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Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Um dem Video folgen zu können, solltest du wissen, was Wahrscheinlichkeiten, Ereignisse und Vereinigungsmengen sind. Den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten gibt es in mehreren Versionen. Im Video werden diese der Reihe nach vorgestellt, beginnend mit der einfachsten Version. Letztlich geht es beim Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten darum, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, dass aus der Vereinigung von Mengen besteht, berechnet. Der einfachste Fall: Setzt sich ein Ereignis aus zwei Mengen, deren Durchschnitt leer ist, zusammen, kann man die Wahrscheinlichkeiten der Mengen einfach addieren, um die Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses zu erhalten. Der komplizierteste Fall: Ein Ereignis setzt sich aus einer beliebigen Anzahl nicht notwendigerweise disjunkter Mengen zusammen. Dieser Fall kommt aber in der Schulmathematik gar nicht vor und in der Universitätsmathematik wohl nur in der Wahrscheinlichkeitstheorie für angehende Mathematiker.

Transkript Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Hallo. Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten hat mehrere Formen. Und ein paar davon möchte ich jetzt mal, von einfach bis kompliziert, vorstellen. Ausgangspunkt bei uns ist so ein Würfel hier. Den kann man werfen, das ist dann ein Zufallsexperiment, die Ergebnisse sind die Zahlen von eins bis sechs. Und wie Du siehst, ist der Würfel nicht ganz gerade und deshalb haben die Ergebnisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten könnten zum Beispiel so aussehen: Die 1 hat die Wahrscheinlichkeit 0,3. Die 2 hat die Wahrscheinlichkeit 0,2 und so weiter. Wir können jetzt ein Ereignis definieren, zum Beispiel das Ereignis A, das besteht aus den beiden Ergebnissen 1 und 2. Und das Ereignis B, das besteht aus den Ergebnissen 3, 4, 5. Die Wahrscheinlichkeit von A bestimmt man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert, die zu A gehören und bei B macht man das genauso. Wie finden wir jetzt die Wahrscheinlichkeit von A vereinigt B? Normalerweise indem man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert, die zu A vereinigt B gehören. In dem Fall können wir das aber anders machen. Wir können einfach die Wahrscheinlichkeit von A nehmen und die Wahrscheinlichkeit von B dazu addieren. Und das geht deshalb, weil diese beiden Mengen, A und B, „disjunkt“ sind, das heißt, keine gemeinsamen Elemente haben, das bedeutet, dass der Schnitt leer ist und somit gilt das auch für alle Mengen A und B deren Schnitt gleich der leeren Menge ist. Was passiert jetzt, wenn A und B keine disjunkten Mengen sind? Wenn A zum Beispiel so aussieht, geht bis hierhin, hat die Elemente 1 bis 4. Dann können wir auch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge bestimmen, indem wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten von A und von B addieren. Aber dann haben wir diese beiden Wahrscheinlichkeiten, die sich im Durchschnitt befinden, doppelt gezählt. Deshalb müssen wir die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts wieder abziehen und das ist P von A geschnitten B. Und das ist jetzt der Additionssatz für zwei beliebige Mengen A und B. Wir können den Additionssatz auf drei Mengen erweitern. Und diese drei Mengen können wir uns zunächst mal an einem solchen Venn-Diagramm veranschaulichen. Hier haben wir die Menge A zum Beispiel, die Menge B und die Menge C. Wir können jetzt die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von A und B und C wieder berechnen, indem wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten von A, B und C addieren. Dann haben wir aber ein paar Wahrscheinlichkeiten doppelt gezählt, und zwar die Wahrscheinlichkeit im Schnitt von A und B, die Wahrscheinlichkeit im Schnitt von B und C und auch die Wahrscheinlichkeit im Schnitt von A und C. Naja, dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten wieder