Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle

Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle Übung

• Beschreibe die $x$-Methode zur Bestimmung der Ableitungsfunktion am Beispiel der Normalparabel.

  Tipps

  $\lim\limits_{x \to x_0}$ nennen wir Grenzwert.

  1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. binomische Formel: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  Lösung

  Mithilfe des Grenzwertes der Sekantensteigung können wir die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle $x_0$ berechnen. Diesen Ausdruck nennen wir Differentialquotient:
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Durch Einsetzen konkreter Werte und geschicktes Kürzen können wir diesen Grenzwert berechnen. Damit bestimmen wir die Steigung einer Tangenten an den Graphen von $f(x)$ and der Stelle $x_0$, was der Steigung des Graphen von $f(x)$ an dieser Stelle entspricht.

  Wenn wir die Steigung in mehreren Punkten ermitteln wollen, dann ist es einfacher, den Differentialquotienten allgemein für eine beliebige Stelle $x_0$ zu bestimmen.

  Für die Normalparabel $f(x)=x^2$ gehen wir dabei wie folgt vor:

  $1.$ Wir setzen $f(x)$ in den Differentialquotienten ein:
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}$

  $2.$ Wir wenden die $3$. binomische Formel an und kürzen anschließend den Bruch:
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{(x+x_0)(x-x_0}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} (x+x_0)$

  $3.$ Wir bestimmen den Grenzwert:
  $\lim\limits_{x \to x_0} (x+x_0) = 2x_0$

  Somit ergibt sich die Ableitung der Normalparabel $f'(x)=2x$. Mit ihr können wir die Steigung der Normalparabel an jeder beliebigen Stelle bestimmen.

• Bestimme die Ableitung der gegebenen Funktion mithilfe der $h$-Methode.

  Tipps

  Definiere zunächst die Variable $h$.

  Der letzte Schritt ist das Formulieren der Ableitung.

  Lösung

  Um die Steigung in einem bestimmten Punkt zu bestimmen, betrachten wir zunächst eine Sekante durch zwei Punkte. Wir lassen dann den Punkt an der Stelle $x$ immer weiter auf den Punkt an der Stelle $x_0$ zuwandern, bis aus der Sekante eine Tangente wird. Durch diesen Grenzwertprozess können wir aus der Steigung im Intervall zwischen $x_0$ und $x$ die Steigung an der Stelle $x_0$ bestimmen.

  Konkret gehen wir bei der $h$-Methode für die Funktion $f(x)=x^3$ dabei wie folgt vor:

  $1.$ Definition von $h$:
  Wir definieren den Abstand zwischen $x_0$ und $x$ als $h$: $x_0-x=h$

  $2.$ Differentialquotient aufstellen:
  Wir schreiben den Differentialquotient als: $\quad \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

  $3.$ Einsetzen in den Differentialquotient:
  Wir setzen die gegebene Funktion ein: $\quad \lim\limits_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}$

  $4.$ Klammer auflösen:
  Wir multiplizieren die Klammer aus: $\quad \lim\limits_{h \to 0} \frac{x_0^3+3x_0^2 \cdot h + 3x_0 \cdot h^2+ h^3 - x_0^3}{h}$

  $5.$ Zusammenfassen:
  Wir fassen die beiden $x_0^3$ zusammen: $\quad \lim\limits_{h \to 0} \frac{3x_0^2 \cdot h + 3x_0 \cdot h^2+ h^3}{h}$

  $6.$ Ausklammern:
  Wir klammern $h$ im Nenner aus: $\quad \lim\limits_{h \to 0} \frac{h \cdot (3x_0^2 + 3x_0 \cdot h+ h^2)}{h}$

  $7.$ Kürzen:
  Wir kürzen mit $h$: $\quad \lim\limits_{h \to 0} (3x_0^2 + 3x_0 \cdot h+ h^2)$

  $8.$ Grenzwert anwenden:
  Wir lassen $h$ gegen $0$ gehen: $\quad \lim\limits_{h \to 0} (3x_0^2 + \underbrace{3x_0 \cdot h}_{\to 0}+ \underbrace{h^2}_{\to 0}) = 3x_0^2$

  $9.$ Formulieren der Ableitung:
  Wir können nun die Ableitung angeben: $\quad f'(x)=3x^2$

• Bestimme den Differentialquotienten.

  Tipps

  Vereinfache zunächst den Bruch. Versuche ihn geschickt zu kürzen oder zu erweitern.

