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Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle 10:50 min

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Transkript Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle

Hallo. Hier ist Mandy. Jeden Winter findet die Vierschanzentournee im Skispringen statt. Die zweite Etappe, auch Neujahrsspringen genannt, wird an der großen Olympiaschanze in Garmisch-Partenkirchen ausgetragen. Es gelte für den nach der Zeit x zurückgelegten Weg s die folgende Funktionsgleichung: s(x)=2,6×x2, wobei x in Sekunden und s in Metern angegeben wird. Wie schnell ist der Skispringer nach einer Sekunde, nach drei Sekunden und nach fünf Sekunden, also wenn er kurz vor dem Absprung steht? Bislang hast Du gelernt, wie man durchschnittliche Geschwindigkeiten in bestimmten Zeitspannen über die mittlere Änderungsrate berechnet. Darüber hinaus hast Du bereits erfahren, dass man die momentane Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, zum Beispiel nach fünf Sekunden, mit Hilfe der lokalen Änderungsrate berechnen kann. Dazu verwendet man den Differentialquotienten. Man bezeichnet den Grenzwert auch als Ableitung von f an der Stelle x0 beziehungsweise von f'(x0). Als Wiederholung wenden wir das Prinzip noch einmal an. Gegeben ist x0 mit 5 Sekunden und die Funktionsgleichung s(x). Gesucht ist die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x0 beziehungsweise die Steigung m des Graphen an der Stelle x0, also s'(5). Wir setzen x0 und die Funktionsgleichung in den Differentialquotienten ein. Dann erhalten wir m=(lim von h gegen 0) 2,6×(5+h)2-2,6×52)/h. Nun wenden wir auf diesen Term die Erste Binomische Formel an. Dann können wir die Klammer auflösen. Nun fassen wir den Term im Zähler zusammen, so dass wir 26h+2,6h2 im Zähler erhalten. Da sowohl im Nenner als auch in jedem Summanden des Zählers ein h als Faktor enthalten ist, können wir zunächst h ausklammern und dann kürzen. Somit verbleibt letztlich (lim für h gegen 0) 26+2,6h=26m/s. Diesen Wert multiplizieren wir mit 3,6 und erhalten 93,6km/h. Nach fünf Sekunden ist der Skispringer also 93,6km/h schnell. Diesen Grenzwert kann man auch als Ableitung von s an der Stelle 5, also s'(5) bezeichnen. Nun müsste man diese lange Rechnung für jeden der Zeitpunkte, also auch für den Zeitpunkt eine Sekunde und drei Sekunden durchführen. Da wäre es doch viel hilfreicher, eine allgemeine Gleichung zu haben, mit der wir die momentane Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen können. Dies gelingt uns durch die allgemeine Ableitungsfunktion der Funktion s(x), durch die wir die Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle berechnen können. Dazu führen wir diese Rechnung allgemein mit x0 durch. Als Ausgangsgleichung haben wir dann s'(x0)=(lim von h gegen 0) (2,6×(x0+h)2-2,6×(x0)2)/h. Analog zur speziellen Rechnung wenden wir die Erste Binomische Formel an und erhalten für diesen Term (x0)2+2×x0×h+h2. Nun lösen wir die Klammer auf und fassen zusammen. Jetzt klammern wir h aus und können damit h kürzen, sodass zum Schluss der Term (lim von h gegen 0) 5,2x0+2,6h verbleibt, was wiederum 5,2x0 ist. Allgemein können wir dann die Ableitungsfunktion s'(x)=5,2x formulieren und mit ihr für jedes beliebige x den jeweiligen Anstieg schnell berechnen. Diese Vorgehensweise bezeichnet man übrigens als “h-Methode”. Vielleicht hast Du in der Schule eine andere Methode gelernt, nämlich die “x-Methode”. Die schauen wir uns jetzt auch noch einmal an. Bei der x-Methode fasst man das betrachtete Intervall für die Berechnung der lokalen Änderungsrate von x0 bis x. Das ist nur eine andere Bezeichnung derselben Sache. Aber dadurch ändert sich der Differentialquotient zu (lim von x gegen x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0). Wenn wir hier nun die Ableitung der Gleichung s(x)=2,6×x2 bestimmen wollen, ist die Rechnung etwas anders als bei der h-Methode. Setzen wir die Gleichung s(x) in die Formel für den Grenzwert ein, erhalten wir: s'(x0)=(lim von x gegen x0) (2,6×x2-2,6×(x0)2)/(x-x0). Der Übersichtlichkeit halber werden wir 2,6 ausklammern. Nun kommen wir an die Stelle, an der wir überlegen müssen. Wir benötigen einen Term im Zähler, dessen Faktor x-x0 ist, damit wir diesen Faktor später kürzen können. Für dieses Beispiel sehen wir schnell, dass wir die Dritte Binomische Formel anwenden können. In anderen Fällen müsste man allerdings eine Polynomdivision durchführen. Bezogen auf dieses Beispiel würde es dann so aussehen: (x2-(x0)2)/(x-x0) und zu diesem Grenzwert führen. Nun können wir nämlich x-x0 kürzen und erhalten (lim von x gegen x0) 2,6×(x+x0). Als nächsten Schritt können wir zum Beispiel die Klammer auflösen und nun den Grenzwert bilden. Wir erhalten 5,2×x0 beziehungsweise allgemein s'(x)=5,2x. Moment mal, das ist die gleiche Ableitungsfunktion, wie wir sie auch über die h-Methode ermittelt haben. Du siehst also, dies sind zwei verschiedene Wege, die aber zum gleichen Ziel führen. Zusammenfassend können wir den gleichen Merksatz für beide Methoden formulieren. “Die Funktion f sei auf dem Intervall I definiert und x0 ist Element von diesem Intervall I. Wenn der Differenzenquotient Δy/Δx=(f(x0+h-f(x0))/h beziehungsweise Δy/Δx=(f(x)-f(x0))/(x-x0) für h gegen 0 beziehungsweise x gegen x0 einen Grenzwert besitzt, so heißt f an der Stelle x0 differenzierbar. Man nennt den Grenzwert (lim von h gegen 0) (f(x0+h)-f(x0))/h beziehungsweise (lim von x gegen x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0) die Ableitung von f an der Stelle x0 und schreibt dafür f'(x0).” Neben der h-Methode gibt es auch die x-Methode. Zum Schluss wollen wir uns noch die Anstiege zu den verbleibenden Zeitpunkten x1=1sek und x2=3sek mit Hilfe der Funktionsgleichung s(x)=2,6×x2 berechnen. Dies sind die gegebenen Werte und gesucht sind demnach die Geschwindigkeiten v1 und v2, die das Gleiche sind wie die Steigung m der Funktion s(x) an den Stellen x1=1 und x2=3 oder auch die Ableitung s'(x) an den Stellen x1=1 und x2=3. Für die schnellste Lösung verwenden wir nun die Ableitungsfunktion, die wir gerade ermittelt haben. Wir setzen nun beispielsweise x1=1 in s'(x) ein und erhalten 5,2×1. Das ist schnell gelöst mit 5,2m/s beziehungsweise 18,72km/h. Analog setzen wir x2=3 ein und erhalten 15,6m/s beziehungsweise 56,16km/h. Zum Vergleich notieren wir uns noch einmal die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 5 Sekunden. Nun weißt Du, wie stark ein Skispringer an Geschwindigkeit zulegt und wie schnell er beim Absprung auf der großen Olympiaschanze in Garmisch-Partenkirchen ist. Darin unterscheiden sich die Skispringer wenig. Wichtig ist der richtige Absprung und die Flugphase, um große Weiten zu erzielen. Bisheriger Weltrekordhalter an dieser Schanze ist übrigens der Schweizer Simon Ammann mit 143,5m im Jahr 2010. Das war es schon wieder von mir. Daher sag ich nun bye bye und bis zum nächsten Mal.