abziehen. Und zwar die Wahrscheinlichkeit aus dem Durchschnitt von A und B, die Wahrscheinlichkeit aus dem Durchschnitt von A und C und die Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes aus B und C. Dann haben wir aber etwas zu viel abgezogen, und zwar die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts aller drei Mengen, dieser Bereich hier. Man kann das hier sehen, der Durchschnitt aller drei Mengen ist ja in A, B und C enthalten. Das heißt, wir haben die Wahrscheinlichkeit dieses Durchschnitts dreimal addiert, also zweimal zu viel. Dieser Durchschnitt ist ja auch in diesen Durchschnitten enthalten. Das heißt, wir haben die Wahrscheinlichkeit dieses Durchschnitts nun dreimal abgezogen, also einmal zu viel abgezogen. Das heißt, wir müssen die Wahrscheinlichkeit dieses Durchschnitts nun noch einmal addieren, damit es wieder passt. Und das gilt jetzt für drei beliebige Mengen, das ist also der Additionssatz für drei Mengen. Man kann diesen Satz jetzt noch auf zwei Arten erweitern, eine ist relativ einfach und eine ist relativ kompliziert. Ich möchte mit der komplizierten Art anfangen. Man kann hier eine beliebige Anzahl von Mengen hinschreiben. Dann wird Folgendes passieren: Man addiert dann erst die Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen und dann muss man wieder ein paar Schnitte abziehen, dann muss man andere Schnitte hinzu addieren, dann muss man wieder andere abziehen und so weiter, bis man bei der Sache durch ist. Es gibt verschiedene Versionen des Additionssatzes, eine möchte ich hier mal zum Besten geben. Also wir suchen die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigungsmenge, und zwar werden beliebig viele Mengen von 1 bis n vereinigt, also eine beliebige Anzahl von Mengen von 1 bis n. Und jetzt wird es ein bisschen komplizierter, ich möchte gleich vorausschicken, wenn Dir das gleich viel zu kompliziert erscheint, könnte das daran liegen, dass Du den allgemeinen Additionssatz, den ich jetzt anschreibe, vielleicht in der Form gar nicht brauchst, vielleicht brauchst Du nur die Version für zwei Mengen oder auch die für drei Mengen. Für den allgemeinen Additionssatz müssen wir summieren, und zwar über nicht leere Mengen T. T ist jeweils dann Teilmenge der natürlichen Zahlen von eins bis n. Und dann haben wir -1|T|-1 und das müssen wir multiplizieren mit der Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts von Mengen, und zwar wird geschnitten über alle i Element T und hier haben wir die Mengen Ai. Die Sache wird dramatisch einfacher, wenn man hier nicht beliebige Mengen hinschreibt, sondern wenn man voraussetzt, dass die Mengen, die vereinigt werden, disjunkte Mengen sind, also Mengen sind, die keine gemeinsamen Elemente haben. Dann kann man nämlich einfach die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Mengen addieren. Und hat dann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge dieser Mengen. Disjunkt heißt genauer gesagt paarweise disjunkt und deshalb muss man noch dazuschreiben, was das bedeutet, also wir möchten Mengen mit der Eigenschaft, dass Ai geschnitten Aj leer ist. Das heißt also wir nehmen zwei beliebige, unterschiedliche Mengen heraus. Und schneiden die und stellen dann fest, dass der Schnitt leer ist, dass also die Mengen disjunkt sind. i und j kommen aus der Menge der natürlichen Zahlen von eins bis n. Und da müssen wir auch noch fordern: mit der Eigenschaft, schreibt man einfach „mit“ hin, ich habe gerade gesagt, i und j sollen unterschiedlich sein, das steht hier noch nicht, deshalb müssen wir es noch extra hinschreiben, i soll immer ungleich j sein. Denn sonst macht das ja keinen Sinn, wenn man hier zweimal die gleiche Menge hinschreibt, ja, dann muss die natürlich nicht leer sein. So, das waren sie, die gängigen Versionen des Additionssatzes. Ich hoffe für Dich war die richtige Version dabei, das würde mich sehr freuen. Viel Spaß damit, Tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. wieso bin ich der einzige der hier etwas rein schreibt???? Gutes Video!!

