehungsweise eine leere Schnittmenge haben:

    $P(A \cap B) = \color{#99CC00}{\{~\}}$

    In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge einfach gleich der addierten Wahrscheinlichkeiten von $A $ und $B$:

    $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

    Hinweis: Zwei Ereignisse, die eine leere Schnittmenge haben, werden in der Mathematik auch disjunkt oder unvereinbar genannt.

  • Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeiten der vier gegebenen Ereignisse.

    Verwende diese Übersicht, um dir die Verknüpfungen der Ereignisse zu veranschaulichen.

    Die Und-Verknüpfungen lauten wie folgt:

    • $A \cap B$: Die Karte ist eine Herzdame.
    • $A \cap C$: Die Karte ist eine Herz $2$, $3$ oder $4$.
    • $A \cap D$: Die Karte ist eine Herzkarte, aber kein Ass.
    • $B \cap C$: Dies ist nicht möglich.
    • $B \cap D$: Die Karte ist eine Dame.
    • $C \cap D$: Die Karte ist kleiner als $5$.
    Lösung

    Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten:

    Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse $A$ und $B$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ plus die Wahrscheinlichkeit von $B$ abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

    Um den Satz auf die gegebenen Beispiele anzuwenden, berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse:

    • $A$: Die gezogene Karte ist eine Herzkarte.
    $\quad P(A)=\dfrac{13}{52}$
    • $B$: Die gezogene Karte ist eine Dame.
    $\quad P(B)=\dfrac{4}{52}$
    • $C$: Die gezogene Karte ist eine Zahl kleiner als $5$.
    $\quad P(C)=\dfrac{12}{52}$
    • $D$: Die gezogene Karte ist kein Ass.
    $\quad P(D)=\dfrac{48}{52}$

    Nun formulieren wir die Ereignisse der Und-Verknüpfungen und bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten. Der Vollständigkeit halber werden alle Verknüpfungen betrachtet:

    • $A \cap C$: Die Karte ist eine Herz $2$, $3$ oder $4$.
    $\quad P(A \cap C) = \dfrac{3}{52}$
    • $A \cap D$: Die Karte ist eine Herzkarte, aber kein Ass.
    $\quad P(A \cap D) = \dfrac{12}{52}$
    • $B \cap C$: Dies ist nicht möglich.
    $\quad P(B \cap C) = 0$
    • $B \cap D$: Die Karte ist eine Dame.
    $\quad P(B \cap D) = \dfrac{4}{52}$

    Jetzt formulieren wir alle Ereignisse der Oder-Verknüpfungen und ermitteln deren Wahrscheinlichkeiten mithilfe der bereits bestimmten Werte:

    • $A \cup C$: Die Karte ist eine Herzkarte oder eine Zahl kleiner als $5$.
    $P(A \cup C) = {P(A) + P(C) - P(A \cap C)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} = \dfrac{22}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{11}{26}}$
    • $A \cup D$: Die Karte ist eine Herzkarte oder kein Ass.
    $P(A \cup D) = {P(A) + P(D) - P(A \cap D)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{48}{52} - \dfrac{12}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{49}{52}}$
    • $B \cup C$: Die Karte ist eine Dame oder eine Zahl kleiner als $5$.
    $P(B \cup C) = {P(B) + P(C) - P(B \cap C)} = \dfrac{4}{52} + \dfrac{12}{52} - 0 = \dfrac{16}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{4}{13}}$
    • $B \cup D$: Die Karte ist kein Ass.
    $P(B \cup D) = {P(B) + P(D) - P(B \cap D)} = \dfrac{4}{52} + \dfrac{48}{52} - \dfrac{4}{52} = \dfrac{48}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{12}{13}}$

    Genauso kannst du die Wahrscheinlichkeit der weiteren Verknüpfungen berechnen:

    • $A \cap B$: Die Karte ist eine Herzdame.
    $\quad P(A \cap B) = \dfrac{1}{52}$
    • $A \cup B$: Die Karte ist eine Herzkarte oder eine Dame.
    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$


    • $C \cap D$: Die Karte ist kleiner als $5$.
    $\quad P(C \cap D) = \dfrac{12}{52}$
    • $C \cup D$: Die Karte ist kein Ass.
    $P(C \cup D) = {P(C) + P(D) - P(C \cap D)} = \dfrac{12}{52} + \dfrac{48}{52} - \dfrac{12}{52} = \dfrac{48}{52} = \dfrac{12}{13}$
  • Überprüfe die Aussagen zu den Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Definiere jeweils zuerst passende Ereignisse $A$ und $B$. Formuliere die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge.

    Bestimme dann die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$, $P(B)$ und $P(A \cap B)$. Setze die Werte in den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten ein.

    Es sind zwei Aussagen richtig.

    Lösung

    Erste Aussage

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{40}$ wird eine rote Kugel oder eine $3$ gezogen.

    Wir definieren die Ereignisse:

    • $A$: Die gezogene Kugel ist rot.
    • $B$: Die gezogene Kugel ist eine $3$.

    Somit gilt:

    • $A \cap B$: Die gezogene Kugel ist eine rote $3$.
    • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist rot oder eine $3$.

    Nun bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

    • $P(A) = \dfrac{10}{40} \qquad P(B) = \dfrac{4}{40}$
    • $P(A \cap B) = \dfrac{1}{40}$

    Wir wenden den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{10}{40} + \dfrac{4}{40} - \dfrac{1}{40} = \dfrac{13}{40}$

    $\longrightarrow$ Die Aussage ist richtig:

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{40}$ wird eine rote Kugel oder eine $3$ gezogen.

    Zweite Aussage

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{20}$ wird eine rote Kugel oder eine gerade Zahl gezogen.

