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Ableitung von x hoch x

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Martin Wabnik
Ableitung von x hoch x
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Ableitung von x hoch x

Die Aufgabe, die Funktion f(x)=xx (x hoch x) abzuleiten, wirkt manchmal etwas unzugänglich, vielleicht deshalb, weil sich der Funktionsterm xx doch etwas eigen präsentiert. In diesem Video wird gezeigt, wie eine kleine Umformung das Problem vollständig löst.

Transkript Ableitung von x hoch x

Hi, es gibt eine Funktion, der ich nachts im Dunkeln nicht unbedingt begegnen möchte. Und das ist xx. Muss ich auch nicht, denn hier wird sie nur abgeleitet. Wir haben die Funktion f(x) = x hoch x. Die möchten wir ableiten. Und das geht nicht nach der Potenzregel. Hier ist die Potenzregel. Die Potenzregel gilt nur dann, wenn im Exponenten eine bestimmte Zahl steht und eben nicht die Variable x. Wir können aber diesen Term anders aufschreiben. Und zwar können wir schreiben: (elnx)x. Warum geht das? ln von x ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um x zu erhalten. Wenn wir e mit dieser Zahl potenzieren, erhalten wir x. Das heißt, hier steht also nichts anderes als dieses x. Auf diesen Term hier können wir ein Potenzgesetz anwenden. Wir haben hier eine Potenz, die potenziert wird. Und das können wir auch als Produkt der Exponenten aufschreiben. Also wir haben exlnx. Das hier ist nun eine verkettete Funktion, die wir mit dieser Kettenregel ableiten können. Wie kommt das? Wir können uns überlegen, was würde denn passieren, wenn wir einen Funktionswert ausrechnen möchten? Dann würden wir eine Zahl für x einsetzen. Davon würden wir den Logarithmus zur Basis e bilden. Diese Zahl würden wir mit x multiplizieren. Und das Ganze dann in den Exponenten von e einsetzen. Wir können nun sagen okay, bis hierhin ist meine innere Funktion. Ab hier ist die äußere Funktion. Und dann haben wir also eine verkettete Funktion, auf die wir die Kettenregel anwenden können. Wir fangen an mit der Ableitung der inneren Funktion. Das ist der Funktionsterm der inneren Funktion. Also können wir aufschreiben (xlnx). Davon suchen wir die Ableitung. Und das geht mit der Produktregel. Wir haben hier zwei Faktoren, die multipliziert werden. Und die können wir so ableiten. Wir beginnen mit der Ableitung des ersten Faktors. Die Ableitung von x ist 1. Wir schreiben den zweiten Faktor hin. Also lnx. Dann schreiben wir den ersten Faktor hin und die Ableitung des zweiten Faktors. Die Ableitung von lnx ist 1/x. Also können wir aufschreiben: lnx + 1. So, nach dieser Vorarbeit sind wir jetzt eigentlich schon durch mit der Sache. Wir suchen also die Ableitung der Funktion xx. xx können wir anders schreiben, nämlich als (exlnx). Und das Ganze können wir dann ableiten. Das funktioniert mit der Kettenregel. Wir haben die Ableitung der inneren Funktion schon gebildet. Die steht hier. Also können wir schreiben lnx + 1. Dann brauchen wir die Ableitung der äußeren Funktion. Die äußere Funktion ist e hoch Exponent. Und die Ableitung sieht genauso aus. Also können wir schreiben mal e hoch Exponent, also hoch xlnx. Ja, und das lässt man so meistens nicht stehen. Zum einen schreibt man die 1 meist vorne hin. Das ist aber Geschmackssache. Und da wir letzten Endes ja xx ableiten wollten, schreiben wir das auch hin. Und damit sind wir jetzt wirklich durch. Die Ableitung von xx ist also (1+lnx)*xx. Dann sind wir fertig. Und, was hat geholfen? Eine kleine Umformung, die Kettenregel und die Produktregel. Manchmal ist es eben doch nicht so schlimm, wie es aussieht. Ciao.

Ableitung von x hoch x Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung von x hoch x kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die korrekten Umformungen der Funktion $f(x)=x^x$ an.

    Tipps

    Es gilt:

    • $e^{\ln a}=a$

    Es gilt das Potenzgesetz:

    • $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

    Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$

    Lösung

    Mit folgenden Regeln können wir die Funktion $f(x)=x^x$ umformen:

    • Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der $e$-Funktion, daher gilt: $e^{\ln a}=a$
    • Potenzgesetz für Potenzen im Exponenten: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
    • Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$
    Wir erhalten also:

    $f(x)=x^x=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$

  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x)=x^x$.

    Tipps

    Nutze für die innere Ableitung die Produktregel. Diese ist allgemein wie folgt definiert:

    $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

    Die Kettenregel ist wie folgt definiert:

    $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

    Die Ableitung von $\ln x$ nach $x$ ist $\frac1x$.

    Lösung

    Wir schreiben die Funktion um und nutzen dabei:

    • $e^{\ln a}=a$
    • $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
    Somit erhalten wir:

    • $f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$
    Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel ableiten. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
    Für die Ableitung der inneren Funktion $v$ nutzen wir die Produktregel. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
    Für die innere Funktion gilt also:

    • $v(x)=x\ln x$
    • $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$
    Für die äußere Funktion gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit erhalten wir die folgende Ableitung $f'$:

    • $f'(x)=(1+\ln x)e^{x\ln x}$
    Dies formen wir noch so, dass das $x^x$ aus der ursprünglichen Funktion wieder zu sehen ist:

    • $f'(x)=(1+\ln x)x^x$
  • Ermittle jeweils die erste Ableitung.