    Von Colin S., vor mehr als 4 Jahren
  2. Sehr Hilfreich danke!

    Von Claudia Zeeb, vor mehr als 7 Jahren

Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Additionssatz für die Vereinigung zweier Mengen an.

    Tipps

    Beachte, dass das „unmögliche Ereignis“ $\{\}$ die Wahrscheinlichkeit $0$ hat. Also gilt:

    $P(\{\})=0$.

    Die Wahrscheinlichkeit von $A$ entspricht dem Anteil der Fläche von $A$ an der gesamten Fläche des Rechtecks, in welchem sich $A$ (und auch $B$) befindet. Dies gilt ebenso für die Wahrscheinlichkeit von $B$.

    Überlege dir folgendes Beispiel:

    • $A$ ist eine Teilmenge von $\Omega$ mit $P(A)=0,5$ und
    • $P(\Omega)=1$, denn die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist $100~\%$.
    $\Omega$ ist nämlich die Ergebnismenge. Wenn wir die beiden Wahrscheinlichkeiten einfach zusammenrechnen, erhalten wir:

    $P(A\cup\Omega)=P(A)+P(B)=0,5+1=1,5$.

    Allerdings ist eine Wahrscheinlichkeit immer kleiner oder gleich $1$. Da kann irgendetwas nicht stimmen.

    Lösung

    Der Additionssatz von Wahrscheinlichkeiten behandelt die Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungen von zwei (oder mehr) Mengen (zum Beispiel Ergebnismengen) $A$ und $B$.

    Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:

    1. Es gibt keine Ergebnisse, welche sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen. Das bedeutet: $A\cap B=\{\}$.
    2. Es gibt Ergebnisse, welche sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen. Das bedeutet: $A\cap B\neq\{\}$.
    Im ersten Fall gilt $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Du addierst also lediglich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

    Im zweiten Fall würdest du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche im Schnitt der beiden Ereignisse liegen, doppelt addieren. Deshalb musst du also die Wahrscheinlichkeit des Schnitts wieder subtrahieren:

    $P(A\cup B)=P(A) +P(B)-P(A\cap B)$.

    Dieser Satz gilt übrigens auch in dem ersten Fall, da hier $P(A\cap B)=P(\{\})=0$ gilt und somit $P(A\cup B)=P(A) +P(B)$.

  • Beschreibe, warum die Wahrscheinlichkeit des Schnittes der beiden Mengen subtrahiert werden muss.

    Tipps

    Wenn du in der zweiten Vereinigung nur die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse addieren würdest, käme Folgendes heraus:

    $P(A\cup B)=0,8+0,42=1,22$.

    Eine Wahrscheinlichkeit kann allerdings sicher nicht größer als $1$ sein.

    Die Rechnung muss also falsch sein.

    Die Wahrscheinlichkeit sowohl von Menge $A$ als auch von Menge $B$ lässt sich berechnen als Quotient der entsprechenden Fläche und der Gesamtfläche des grünen Rechtecks. Dieses entspricht der Ergebnismenge.

    Diese beiden Mengen sind disjunkt. Damit gilt:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

    Diese beiden Ereignisse haben eine nicht leere Schnittmenge. Sie sind als nicht disjunkt.

    Deshalb gilt:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

    Lösung

    Wenn $A$ und $B$ keine gemeinsamen Ergebnisse haben, bezeichnet man diese Mengen als disjunkt. Dies ist der Fall, wenn die Mengen wie folgt erklärt sind:

    • $A=\{1;2\}$ und
    • $B=\{3;4;5\}$.
    Du kannst dann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten von $A$ und von $B$ addieren:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,5+0,42=0,92$.

    Etwas anders sieht es aus, wenn die beiden Mengen gemeinsame Ergebnisse haben:

    • $A=\{1;2;3;4\}$ und
    • $B=\{3;4;5\}$.
    Hier ist $A\cap B=\{3;4\}\neq \{\}$.

    Wenn du nun die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ addierst, hast du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse $3$ sowie $4$ (Schnitt der beiden Mengen) zweimal addiert. Diese Wahrscheinlichkeiten sollen allerdings nur einmal addiert werden. Deshalb muss die Wahrscheinlichkeit dieses Schnitts wieder subtrahiert werden:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,8+0,42-0,3=0,92$.

  • Leite jeweils eine Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung $P(A\cup B\cup C)$ her.

    Tipps

    Du musst immer die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge subtrahieren.

    In drei von vier Fällen schneiden sich jeweils nur zwei Mengen.

    Lösung

    Wenn die drei Mengen paarweise disjunkt sind, kannst du die Wahrscheinlichkeiten addieren:

    $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$.

    Du kannst die obige Formel

    $\begin{array}{lc} P(A\cup B\cup C)=\\ \begin{array}{l} P(A)+P(B)+P(C)-\\ P(A\cap B)-P(A\cap C)-\\ P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\end{array}\end{array}$

    auch vereinfachen, wenn nicht alle drei Mengen sich schneiden. Dabei verwendest du jeweils, dass einige Schnittmengen leer sind und dann $P(\{\})=0$ gilt.

    Somit erhältst du die folgenden Formeln (von links nach rechts):

    $\begin{array}{rcl} P(A\cup B\cup C)&=&P(A)+P(B)+P(C)-0-P(A\cap C)-0+0\\ &=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap C) \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} P(A\cup B\cup C)&=&P(A)+P(B)+P(C)-0-0-P(B\cap C)+0\\ &=&P(A)+P(B)+P(C)-P(B\cap C) \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} P(A\cup B\cup C)&=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-0-0+0\\ &=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B) \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} P(A\cup B\cup C)&=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-0-P(B\cap C)+0\\ &=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C) \end{array}$

  • Ermittle die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Additionssatzes.