  Du kannst die dritte binomische Formel anwenden:

  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  Beispiel: $f(x)=3\sqrt{x}+1 = 3x^\frac{1}{2}+1$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{3x^\frac{1}{2}+1-3x_0^\frac{1}{2}-1}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{3\bigl(x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}\bigr)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{3\bigl(x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}\bigr)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{3(x-x_0)}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{3}{x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{3}{x_0^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2x_0^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}x_0^{-\frac{1}{2}}$

  Lösung

  Mithilfe des Differentialquotienten $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ können wir die Steigung einer Funktion an jeder beliebigen Stelle $x_0$ bestimmen.

  Dazu formen wir den Differentialquotienten geschickt um, um dann den Grenzwert zu berechnen.

  Im Folgenden ist jeweils auch die zugehörige Funktion angegeben, welche sich aus dem Zähler des Differentialquotienten ergibt.

  Funktion 1: $f(x)=3x$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{3x-3x_0}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{3(x-x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} 3 = 3 $

  Funktion 2: $f(x)=x^2+4$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2+4-x_0^2-4}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} x+x_0 = 2x_0 $

  Funkion 3: $f(x)=-\frac{1}{2}x^2$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}(x^2-x_0^2)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} -\frac{1}{2}(x+x_0) = -\frac{1}{2} \cdot 2x_0 = -x_0$

  Funktion 4: $f(x)=\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\bigl(x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}\bigr)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{x_0^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x_0^{-\frac{1}{2}}$

• Leite die Ableitung der gegebenen Funktion mit der $h$-Methode her und berechne die Ableitung an der Stelle $x_0=-2$.

  Tipps

  Durch Anwenden der $1.$ binomischen Formel kannst du die Klammer mit dem Quadrat auflösen.

  Achte beim Kürzen darauf, dass du in allen Summanden kürzt.

  $f'(x)=4x-1$

  Lösung

  Wir betrachten die gegebene Funktion: $f(x)=2x^2-x$.

  Beim Herleiten der Ableitung mithilfe der $h$-Methode setzen wir zunächst die Funktionsgleichung $f(x_0)$ und $f(x_0+h)$ in den Differentialquotienten ein. Dabei setzen wir im Zähler Klammen, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

  $\begin{array}{ll} & \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\ = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(x_0+h)^2-(x_0+h)-(2x_0^2-x_0)}{h} \end{array}$

  Anschließend lösen wir die Klammern auf. Durch Anwenden der $1.$ binomischen Formel können wir die Klammer mit dem Quadrat auflösen.

  $\begin{array}{ll} & \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(x_0+h)^2-(x_0+h)-(2x_0^2-x_0)}{h} \\ = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{ 2x_0^2+4x_0h+2h^2-(x_0+h)-(2x_0^2-x_0)}{h} \\ = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{ 2x_0^2+4x_0h+2h^2-x_0-h-2x_0^2+x_0}{h} \end{array}$

  Wir fassen dann den Zähler soweit wie möglich zusammen.

  $\begin{array}{ll} & \lim\limits_{h \to 0} \frac{ 2x_0^2+4x_0h+2h^2-x_0-h-2x_0^2+x_0}{h} \\ = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{ 4x_0h+2h^2-h}{h} \end{array}$

  Nun können wir mit $h$ kürzen und zuletzt den Grenzwert bilden.

  $\begin{array}{ll} & \lim\limits_{h \to 0} \frac{ 4x_0h+2h^2-h}{h} \\ = & \lim\limits_{h \to 0} 4x_0+2h-1 \\ = & 4x_0-1 \end{array}$

  Damit ist die Ableitung $f'(x) = 4x - 1$.

  Wir können also die Ableitung an der Stelle $x_0=-2$ berechnen, indem wir einsetzen:

  $f'(-2)=4 \cdot (-2)-1 = -8-1=-9$

• Berechne mithilfe der Ableitung die Steigung der Funktion an den gegebenen Stellen.

  Tipps

  $f'(x)$ ist die Ableitungsfunktion und gibt die Steigung der Funktion $f(x)$ an jeder beliebigen Stelle an.

  Setze die gegebenen Werte für $x$ in $f'(x)$ ein und berechne.