    Tipps

    Du kannst die erste Funktion wie folgt umschreiben:

    • $f(x)=x^{x+1}=e^{(x+1)\ln x}$

    Es gilt:

    • $\big( e^x \big)'=e^x$
    • $\big( \ln x \big)'=\frac 1x$
    Lösung

    Beispiel 1: $~f(x)=x^{x+1}$

    Wir schreiben die Funktion zunächst um: $~f(x)=e^{(x+1)\ln x}$

    Nun leiten wir mit der Kettenregel ab. Die Ableitung der inneren Funktion erhalten wir mit der Produktregel:

    • $v(x)=(x+1)\ln x$
    • $v'(x)=1\cdot \ln x+(x+1)\cdot \frac 1x=\ln x+ \frac {x+1}x=\frac 1x(x\ln x+x+1)$
    Für die äußere Ableitung gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=e^{(x+1)\ln x}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x+1}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x}\cdot x\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^x(x\ln x+x+1)$
    Beispiel 2: $~f(x)=x^x\cdot \ln x$

    Wir leiten die Funktion mit der Produktregel ab:

    • $u(x)=x^x$
    • $u'(x)=(1+\ln x)x^x$
    • $v(v)=\ln x$
    • $v'(v)=\frac 1x$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=(1+\ln x)x^x\cdot \ln x+x^x\cdot \frac 1x=x^x\ln x(1+\ln x)+x^{x-1}$
  • Erschließe die erste Ableitung.

    Tipps

    Schreibe die Funktion wie folgt um:

    • $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$
    • $\big( x^{\frac x2} \big)'=\big( e^{\frac x2\ln x} \big)'$
    • $\big( x^{x+2} \big)'=\big( e^{(x+2)\ln x} \big)'$
    • $\big( x^{x-2} \big)'=\big( e^{(x-2)\ln x} \big)'$

    Nutze die Ketten- und Produktregel.

    Es gilt:

    $x^{x+1}\cdot \frac 1x=x^{x+1-1}=x^x$

    Lösung

    Beispiel 1: $~\big( x^{2x} \big)'$

    Wir schreiben zunächst:

    $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$

    Für die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$ lauten die Ableitungen wie folgt:

    • $v(x)=2x\ln x$
    • $v'(x)=2\cdot \ln x+2x\cdot \frac 1x=2\ln x+2$
    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Es folgt:

    • $ \big( x^{2x} \big)'=e^{2x\ln x}\cdot (2\ln x+2)=x^{2x}(2\ln x+2)$
    Für die anderen drei Beispiele folgt:

    • $\big( x^{\frac x2} \big)'=x^{\frac x2}\big(\frac{\ln x}{2}+\frac{1}{2} \big)$
    • $\big( x^{x+2} \big)'=x^{x+2}\big( \ln x+\frac {x+2}x \big)$
    • $\big( x^{x-2} \big)'=x^{x-2}\big( \ln x+\frac {x-2}x \big)$
  • Gib jeweils die erste Ableitung der gegebenen Funktionsterme an.

    Tipps

    Leite $x\ln x$ mit der Produktregel ab.

    Es gilt:

    • $\big(\ln x\big)'=\frac 1x$
    Lösung

    Wir können einige der Funktionsterme mittels Ketten- und Produktregel ableiten. Diese sind wie folgt definiert:

    • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
    • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
    Wir erhalten folgende Ableitungen:

    Beispiel 1: $~e^x$

    Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$. Das Besondere an der $e$-Funktion ist, dass sie sich selbst als Ableitung hat.

    Beispiel 2: $~\ln x$

    Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac 1x$.

    Beispiel 3: $~x \ln x$

    Hier nutzen wir die Produktregel. Wir setzen $u(x)=x$ und $v(x)=\ln x$. Damit gilt:

    • $\big(x \ln x\big)'=\underbrace{1}_{u'(x)}\cdot \underbrace{\ln x}_{v(x)} + \underbrace{x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac 1x}_{v'(x)}=\ln x +1=1+\ln x$
    Beispiel 4 $~x^x$

    Wir schreiben die Funktion um zu $x^x=e^{x\ln x}$.

    Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel und Produktregel ableiten. Für die innere Funktion gilt:

    • $v(x)=x\ln x$
    • $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$
    Für die äußere Funktion gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit erhalten wir die folgende Ableitung:

    • $\big( x^x \big)'=(1+\ln x)e^{x\ln x}=(1+\ln x)x^ x$
  • Bestimme die erste Ableitung.

    Tipps

    Schreibe die Funktion zunächst wie folgt:

    $f(x)=e^{2x^2\ln x}+x^2$

    Leite mit der Kettenregel die Funktion $e^{(2x^2)\ln x}$ ab. Die innere Funktion ist $(2x^2)\ln x$. Du kannst sie mit der Produktregel ableiten. Die äußere Funktion ist die $e$-Funktion.

    Lösung

    Wir schreiben die Funktion wie folgt um:

    • $f(x)=x^{2x^2}+x^2=e^{2x^2\ln x}+x^2$
    Dann können wir den ersten Summanden dieser Funktion mittels Kettenregel ableiten. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
    Für die Ableitung der inneren Funktion $v$ nutzen wir die Produktregel. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
    Für die innere Funktion gilt also:

    • $v(x)=(2x^2)\ln x$
    • $v'(x)=4x\cdot \ln x+(2x^2)\cdot \frac 1x=4x\cdot \ln x+2x$
    Für die äußere Funktion gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit erhalten wir für den ersten Summanden die folgende Ableitung:

    • $(4x\cdot \ln x+2x)e^{2x^2\ln x}=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}$
    Insgesamt ist also:

    • $f'(x)=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}+2x$
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