    Tipps

    Schreibe die Dezimalzahlen so kurz wie möglich. Beispiel:

    Schreibe $0,3$ und nicht $0,30$.

    Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses erhältst du, wenn du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen, addierst.

    Du kannst auch jeweils die Vereinigung aufschreiben und die Wahrscheinlichkeiten der in dieser Vereinigung liegenden Elemente zur Kontrolle addieren.

    Die Mengen schneiden sich jeweils. Das bedeutet, dass du stets etwas subtrahieren musst.

    Lösung

    Wir üben in dieser Aufgabe den Additionssatz: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

    Hierfür müssen wir die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten bestimmen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addieren.

    $A=\{1;4\}$ und $B=\{2;4;6\}$:

    • $P(A)=0,3+0,15=0,45$
    • $P(B)=0,2+0,15+0,08=0,43$
    • $P(A\cap B)=0,15$
    Damit ist $P(A\cup B)=0,45+0,43-0,15=0,73$.

    $A=\{1;4\}$ und $B=\{1;2;3;4\}$:

    • $P(A)=0,3+0,15=0,45$
    • $P(B)=0,3+0,2+0,15+0,15=0,8$
    • $P(A\cap B)=P(A)=0,45$
    Damit ist $P(A\cup B)=0,45+0,8-0,45=0,8$.

    $A=\{1;2;3\}$ und $B=\{1;3;5\}$:

    • $P(A)=0,3+0,2+0,15=0,65$
    • $P(B)=0,3+0,15+0,12=0,57$
    • $P(A\cap B)=0,3+0,15=0,45$
    Damit ist $P(A\cup B)=0,65+0,57-0,45=0,77$.

  • Benenne die Eigenschaft der Mengen so, dass der Additionssatz gültig ist: $P(A\cup B\cup B)=P(A)+P(B)+P(C).~~~~~~~~$

    Tipps

    Wenn zwei Mengen disjunkt sind, gibt es keine Elemente, die in beiden Mengen liegen.

    Umgekehrt bedeutet dies: Wenn zwei Mengen nicht disjunkt sind, gibt es Elemente, welche in beiden Mengen liegen.

    Schaue dir einmal dieses Beispiel an.

    Die Menge $A$ und $C$ sowie $B$ und $C$ sind disjunkt.

    Es gilt somit:

    $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)$.

    Lösung

    Hier siehst du drei Mengen $A$, $B$ und $C$.

    Wenn du hier zwei beliebige Mengen betrachtest, kannst du feststellen, dass diese jeweils disjunkt sind.

    Die Mengen $A$, $B$ und $C$ sind also „paarweise disjunkt“.

    Nur in diesem Fall gilt:

    $P(A\cup B\cup B)=P(A)+P(B)+P(C)$.

    In jedem anderen Fall musst du Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen subtrahieren und (gegebenenfalls) sogar addieren. Der Additionssatz bei drei Mengen sieht allgemein so aus:

    $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Du kannst auch jeweils die Vereinigungsmenge bestimmen.

    Verwende die Formel

    $\begin{array}{rcl} P(A\cup B\cup C)&=&P(A)+P()B)+P(C)-P(A\cap B)-\\ &&P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\end{array}$

    Beachte: Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen $0$ und $1$.

    Lösung

    Du kannst natürlich jedes Mal auch die Vereinigungsmenge aufschreiben und Wahrscheinlichkeiten der in dieser Menge liegenden Ergebnisse addieren.

    Wenn du den Addtionssatz üben willst, gehst du wie folgt vor:

    Berechnung von $P(A\cup B\cup C)$

    • $P(A)=0,54$
    • $P(B)=0,48$
    • $P(C)=0,52$
    • $P(A\cup B)=0,27$
    • $P(A\cup C)=0,27$
    • $P(B\cup C)=0$
    • $P(A\cap B\cap C)=0$
    Damit ist $P(A\cup B\cup C)=0,54+0,48+0,52-0,27-0,27-0+0=1$.

    Ebenso kannst du die anderen beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen.

    Berechnung von $P(A\cup C\cup D)$

    • $P(D)=0,53$
    • $P(A\cup D)=0,15$
    • $P(C\cup D)=0,25$
    • $P(A\cap C\cap D)=0$
    Damit ist $P(A\cup C\cup D)=0,54+0,52+0,53-0,27-0,15-0,25+0=0,92$.

    Berechnung von $P(B\cup D)$

    $P(B\cup D)=0,48+0,53-0,28=0,73$

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