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Ableitung von x² ohne Grenzwert

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Martin Wabnik
Ableitung von x² ohne Grenzwert
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitung von x² ohne Grenzwert

Bisher habe ich dir gezeigt, wie man die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt x_p mit Hilfe des Differenzialquotienten und dessen Grenzwert bestimmen kann. Diese Methode habe ich in den zwei Videos „ Analysis - Der Differentialquotient “ vorgestellt. Nun möchte ich dir eine andere Methode für Parabeln vorstellen, die ganz ohne Grenzwert funktioniert. Dazu betrachten wir das Beispiel der Normalparabel f(x) = x². Ich werde dir im Video nun zeigen, wie du durch geschicktes Anwenden quadratischer Gleichungen die Ableitung von f(x) = x² erhältst.

Transkript Ableitung von x² ohne Grenzwert

Hallo! Es geht um die Ableitung der Funktion f(x)=x2 und ich möchte mal zeigen, wie das ohne Grenzwerte funktioniert. Und zwar hier an einer beliebigen Stelle xp. Wir haben den Graphen hier der Funktion x2, wir haben einen Punkt auf diesem Graphen. Kann auch sagen, P ist Element des Graphen von x2, kann man auch so ausdrücken. Dann haben wir hier eine Gerade g, die hier durch diesen Punkt p geht. Der Punkt p hat übrigens die Koordinaten xp und yp. Und die Gerade g schneidet den Graphen von x2 hier ein zweites Mal. Wenn wir jetzt die Ableitung suchen der Funktion x2 an einer beliebigen Stelle, hier wie zum Beispiel xp, dann suchen wir ja Folgendes: Wir suchen die Steigung der Tangente - das ist eine Tangente - an diesem Punkt. Also diese Tangente berührt den Graphen an einem Punkt. Und die Steigung dieser Tangente, das ist die Ableitung der Funktion x2 an diesem Punkt. Nun, ich komme später zur Tangente zurück. Zunächst mal soll es hier um irgendeine Gerade gehen, die da einfach so durch diesen Punkt verläuft. Diese Gerade hier, g, hat die Funktionsgleichung y=yp+m×(x-xp). Warum? Man kann sich das folgendermaßen vorstellen: Wir haben hier ein x auf der x-Achse und wir möchten wissen, was ist der Funktionswert y dieses x? Und zwar soll es dabei hier um die Gerade gehen. wir wollen eben nicht den Funktionswert der Funktion x2 haben, sondern den Funktionswert der Geraden an dieser Stelle x. Das kann man sich folgendermaßen vorstellen: Man geht jetzt quasi in Gedanken von xp los zu yp. Das ist diese Strecke hier. Dann sind wir schon mal da. Dann gehen wir x-xp, also diese Diestanz hier, gehen wir nach rechts und multiplizieren mit m. Und wenn wir diese Distanz mit m multiplizieren, erhalten wir hier diese y-Differenz. Ja, das kennst du vielleicht aus der Koordinatengeometrie. Oder noch früher hast du das gemacht, als du lineare Funktionen behandelt hast und die Steigungen da betrachtet hast und so. Ja, das ist hier jetzt nichts anderes. Also x-Differenz mal Steigung ist diese y-Differenz. Und wenn wir die jetzt dazu addieren, diese y-Differenz, dann sind wir hier einmal yp plus diesen Rest hier, dann sind wir bei y. Und das ist dann der Funktionswert. Ja, hier habe ich es noch mal hingeschrieben: Die y-Differenz ist also Steigung mal x-Differenz. Man kann das Ganze auch rein formal dadurch lösen, indem man sich einfach sagt: Ok, die Steigung einer linearen Funktion m berechnet sich nach y-Differenz, also y-yp, geteilt durch x-Differenz, also x-xp. Diese Differenz geteilt durch diese hier. Und wenn man diese Gleichung jetzt einfach mit dem Nenner multipliziert und nach y auflöst, bekommt man direkt diese Gleichung hier geliefert. Ist dann nicht ganz so anschaulich. Man kann das sich eben auch anschaulich vorstellen, deshalb habe ich es hier gezeigt. So, dann haben wir also diese Gleichung. Wir wissen übrigens, dass der Punkt p auf dem Graphen dieser Geraden g liegt. Einfach deshalb, wenn wir nämlich für x die Stelle hier xp einsetzen. Für dieses x setzen wir xp ein. Dann steht hier xp-xp, das ist gleich 0. Das Ganze ist 0, yp bleibt übrig. Also ist dieses y dann gleich yp. Und damit liegt also auch der Punkt p auf dieser Geraden. Das war zwar schon laut Zeichnung die Voraussetzung. Ich wollte nur zeigen, dass es, wenn man jetzt diese Funktionsgleichung hier betrachtet, dann sieht man eben auch, dass das hier in diesem Fall richtig ist. So, dann geht es weiter. Wir möchten Schnittpunkte bestimmen. Und zwar hat eine Gerade g, die hier durch den Punkt p geht, normalerweise 2 Schnittpunkte mit der quadratischen Funktion f(x)=x2. Und hier ist jetzt einmal die Frage, wie bekommen wir diese Schnittpunkte heraus? Nun, wir können einfach diese beiden Funktionsterme gleichsetzen, nämlich x2=yp+m×(x-xp). Das ist dieser Funktionsterm hier, den setzen wir gleich und rechnen das Ganze mal aus. Das heißt, wir kriegen eine quadratische Gleichung. Da merke ich gerade, dass ich hier etwas