    Wir definieren die Ereignisse:

    • $A$: Die gezogene Kugel ist rot.
    • $B$: Die gezogene Kugel ist eine gerade Zahl.

    Demnach gilt:

    • $A \cap B$: Die gezogene Kugel ist eine gerade Zahl und rot.
    • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist rot oder eine gerade Zahl.

    Jetzt bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

    • $P(A) = \dfrac{10}{40} \qquad P(B) = \dfrac{20}{40}$
    • $P(A \cap B) = \dfrac{5}{40}$

    Wir wenden den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{10}{40} + \dfrac{20}{40} - \dfrac{5}{40} = \dfrac{25}{40} = \dfrac{5}{8}$

    $\longrightarrow$ Die Aussage ist falsch:

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{5}{8}$ wird eine rote Kugel oder eine gerade Zahl gezogen.

    Dritte Aussage

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{5}{40}$ wird eine $5$ oder eine gelbe Kugel gezogen.

    Wir definieren die Ereignisse:

    • $A$: Die gezogene Kugel ist eine $5$.
    • $B$: Die gezogene Kugel ist gelb.

    Somit gilt:

    • $A \cap B$: Die gezogene Kugel ist eine gelbe $5$.
    • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist gelb oder eine $5$.

    Dann bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

    • $P(A) = \dfrac{4}{40} \qquad P(B) = \dfrac{10}{40}$
    • $P(A \cap B) = \dfrac{1}{40}$
    Wir wenden den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{4}{40} + \dfrac{10}{40} - \dfrac{1}{40} = \dfrac{13}{40}$

    $\longrightarrow$ Die Aussage ist falsch:

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{40}$ wird eine $5$ oder eine gelbe Kugel gezogen.

    Vierte Aussage

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{5}$ wird eine $5$ oder eine $8$ gezogen.

    Wir definieren die Ereignisse:

    • $A$: Die gezogene Kugel ist eine $5$.
    • $B$: Die gezogene Kugel ist eine $8$.

    Demnach gilt:

    • $A \cap B$: Dies ist nicht möglich. Die gezogene Kugel kann nicht eine $5$ UND eine $8$ sein.
    • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist $5$ oder eine $8$.

    Anschließend bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

    • $P(A) = \dfrac{4}{40} \qquad P(B) = \dfrac{4}{40}$
    • $P(A \cap B) = 0$

    Es handelt sich hierbei um einen Sonderfall des Additionssatzes für Wahrscheinlichkeiten. Da die Schnittmenge leer ist, gilt:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B)} = \dfrac{4}{40} + \dfrac{4}{40} = \dfrac{8}{40} = \dfrac{1}{5}$

    $\longrightarrow$ Die Aussage ist richtig:

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{5}$ wird eine $5$ oder eine $8$ gezogen.

  • Gib jeweils an, welche Zahlen in der Vereinigungsmenge und in der Schnittmenge sind.

    Tipps

    Hier siehst du die Veranschaulichung der Schnittmenge $A \cap B$ (gelb) zweier Mengen $A$ und $B$.

    Hier siehst du die Veranschaulichung der Vereinigungsmenge $A \cup B$ (gelb) zweier Mengen $A$ und $B$.

    Lösung

    Wir können die zwei gegebenen Mengen $A$ und $B$ wie folgt miteinander verknüpfen:

    Die Schnittmenge

    Die Schnittmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ ist in der Abbildung links gelb markiert. Sie umfasst alle Elemente, die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind. Daher sprechen wir von einer UND-Verknüpfung.

    Die Vereinigungsmenge

    Die Vereinigungsmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ ist in der Abbildung rechts gelb markiert. Sie schließt alle Elemente ein, die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind. Daher sprechen wir von einer ODER-Verknüpfung.

    Wir betrachten somit die beiden Beispiele:

    Beispiel 1

    $A=\{2; 5; 9\} \quad B=\{1; 2; 4; 5 \} $
    $A \cup B = \{\color{#99FF32}{1; 2; 4; 5; 9}\color{black}{\}}$
    $A \cap B =\{ \color{#66D8FF}{2; 5}\color{black}{\}}$

    Beispiel 2

    $A=\{30\} \quad B=\{20; 30; 40 \} $
    $A \cup B = \{\color{#99FF32}{20; 30; 40}\color{black}{\}}$
    $A \cap B = \{\color{#66D8FF}{30}\color{black}{\}}$

  • Vervollständige den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse.

    Tipps

    Erstelle ein solches Diagramm für drei Ereignisse $A$, $B$ und $C$.

    Lösung

    Wir kennen bereits den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für zwei Ereignisse:

    $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

    Wir addieren dabei die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ und ziehen die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, also der Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, wieder ab.

    Um den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse herzuleiten, betrachten wir das entsprechende Venn-Diagramm in der Abbildung:

    Wir sehen, dass wir auch hier die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen $A \cap B$, $A \cap C$ und $B \cap C$ abziehen müssen, da sie ansonsten doppelt gezählt würden. Der innere Bereich, also $A \cap B \cap C$, würde dann jedoch dreimal subtrahiert und wäre nicht mehr berücksichtigt. Daher müssen wir diese Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B \cap C)$ noch addieren.

    Insgesamt lautet der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse darum:

    ${P(A \cup B \cup C)}= P(A) \color{#99CC00}{~+~} \color{black}{P(B)} \color{#99CC00}{~+~} \color{black}{P(C)} \color{#99CC00}{~-~} \color{black}{P(A \cap B)} \color{#99CC00}{~-~} \color{black}{P(A \cap C)} \color{#99CC00}{~-~} \color{black}{P(B \cap C)} \color{#99CC00}{~+~} \color{black}{P(A \cap B \cap C)}$

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