Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten – Beispiel (3) 05:11 min

Hallo! Hier habe ich eine Ergebnismenge aufgebaut. Das soll die Ergebnismenge eines Laplace-Versuchs sein. Das bedeutet, jedes Element hier hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, bekommt also dieselbe Zahl zugeordnet, hier die 0,05, das ist 1/20. Es sind nämlich auch 20 Steine, 20 Klötze hier. Und wenn die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben sollen, dann muss es eben 1/20 sein. Nun möchte ich 2 Ereignisse bilden, also 2 Mengen und mich fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit dieser Mengen ist. Ich könnte zum Beispiel die Menge der lang gezogenen Steine nehmen. Warum nicht? Das sind die alle. Der ist mir nicht lang genug, den nehme ich nicht. Das sind also die 3 hier. Die sind lang, schmal und lang. Der ist nicht ganz so lang. Der auch nicht. Und ich könnte bilden: die Menge der roten Steine. Die lege ich jetzt auch mal hier hin, sodass ich schön diese Bänder hier drum wickeln kann. Das ist die Menge der lang gezogenen Steine und das ist die Menge der roten Steine. Und wie man sieht, hier, das sollte auch rauskommen: Dieser lang gezogene rote Stein ist in der Schnittmenge drin. Wie bestimmt man jetzt die Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen? Nun, ich überlege mir erst mal, die Wahrscheinlichkeit der lang gezogenen Mengen, das soll El sein. L für lang gezogen oder einfach lang. Das kann ich so machen, indem ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die sich in diesem Ereignis hier versammeln, addiere. Das sind also 3/20, weil 3 Steine drin sind. Das kann man nicht weiter kürzen. Man kann es aber noch als Dezimalzahl schreiben. 1/20 ist ja 0,05, 3/20 sind dann 0,15. Die Wahrscheinlichkeit für die andere Menge, also die Menge der roten Steine, die bekomme ich, indem ich zähle, wie viele rote Steine sind es? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Das sind also 7/20 und das ist als Dezimalzahl 0,35. Man muss ja nur 7×0,05 rechnen, da musst du die Siebenerreihe durchgehen, aber ist ja egal. Jetzt stellen wir aber fest, dass wir die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge nicht dadurch bilden können, dass wir die Wahrscheinlichkeit von El und die Wahrscheinlichkeit von Er einfach addieren. Das hier ist die Vereinigungsmenge. Ich schreibe es noch mal mit Wörtern auf, oder mit dem Wort "oder": In der Vereinigungsmenge sind alle Elemente, die zu Er oder zu El gehören. Das trifft auf dieses Element hier, den langen roten, natürlich auch zu. Der gehört ja dann so beiden sogar. Der ist auch in der Vereinigungsmenge. Es bleibt mir hier keine andere Möglichkeit, also mit den Sachen, die ich hier aufgebaut habe, als nachzuzählen, wie viele in der Vereinigungsmenge sind oder eben auf eine andere Art, die Anzahl der Ergebnisse in dieser Vereinigungsmenge zu bestimmen. Addieren kann ich nicht, denn die Schnittmenge ist nicht leer. Zusammen sind es 2, 4, 6, 8, 9. Richtig? 2, 4, 6, 8, 9, ja. Also ist die Wahrscheinlichkeit für alle zusammen 9/20 und das ist 0,45 oder 45%. Ja, so bestimmt man die Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungsmengen, von vereinigten Ereignissen, wenn die Schnittmenge nicht leer ist. Dann muss man eben anders herausfinden, wie viele Elemente zur Gesamtmenge gehören. Dann viel Spaß damit. Bis bald, tschüss!