Entscheidendes vergessen habe, und zwar =0. Wenn man das hier jetzt ein bisschen umformt, das heißt Klammer ausmultiplizieren, m×x und m×-xp, und das ein bisschen ordnet, hier alles auf eine Seite bringt, zeige ich jetzt nicht alles im Einzelnen, dann kriegen wir x2-m×x-yp+m×xp=0. Dann siehst du, das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der p-q-Formel lösen kannst. -m ist p, -yp+m×xp ist q in der p-q-Formel. Hier übrigens dieses p kommt jetzt von der p-q-Formel, ist nicht der Punkt, um den es hier geht. Nur eben zur Anschauung hier. So, und wenn man das jetzt einsetzt in die p-q-Formel, dann kriegt man diesen Term hier heraus. Ja, dann kann man das also ausrechnen, wenn man jetzt bestimmte xp und yp hätte und ein m hätte. Das wollen wir hier aber gar nicht machen. Und zwar möchte ich jetzt an dieser Stelle auf Folgendes hinweisen: Ich sagte ja, dass normalerweise - was heißt normalerweise, was ist bei Mathematik schon normal? - aber wenn man einfach irgendeine Gerade durch diesen Punkt legt, dann hat diese Gerade 2 Schnittpunkte mit dieser Parabel. In der Regel. Es gibt eine Ausnahme, nämlich die Tangente, und um die soll es ja eigentlich gehen. Diese Tangente hat nur 1 Schnittpunkt, oder man sagt auch Berührpunkt, mit diesem Graphen. Was heißt das jetzt für unsere quadratische Gleichung hier? Also wir rechnen mit dieser quadratische Gleichung oder mit dieser auch eben die Schnittpunkte von der Geraden g und der Parabel aus. Und wenn es nur 1 Schnittpunkt geben soll, dann muss, wie bei quadratischen Gleichungen üblich, die Diskriminante =0 werden. Als das, was hier unter der Wurzel steht, das muss =0 werden. Wenn das =0 ist, dann gibt es hier nur eine einzige Lösung und damit nur 1 Schnittpunkt. Und dafür habe ich auch noch was vorbereitet. Und zwar das Folgende: Es gibt also eine Gerade mit nur einem einzigen Schnittpunkt. Das sehen wir anschaulich so und wir können davon überzeugt sein, dass es die gibt, wenn es nämlich gelingt, dass wir diese Diskriminante irgendwie zu 0 kriegen. Und das macht man so, indem man einfach diese Diskriminante =0 setzt. Und hier habe ich das schon mal ein bisschen ausgerechnet. Das ist quasi die Diskriminante =0 gesetzt. Ich habe hier natürlich (-m/2)2 schon ausgerechnet, habe das Ganze mit 4 multipliziert. Daher kommen hier die 4en her. Also mit -4 habe ich es multipliziert. Ich glaube, das sollte kein Problem sein, das erkläre ich nicht im Einzelnen, wie man jetzt darauf kommt. Das sind elementare Umformungen. So, also Diskriminante =0 gesetzt, auch hier ergibt sich wieder eine quadratische Gleichung, die du mit der p-q-Formel lösen kannst. Hier -4xp ist das p, was da in der p-q-Formel vorkommt, und +4yp ist das q. Und das habe ich jetzt hier einfach mal eingesetzt. Und da kriegt man eben in der Regel 2 Lösungen für m raus. Aber wenn man mal genau guckt, was hier jetzt passiert. Also hier ist noch gar nichts passiert, da habe ich es einfach nur eingesetzt in diese Formel. Und jetzt kann man ja diese Klammer ausrechnen. Also erst mal kürzt man hier ja mit der 2. 4xp/2 sind ja 2xp. 2xp2 sind 4xp2. Dann werden noch 4yp abgezogen. Und jetzt passiert das Interessante hier an dieser ganzen Geschichte, denn wir überlegen uns, wo haben wir denn yp hergekriegt, was ist denn das für ein Ding überhaupt? Und da fällt uns auf, yp ist ja hier die y-Koordinate des Punktes p. Der Punkt p liegt auf der Parabel. Damit ist also der Funktionswert yp=xp2, denn diese Parabel bekommt man ja, wenn man x2 rechnet an dieser Stelle, dann bekommt man den Funktionswert und deshalb ist hier yp=xp2. So, und jetzt kann ich, dafür schmiere ich da einfach mal hier rein, ich kann jetzt yp hier ersetzen durch xp2. So, und jetzt siehst du, was hier jetzt passiert. Da steht also 4xp2-4xp2. Das bedeutet also, dass letzten Endes die Diskriminante hier 0 ist, die Wurzel ist 0, und wir haben nur eine einzige Lösung. Deshalb verschwindet das jetzt alles hier vor deinen Augen, ja? Kann also ganze Terme hier verschwinden lassen. Und deshalb haben wir hier nur 1 Lösung, nur 1 m, und das ist =2×xp. Also einfach zweimal der Funktionswert an dieser Stelle, das ist die Steigung. Räume ich wieder weg hier. Das ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt. Und das gilt übrigens für alle möglichen xp, für alle möglichen Punkte. Kann den auch woanders hinsetzen, auch im Negativen. Ich kann das x hier übrigens auch links vor xp setzen, da funktioniert das genauso, das zeige ich jetzt nicht alles im Einzelnen hier. Aber das auf jeden Fall ist unsere Ableitung, das ist die Steigung der Tangente in einem solchen Punkt. Ja, und da haben wir jetzt viele Überlegungen für ein sehr einfaches Ergebnis. Ja, ich hoffe, es ist alles klar geworden. Das war`s! Viel Spaß! Tschüss!                                                      