  Beispiel: $x_0 = 1 \quad f'(1)=6 \cdot 1 = 6$

  Lösung

  Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion gibt die Steigung der Funktion $f(x)$ an.
  Durch Einsetzen konkreter $x$-Werte können wir die Steigung der Funktion $f(x)$ an diesen Stellen berechnen.

  Wir betrachten die Funktion $f(x)=3x^2$ und deren Ableitung $f'(x)=6x$:

  • $x_0 = 4 \qquad f'(4)=6 \cdot 4 = 24$
  • $x_0 = -1 \,\quad f'(-1)=6 \cdot (-1) = -6$
  • $x_0 = 0 \qquad f'(0)=6 \cdot 0 = 0$
  • $x_0 = -2 \,\quad f'(-2)=6 \cdot (-2) = -12$

• Überprüfe die Aussagen zum Differentialquotienten.

  Tipps

  Beispiel: $f(x)=-\frac{1}{2}x^2$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}(x^2-x_0^2)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{-\frac{1}{2}(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} -\frac{1}{2}(x+x_0) = -\frac{1}{2} \cdot 2x_0 = -x_0$

  Lösung

  Mithilfe des Differentialquotienten können wir die Steigung einer Funktion an einer Stelle $x_0$ bestimmen. Dabei gibt es zwei verschiedene Schreibweisen:
  Die $x$-Methode: $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
  Die $h$-Methode: $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

  Indem wir eine beliebige Stelle $x_0$ wählen, können wir den Differentialquotienten allgemein bestimmen.

  Wir überprüfen die Aussagen dazu:

  Aussage 1:
  Um den Grenzwert des Differentialquotienten zu bilden, müssen wir immer vorher kürzen.
  Diese Aussage ist korrekt. Denn um den Grenzwert bilden zu können, muss die Nennernullstelle verschwinden. Dies erreichen wir durch Kürzen.
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\bigl(x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}\bigr)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{x_0^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x_0^{-\frac{1}{2}}$

  Aussage 2:
  Um den Differentialquotienten zu bestimmen, müssen wir die $3$. binomische Formel anwenden.
  Diese Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel dazu lautet: $f(x)=3x$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{3x-3x_0}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{3(x-x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} 3 = 3 $
  Hier wurde keine binomische Formel angewendet.

  Aussage 3:
  Wir können für jede Funktion sowohl die $h$-Methode als auch die $x$-Methode anwenden.
  Diese Aussage ist korrekt. Die beiden Methoden sind nur unterschiedliche Schreibweisen für die gleiche Grenzwert-Überlegung. Die $h$-Methode eignet sich eher für komplexere Funktionen, da hierbei der Differentialquotient besser vereinfacht werden kann.

  Aussage 4:
  Bei quadratischen Funktionen kommt bei der Bestimmung des Differentialquotienten mit der $h$-Methode immer eine binomische Formel vor.
  Diese Aussage ist korrekt. Da bei quadratischen Funktionen immer die Summe $(x_0+h)$ quadriert wird, müssen wir die erste binomische Formel anwenden, um den Ausdruck zu vereinfachen. Wir betrachten dazu die Funktion: $f(x)=ax^2$
  $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim\limits_{h \to 0} \frac{a(x_0+h)^2-ax_0^2}{h} =\lim\limits_{h \to 0} \frac{ a(x_0^2+2x_0h+h^2)-ax_0}{h} =\lim\limits_{h \to 0} \frac{ ax_0^2+2ax_0h+ah^2-ax_0}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ 2ax_0h+ah^2}{h}= \lim\limits_{h \to 0} 2ax_0+ah= 2ax_0 $

  Aussage 5:
  Die $x$-Methode eignet sich nur für quadratische Funktionen.
  Diese Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel dazu lautet: $f(x)=\sqrt{x}= x^\frac{1}{2}$
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\bigl(x^\frac{1}{2}-x_0^\frac{1}{2}\bigr)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)\bigl(x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}\bigr)} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{x^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{x_0^\frac{1}{2}+x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2x_0^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x_0^{-\frac{1}{2}}$

  Aussage 6:
  Bei der Funktion $f(x)=x^2+b$ muss bei der Bestimmung des Differentialquotienten immer mit $b$ gekürzt werden.
  Diese Aussage ist falsch. Wir betrachten dazu den Differentialquotienten:
  $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2+b-x_0^2-b}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x \to x_0} x+x_0 = 2x_0 $
  Wir erkennen, dass der Parameter $b$ bereits im ersten Schritt wegfällt, da $+b-b=0$.