Ableitung von x hoch x

Ableitung von x hoch x Übung

• Gib die korrekten Umformungen der Funktion $f(x)=x^x$ an.

  Tipps

  Es gilt:

  • $e^{\ln a}=a$

  Es gilt das Potenzgesetz:

  • $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

  Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$

  Lösung

  Mit folgenden Regeln können wir die Funktion $f(x)=x^x$ umformen:

  • Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der $e$-Funktion, daher gilt: $e^{\ln a}=a$
  • Potenzgesetz für Potenzen im Exponenten: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
  • Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$

  Wir erhalten also:

  $f(x)=x^x=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$

• Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x)=x^x$.

  Tipps

  Nutze für die innere Ableitung die Produktregel. Diese ist allgemein wie folgt definiert:

  $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

  Die Kettenregel ist wie folgt definiert:

  $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

  Die Ableitung von $\ln x$ nach $x$ ist $\frac1x$.

  Lösung

  Wir schreiben die Funktion um und nutzen dabei:

  • $e^{\ln a}=a$
  • $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

  Somit erhalten wir:

  • $f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$

  Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel ableiten. Diese ist wie folgt definiert:

  • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

  Für die Ableitung der inneren Funktion $v$ nutzen wir die Produktregel. Diese ist wie folgt definiert:

  • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

  Für die innere Funktion gilt also:

  • $v(x)=x\ln x$
  • $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$

  Für die äußere Funktion gilt:

  • $u(v)=e^v$
  • $u'(v)=e^v$

  Damit erhalten wir die folgende Ableitung $f'$:

  • $f'(x)=(1+\ln x)e^{x\ln x}$

  Dies formen wir noch so, dass das $x^x$ aus der ursprünglichen Funktion wieder zu sehen ist:

  • $f'(x)=(1+\ln x)x^x$

• Ermittle jeweils die erste Ableitung.

  Tipps

  Du kannst die erste Funktion wie folgt umschreiben:

  • $f(x)=x^{x+1}=e^{(x+1)\ln x}$

  Es gilt:

  • $\big( e^x \big)'=e^x$

  • $\big( \ln x \big)'=\frac 1x$

  Lösung

  Beispiel 1: $~f(x)=x^{x+1}$

  Wir schreiben die Funktion zunächst um: $~f(x)=e^{(x+1)\ln x}$

  Nun leiten wir mit der Kettenregel ab. Die Ableitung der inneren Funktion erhalten wir mit der Produktregel:

  • $v(x)=(x+1)\ln x$
  • $v'(x)=1\cdot \ln x+(x+1)\cdot \frac 1x=\ln x+ \frac {x+1}x=\frac 1x(x\ln x+x+1)$

  Für die äußere Ableitung gilt:

  • $u(v)=e^v$
  • $u'(v)=e^v$

  Damit folgt:

  • $f'(x)=e^{(x+1)\ln x}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x+1}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x}\cdot x\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^x(x\ln x+x+1)$

  Beispiel 2: $~f(x)=x^x\cdot \ln x$

  Wir leiten die Funktion mit der Produktregel ab:

  • $u(x)=x^x$
  • $u'(x)=(1+\ln x)x^x$

  • $v(v)=\ln x$
  • $v'(v)=\frac 1x$

  Damit folgt:

  • $f'(x)=(1+\ln x)x^x\cdot \ln x+x^x\cdot \frac 1x=x^x\ln x(1+\ln x)+x^{x-1}$

• Erschließe die erste Ableitung.

  Tipps

  Schreibe die Funktion wie folgt um:

  • $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$

  • $\big( x^{\frac x2} \big)'=\big( e^{\frac x2\ln x} \big)'$

  • $\big( x^{x+2} \big)'=\big( e^{(x+2)\ln x} \big)'$

  • $\big( x^{x-2} \big)'=\big( e^{(x-2)\ln x} \big)'$

  Nutze die Ketten- und Produktregel.