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Umfassend und sorgfältig erklärt !
    Hans Scherer

    Von Hans S., vor etwa 3 Jahren

Ableitung von x² ohne Grenzwert Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung von x² ohne Grenzwert kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Schnittstellen einer Parabel zur Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ mit einer Geraden, die durch den Punkt $P(x_p|y_p)$ geht.

    Tipps

    Die p-q-Formel löst eine quadratische Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Mache dir bei der Gleichung $x^2-m\cdot x-y_P+m\cdot x_P=0$ klar, was $p$ und was $q$ ist.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, welcher alleine steht.

    Lösung

    Es sollen die Schnittstellen einer Parabel zur Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ mit einer Geraden, die durch den Punkt $P(x_p|y_p)$ geht, berechnet werden. Hierfür setzt man die zugehörigen Funktionsgleichungen gleich:

    $x^2=m\cdot (x-x_P)+y_P$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung, welche man mit der p-q-Formel lösen kann. Um diese Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in der folgenden Form vorliegen: $x^2+px+q=0$. Das bedeutet, dass bei der obigen Gleichung alle Terme, welche sich auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens befinden, durch Addition oder Subtraktion auf die linke Seite gebracht werden:

    $x^2-m\cdot x-y_P+m\cdot x_P=0$.

    Hier ist $p=-m$ und $q=m\cdot x_P-y_P$.

    Nun kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die beiden Schnittstellen:

    $x_{1,2}=-\frac{-m}2\pm\sqrt{\left(\frac{-m}2\right)^2+y_P-m\cdot x_P}$.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=x_P$.

    Tipps

    Die p-q-Formel zur Lösung der Gleichung $x^2+px+q=0$ lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Ist der Term in der p-q-Formel, welcher unter der Wurzel steht

    • größer als $0$, dann existieren zwei Lösungen.
    • gleich $0$, dann existiert eine Lösung.
    • kleiner als $0$, dann existiert keine Lösung.

    Wenn man überprüft, welche Lage eine Gerade im Bezug auf eine Parabel haben kann, löst man ein quadratische Gleichung. Hat diese

    • zwei Lösungen, so ist die Gerade eine Sekante.
    • eine Lösung, so ist die Gerade eine Tangente.
    • keine Lösung, so ist die Gerade eine Passante.

    Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung einer Tangente.