5 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Sunnyyeu889:
    Wir arbeiten gerade fleißig daran so viele Videos wie möglich mit einer Übung zu bestücken.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Wo sind denn hier bitte schön die Übungen dazu?

    Von Sunnyyeu889, vor mehr als 3 Jahren
  3. Sarah2

    @Tom Kueng99: Um Ergebnisse von der Einheit m/s in km/h umzuwandeln, musst du immer mit 3,6 multiplizieren. Warum? Wenn du das Ergebnis mit 60 * 60 multiplizierst, rechnest du von der Einheit m/s in m/h um (sek *60 => min, *60 => h). Um dann noch auf km/h zu kommen, musst du durch 1000 teilen. Du rechnest also
    *(60*60)/1000, was kurz *3,6 ist. Ich hoffe, ich konnte dir helfen!

    Von Sarah Kriz, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Super erklärt, man kann Ihnen sehr schön zuhören. Aber mir ist noch nicht ganz klar, wieso Sie am Ende 26 m/s * 3,6 gerechnet haben, um so 93,6 km/h herauszubekommen.?

    Von Tom Kueng99, vor fast 4 Jahren
  5. Img 20151011 002133

    Danke! Sie können 30 mal besser erklären und übersichtlicher als meine mathelehrerin! Davor war ich völlig verwirrt und jetzt ist mein gehirn wieder aufgeräumt ;)!!!

    Von Juliane G., vor fast 4 Jahren