Additionssätze sin(a+b) und sin(a-b) – Herleitung und Beweis

Additionssätze sin(a+b) und sin(a-b) – Herleitung und Beweis Übung

• Gib den Sinussatz an.

  Tipps

  Der Sinussatz trifft eine Aussage über das Verhältnis einer Seite zu dem Sinus des gegenüber liegenden Winkels in beliebigen Dreiecken.

  Mache dir diesen Satz am Beispiel eines rechtwinkligen Dreiecks klar.

  Lösung

  Der Sinussatz lautet:

  $\frac a{\sin(\alpha)}=\frac b{\sin(\beta)}=\frac c{\sin(\gamma)}$.

  Das heißt, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis einer Seite zu dem Sinus des gegenüber liegenden Winkels immer gleich ist.

  Daraus kann man zum Beispiel Folgendes ableiten: Willst du die Winkel eines Dreiecks der Größe nach ordnen, so kannst du die Seiten des Dreiecks der Länge nach ordnen. Der längsten Seite gegenüber befindet sich dann der größte Winkel, der kürzesten Seite gegenüber befindet sich der kleinste Winkel. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel, $90^\circ$, der größte. Die diesem Winkel gegenüber liegende Seite, die Hypotenuse, ist also die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck.

• Ergänze den Beweis des Additionssatzes $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

  $\cos(\alpha)=\Large{\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}$.

  Der Sinussatz kann auch wie folgt formuliert werden:

  $\large{\frac{\sin(\alpha)}a=\frac{\sin(\beta)}b=\frac{\sin(\gamma)}c}$.

  Lösung

  Zum Beweis dieses Additionssatzes kann man mit dem Sinussatz beginnen. Es gilt

  $\frac c{\sin(\gamma)}=\frac a{\sin(\alpha)}$.

  Dies ist äquivalent zu $\sin(\gamma)=\frac{\sin(\alpha)\cdot c}{a}$.

  Da die Innenwinkel eines Dreiecks sich zu $180^\circ$ addieren, gilt $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$ und damit $\sin(\gamma)=\sin(180^\circ-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta)$.

  Die Seite $c$ lässt sich, wie in dem Bild zu erkennen, aufteilen in die Strecken $\overline{AD}$ sowie $\overline{DB}$. Somit ist

  $\begin{align*} \frac{\sin(\alpha)\cdot c}{a}&=\frac{\sin(\alpha)\cdot (\overline{AD}+\overline{DB})}{a}\\ &=\frac{\sin(\alpha)\cdot (\overline{AD})}{a}+\frac{\sin(\alpha)\cdot (\overline{DB})}{a}. \end{align*}$

  In dem Dreieck $DBC$ gilt $\cos(\beta)=\frac{\overline{DB}}a$.

  Somit gilt bereits:

  $\sin(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha)\cdot (\overline{AD})}{a}+\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)$.

  Nun muss nur der Term $\frac{\sin(\alpha)\cdot (\overline{AD})}{a}$ betrachtet werden: Man verwendet wieder den Sinussatz und erhält:

  $\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\alpha)}{a}$.

  Somit ist

  $\frac{\sin(\alpha)\cdot (\overline{AD})}{a}=\frac{\sin(\beta)\cdot (\overline{AD})}{b}$.

  Nun kann in dem Dreieck $ADC$ die Winkelbeziehung $\cos(\alpha)=\frac{\overline{AD}}b$ verwendet werden:

  $\frac{\sin(\beta)\cdot (\overline{AD})}{b}=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)$.

  Damit ist der Satz bewiesen:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)$.

  In der gängigen und etwas leichter einzuprägenden Schreibweise heißt es dann:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) $.

• Berechne den Sinuswert von $135^\circ$.

  Tipps

  Der Winkel $135^\circ$ kann sowohl durch die Summe $90^\circ+45^\circ$ als auch durch die Differenz $180^\circ-45^\circ$ beschrieben werden.

  Es gelten $\sin(90^\circ)=1$ und $\cos(90^\circ)=0$ sowie $\sin(180^\circ)=0$ und $\cos(180^\circ)=-1$

  Lösung

  Es gilt

  $\sin(135^\circ)=\sin(90^\circ+45^\circ)=\sin(90^\circ)\cdot \cos(45^\circ)+\cos(90^\circ)\cdot \sin(45^\circ)$.

  Da $\sin(90^\circ)=1$ ist und $\cos(90^\circ)=0$, folgt $\sin(135^\circ)=\frac1{\sqrt2}$.

• Leite mit einem Additionssatz her, dass $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$ gilt.

  Tipps

  Wie du in dem obigen Bild erkennen kannst ist der Graph der Sinusfunktion symmetrisch zu einer Achse, welche durch $x=90^\circ$ verläuft.

  Wenn du die Sinusfunktion um $90^\circ$ auf der $x$-Achse nach links verschiebst, so erhältst du die Kosinus-Funktion.

  Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

  Lösung

  Es kann der Additionssatz $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ angewendet werden. Dabei wird $\alpha$ durch $180^\circ$ ersetzt und $\beta$ durch $\alpha$.

  Es gilt also:

  $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(180^\circ)\cdot \cos(\alpha)-\cos(180^\circ)\cdot \sin(\alpha)$.

  Nun gilt

  • $\sin(180^\circ)=0$ sowie
  • $\cos(180^\circ)=-1$, also

  $\begin{align*} \sin(180^\circ-\alpha)&=0\cdot \cos(\alpha)-(-1)\cdot \sin(\alpha)\\ &=\sin(\alpha). \end{align*}$

• Vervollständige den Beweis des Additionssatzes $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

  Tipps

  Schau dir den Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion an.

  Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, zu welcher Achse ist sie dann symmetrisch?

  Lösung

  Es wird der Additionssatz

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  verwendet. Um den Satz für $\sin(\alpha-\beta)$ zu beweisen, wird in dem Additionssatz $\beta$ durch $-\beta$ ersetzt.

  $\sin(\alpha+(-\beta))=\sin(\alpha)\cdot\cos(-\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(-\beta)$.

  Es gilt:

  • die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, das heißt $\cos(-\beta)=\cos(\beta)$, sowie
  • die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, also $\sin(-\beta)=-\sin(\beta)$.

  Wenn man diese beiden Eigenschaften verwendet, erhält man

  $\begin{align*} \sin(\alpha+(-\beta))&=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot (-\sin(\beta))\\ &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta). \end{align*}$

  Dies ist der gesuchte Additionssatz.

• Stelle mit Hilfe eines Additionssatzes eine Formel für $\sin(2\alpha)$ auf.

  Tipps

  Verwende den Additionssatz

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  Schreibe $2\alpha$ als Summe $\alpha+\alpha$.

  Lösung

  Man kann den Additionssatz

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  verwenden.

  $\begin{align*} \sin(2\alpha)&=\sin(\alpha+\alpha)\\ &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha). \end{align*}$