    Lösung

    Das Gleichsetzen der Geradengleichung $y=m\cdot(x-x_P)+y_P$ sowie $f(x)=x^2$ führt zu den Schnittstellen

    $x_{1,2}=-\frac{-m}2\pm\sqrt{\left(\frac{-m}2\right)^2+y_P-m\cdot x_P}$.

    Da die Ableitung die Steigung der Tangente, also $m$ ist, muss also gelten, dass nur eine Schnittstelle existiert. Das wiederum bedeutet, dass die Diskriminante, der Term unter der Wurzel in der p-q-Formel, $0$ sein muss:

    $\left(\frac{-m}2\right)^2+y_P-m\cdot x_P=0$.

    Durch Quadrieren der Klammern sowie Multiplikation mit $4$ gelangt man zu

    $m^2-4x_P\cdot m+4y_P=0$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in $m$, mit $p=-4x_P$ und $q=4y_P$. Mit der p-q-Formel gelangt man zu

    $m_{1,2}=2x_P\pm\sqrt{4x_P^2-4y_P}$.

    Da $y_P=x_P^2$ der Funktionswert an der Stelle $x_P$ ist, erhält man:

    $m_{1,2}=2x_P\pm\sqrt{4x_P^2-4x_P^2}=2x_P$.

    Dies gilt für jede beliebige Stelle $x_P$. Da die Steigung der Tangente die Ableitung der Funktion ist, gilt somit:

    $f'(x_P)=2x_P$.

  • Berechne die Schnittstellen der Geraden mit der Parabel zu der Funkion $f(x)=4x^2$.

    Tipps

    Die p-q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Achte darauf, dass die quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ ist:

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ der Term, welcher alleine steht, jeweils mit Vorzeichen.

    Lösung

    Es sollen die Schnittstellen einer Geraden und einer Parabel berechnet werden. Gleichsetzen der zugehörigen Funktionsterme führt zu:

    $4x^2=m\cdot (x-x_P)+y_P$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung. Zunächst bringt man diese auf Normalform $x^2+px+q=0$:

    $\begin{align*} 4x^2&=m\cdot (x-x_P)+y_P\\ 4x^2&=m\cdot x-m\cdot x_P+y_P&|&-m\cdot x\\ 4x^2-m\cdot x&=-m\cdot x_P+y_P&|&-y_P+m\cdot x_P\\ 4x^2-m\cdot x-y_P+m\cdot x_P&=0&|&:4\\ x^2-\frac m4x-\frac{y_P}4+\frac m4x_P&=0 \end{align*}$

    Nun kann die p-q-Formel angewendet werden. Dabei ist $p=-\frac m4$ und $q=-\frac{y_P}4+\frac m4\cdot x_P$:

    $\begin{align*} x_{1,2}&=-\frac{-m}8\pm\sqrt{\left(\frac{-m}8\right)^2+\frac{y_P}4-\frac m4\cdot x_P}\\ &=\frac m8\pm\sqrt{\frac{m^2}{64}+\frac{y_P}4-\frac m4\cdot x_P} \end{align*}$

  • Leite die Steigung her, so dass die entsprechende Gerade eine Tangente ist.

    Tipps

    Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente.

    Eine Tangente besitzt nur einen gemeinsamen Punkt mit der Parabel.

    Ist in der p-q-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    der Term unter der Wurzel $\left(\frac p2\right)^2-q$

    • größer als $0$, dann existieren zwei Lösungen.
    • gleich $0$, dann existiert eine Lösung.
    • kleiner als $0$, dann existiert keine Lösung.

    Du erhältst eine quadratische Gleichung in $m$, welche du wiederum mit der p-q-Formel löst.

    Beachte, dass $y_P=f(x_P)=4x_P^2$ ist.

    Lösung

    Wenn man die Funktionsterme der Geraden $m\cdot (x-x_P)+y_P$ sowie der Parabel $4x^2$ gleichsetzt und umformt, erhält man die Schnittstellen:

    $x_{1,2}=\frac m8\pm\sqrt{\frac{m^2}{64}+\frac{y_P}4-\frac m4\cdot x_P}$

    Damit es nur eine Schnittstelle, also eine Berührstelle gibt, muss in der Formel die Diskriminante $0$ sein. Dies führt zu der Gleichung

    $\frac{m^2}{64}+\frac{y_P}4-\frac m4\cdot x_P=0$,

    welche wie folgt umgeformt werden kann:

    $\begin{align*} \frac{m^2}{64}+\frac{y_P}4-\frac m4\cdot x_P&=0&|&\cdot 64\\ m^2-16x_P\cdot m+16y_P&=0. \end{align*}$

    Mit $p=-16x_P$ und $q=16y_P$ kann die p-q-Formel angewendet werden:

    $\begin{align*} m_{1,2}&=8x_P\pm\sqrt{64x_P^2-16y_P} \end{align*}$

    Beachte, dass $y_P=4x_P^2$ ist:

    $\begin{align*} m_{1,2} &=8x_P\pm\sqrt{64x_P^2-16\cdot 4x_P^2}\\ &=8x_P. \end{align*}$

    Die Steigung der Tangente beträgt also $8x_p$.