  Es gilt:

  $x^{x+1}\cdot \frac 1x=x^{x+1-1}=x^x$

  Lösung

  Beispiel 1: $~\big( x^{2x} \big)'$

  Wir schreiben zunächst:

  $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$

  Für die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$ lauten die Ableitungen wie folgt:

  • $v(x)=2x\ln x$
  • $v'(x)=2\cdot \ln x+2x\cdot \frac 1x=2\ln x+2$

  • $u(v)=e^v$
  • $u'(v)=e^v$

  Es folgt:

  • $ \big( x^{2x} \big)'=e^{2x\ln x}\cdot (2\ln x+2)=x^{2x}(2\ln x+2)$

  Für die anderen drei Beispiele folgt:

  • $\big( x^{\frac x2} \big)'=x^{\frac x2}\big(\frac{\ln x}{2}+\frac{1}{2} \big)$

  • $\big( x^{x+2} \big)'=x^{x+2}\big( \ln x+\frac {x+2}x \big)$

  • $\big( x^{x-2} \big)'=x^{x-2}\big( \ln x+\frac {x-2}x \big)$

• Gib jeweils die erste Ableitung der gegebenen Funktionsterme an.

  Tipps

  Leite $x\ln x$ mit der Produktregel ab.

  Es gilt:

  • $\big(\ln x\big)'=\frac 1x$

  Lösung

  Wir können einige der Funktionsterme mittels Ketten- und Produktregel ableiten. Diese sind wie folgt definiert:

  • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
  • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

  Wir erhalten folgende Ableitungen:

  Beispiel 1: $~e^x$

  Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$. Das Besondere an der $e$-Funktion ist, dass sie sich selbst als Ableitung hat.

  Beispiel 2: $~\ln x$

  Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac 1x$.

  Beispiel 3: $~x \ln x$

  Hier nutzen wir die Produktregel. Wir setzen $u(x)=x$ und $v(x)=\ln x$. Damit gilt:

  • $\big(x \ln x\big)'=\underbrace{1}_{u'(x)}\cdot \underbrace{\ln x}_{v(x)} + \underbrace{x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac 1x}_{v'(x)}=\ln x +1=1+\ln x$

  Beispiel 4 $~x^x$

  Wir schreiben die Funktion um zu $x^x=e^{x\ln x}$.

  Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel und Produktregel ableiten. Für die innere Funktion gilt:

  • $v(x)=x\ln x$
  • $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$

  Für die äußere Funktion gilt:

  • $u(v)=e^v$
  • $u'(v)=e^v$

  Damit erhalten wir die folgende Ableitung:

  • $\big( x^x \big)'=(1+\ln x)e^{x\ln x}=(1+\ln x)x^ x$

• Bestimme die erste Ableitung.

  Tipps

  Schreibe die Funktion zunächst wie folgt:

  $f(x)=e^{2x^2\ln x}+x^2$

  Leite mit der Kettenregel die Funktion $e^{(2x^2)\ln x}$ ab. Die innere Funktion ist $(2x^2)\ln x$. Du kannst sie mit der Produktregel ableiten. Die äußere Funktion ist die $e$-Funktion.

  Lösung

  Wir schreiben die Funktion wie folgt um:

  • $f(x)=x^{2x^2}+x^2=e^{2x^2\ln x}+x^2$

  Dann können wir den ersten Summanden dieser Funktion mittels Kettenregel ableiten. Diese ist wie folgt definiert:

  • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

  Für die Ableitung der inneren Funktion $v$ nutzen wir die Produktregel. Diese ist wie folgt definiert:

  • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

  Für die innere Funktion gilt also:

  • $v(x)=(2x^2)\ln x$
  • $v'(x)=4x\cdot \ln x+(2x^2)\cdot \frac 1x=4x\cdot \ln x+2x$

  Für die äußere Funktion gilt:

  • $u(v)=e^v$
  • $u'(v)=e^v$

  Damit erhalten wir für den ersten Summanden die folgende Ableitung:

  • $(4x\cdot \ln x+2x)e^{2x^2\ln x}=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}$

  Insgesamt ist also:

  • $f'(x)=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}+2x$