  • Stelle die Geradengleichung der Geraden auf, die durch den Punkt $P(x_P|y_P)$ und einen weiteren Punkt $(x|y)$ verläuft.

    Tipps

    Die Gleichung zu einer Gerade lautet $y=mx+b$, wobei

    • $m$ die Steigung und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Die Steigung einer Geraden durch die beiden gegebenen Punkten $P(x_P|y_P)$ sowie $Q(x_Q|y_Q)$ ist gegeben durch

    $m=\frac{y_P-y_Q}{x_P-x_Q}$.

    Setze zur Kontrolle für $x=x_P$ ein: Der dazugehörige Funktionswert muss $y_P$ sein.

    Lösung

    Seien $P(x_P|y_P)$ und $(x|y)$ zwei beliebige Punkte auf einer Geraden.

    Die Steigung der Geraden lässt sich berechnen als die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte dividiert durch die Differenz der x-Koordinaten, in der gleichen Reihenfolge:

    $m=\frac{y-y_P}{x-x_P}$.

    Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} m&=\frac{y-y_P}{x-x_P}&|&\cdot (x-x_P)\\ m\cdot (x-x_P)&=y-y_P&|&+y_P\\ m\cdot (x-x_P)+y_P&=y. \end{align*}$

    Dies ist die gesuchte Geradengleichung.

  • Ermittle die Ableitung von $2x^2+2$.

    Tipps

    Ist in der p-q-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    der Term unter der Wurzel $\left(\frac p2\right)^2-q$

    • größer als $0$, dann existieren zwei Lösungen.
    • gleich $0$, dann existiert eine Lösung.
    • kleiner als $0$, dann existiert keine Lösung.

    Beachte, dass $y_P=2x_P^2+2$ ist.

    In der p-q-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in $m$ ist der Term unter der Wurzel $0$.

    Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente. Du musst also eine Gerade durch den Punkt $P$ finden, welche die Parabel in $P$ berührt.

    Lösung

    Wir wollen die Steigung $m$ der Tangente an den Graphen zur Funktion $f(x)=x^2+2$ im Punkt $P(x_p|y_p)$ bestimmen. Dazu setzen wir die entsprechenden Funktionsterme gleich:

    $\begin{align*} 2x^2+2&=m\cdot (x-x_P)+y_P\\ 2x^2+2&=m\cdot x-m\cdot x_P+y_P&|&-m\cdot x\\ 2x^2-m\cdot x+2&=-m\cdot x_P+y_P&|&-y_P+m\cdot x_P\\ 2x^2-m\cdot x+2-y_P+m\cdot x_P&=0&|&:2\\ x^2-\frac m2 x+1-\frac{y_P}2+\frac m2x_P&=0. \end{align*}$

    Nun kann die p-q-Formel mit $p=-\frac m2$ sowie $q=1-\frac{y_P}2+\frac m2x_P$ angewendet werden:

    $x_{1,2}=-\frac m4\pm\sqrt{\frac{m^2}{16}-1+\frac{y_P}2-\frac m2x_P}$.

    Um eine Tangente zu erhalten, darf es nur einen Schnittpunkt geben und damit muss der Term unter der Wurzel $0$ sein. Dies führt zu der folgenden Gleichung:

    $\begin{align*} \frac{m^2}{16}-1+\frac{y_P}2-\frac m2x_P&=0&|&\cdot 16\\ m^2-8x_P\cdot m-16+8y_P&=0. \end{align*}$

    Durch nochmalige Verwendung der p-q-Formel mit $p=-8x_P$ und $q=-16+8y_P$ erhält man

    $\begin{align*} m_{1,2}=4x_P\pm\sqrt{16x_P^2+16-8y_P} \end{align*}$

    Beachte, dass $y_P=2x_P^2+2$ gilt:

    $\begin{align*} m_{1,2}&=4x_P\pm\sqrt{16x_P^2+16-8\cdot (2x_P^2+2)}\\ &=4x_P. \end{align*}$

    Der Anstieg der Tangente beträgt also $4x_P$.

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