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Ableitung von x hoch x

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Martin Wabnik

Ableitung von x hoch x

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitung von x hoch x

Die Aufgabe, die Funktion f(x)=xx (x hoch x) abzuleiten, wirkt manchmal etwas unzugänglich, vielleicht deshalb, weil sich der Funktionsterm xx doch etwas eigen präsentiert. In diesem Video wird gezeigt, wie eine kleine Umformung das Problem vollständig löst.

Ableitung von x hoch x Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung von x hoch x kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die korrekten Umformungen der Funktion $f(x)=x^x$ an.

    Tipps

    Es gilt:

    • $e^{\ln a}=a$

    Es gilt das Potenzgesetz:

    • $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

    Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$

    Lösung

    Mit folgenden Regeln können wir die Funktion $f(x)=x^x$ umformen:

    • Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der $e$-Funktion, daher gilt: $e^{\ln a}=a$
    • Potenzgesetz für Potenzen im Exponenten: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
    • Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$
    Wir erhalten also:

    $f(x)=x^x=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$

  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x)=x^x$.

    Tipps

    Nutze für die innere Ableitung die Produktregel. Diese ist allgemein wie folgt definiert:

    $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

    Die Kettenregel ist wie folgt definiert:

    $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

    Die Ableitung von $\ln x$ nach $x$ ist $\frac1x$.

    Lösung

    Wir schreiben die Funktion um und nutzen dabei:

    • $e^{\ln a}=a$
    • $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
    Somit erhalten wir:

    • $f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$
    Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel ableiten. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
    Für die Ableitung der inneren Funktion $v$ nutzen wir die Produktregel. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
    Für die innere Funktion gilt also:

    • $v(x)=x\ln x$
    • $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$
    Für die äußere Funktion gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit erhalten wir die folgende Ableitung $f'$:

    • $f'(x)=(1+\ln x)e^{x\ln x}$
    Dies formen wir noch so, dass das $x^x$ aus der ursprünglichen Funktion wieder zu sehen ist:

    • $f'(x)=(1+\ln x)x^x$
  • Ermittle jeweils die erste Ableitung.

    Tipps

    Du kannst die erste Funktion wie folgt umschreiben:

    • $f(x)=x^{x+1}=e^{(x+1)\ln x}$

    Es gilt:

    • $\big( e^x \big)'=e^x$
    • $\big( \ln x \big)'=\frac 1x$
    Lösung

    Beispiel 1: $~f(x)=x^{x+1}$

    Wir schreiben die Funktion zunächst um: $~f(x)=e^{(x+1)\ln x}$

    Nun leiten wir mit der Kettenregel ab. Die Ableitung der inneren Funktion erhalten wir mit der Produktregel:

    • $v(x)=(x+1)\ln x$
    • $v'(x)=1\cdot \ln x+(x+1)\cdot \frac 1x=\ln x+ \frac {x+1}x=\frac 1x(x\ln x+x+1)$
    Für die äußere Ableitung gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=e^{(x+1)\ln x}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x+1}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x}\cdot x\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^x(x\ln x+x+1)$
    Beispiel 2: $~f(x)=x^x\cdot \ln x$

    Wir leiten die Funktion mit der Produktregel ab:

    • $u(x)=x^x$
    • $u'(x)=(1+\ln x)x^x$
    • $v(v)=\ln x$
    • $v'(v)=\frac 1x$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=(1+\ln x)x^x\cdot \ln x+x^x\cdot \frac 1x=x^x\ln x(1+\ln x)+x^{x-1}$
  • Erschließe die erste Ableitung.

    Tipps

    Schreibe die Funktion wie folgt um:

    • $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$
    • $\big( x^{\frac x2} \big)'=\big( e^{\frac x2\ln x} \big)'$
    • $\big( x^{x+2} \big)'=\big( e^{(x+2)\ln x} \big)'$
    • $\big( x^{x-2} \big)'=\big( e^{(x-2)\ln x} \big)'$

    Nutze die Ketten- und Produktregel.

    Es gilt:

    $x^{x+1}\cdot \frac 1x=x^{x+1-1}=x^x$

    Lösung

    Beispiel 1: $~\big( x^{2x} \big)'$

    Wir schreiben zunächst:

    $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$

    Für die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$ lauten die Ableitungen wie folgt:

    • $v(x)=2x\ln x$
    • $v'(x)=2\cdot \ln x+2x\cdot \frac 1x=2\ln x+2$
    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Es folgt:

    • $ \big( x^{2x} \big)'=e^{2x\ln x}\cdot (2\ln x+2)=x^{2x}(2\ln x+2)$
    Für die anderen drei Beispiele folgt:

    • $\big( x^{\frac x2} \big)'=x^{\frac x2}\big(\frac{\ln x}{2}+\frac{1}{2} \big)$
    • $\big( x^{x+2} \big)'=x^{x+2}\big( \ln x+\frac {x+2}x \big)$
    • $\big( x^{x-2} \big)'=x^{x-2}\big( \ln x+\frac {x-2}x \big)$
  • Gib jeweils die erste Ableitung der gegebenen Funktionsterme an.

    Tipps

    Leite $x\ln x$ mit der Produktregel ab.

    Es gilt:

    • $\big(\ln x\big)'=\frac 1x$
    Lösung

    Wir können einige der Funktionsterme mittels Ketten- und Produktregel ableiten. Diese sind wie folgt definiert:

    • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
    • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
    Wir erhalten folgende Ableitungen:

    Beispiel 1: $~e^x$

    Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$. Das Besondere an der $e$-Funktion ist, dass sie sich selbst als Ableitung hat.

    Beispiel 2: $~\ln x$

    Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac 1x$.

    Beispiel 3: $~x \ln x$

    Hier nutzen wir die Produktregel. Wir setzen $u(x)=x$ und $v(x)=\ln x$. Damit gilt:

    • $\big(x \ln x\big)'=\underbrace{1}_{u'(x)}\cdot \underbrace{\ln x}_{v(x)} + \underbrace{x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac 1x}_{v'(x)}=\ln x +1=1+\ln x$
    Beispiel 4 $~x^x$

    Wir schreiben die Funktion um zu $x^x=e^{x\ln x}$.

    Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel und Produktregel ableiten. Für die innere Funktion gilt:

    • $v(x)=x\ln x$
    • $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$
    Für die äußere Funktion gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit erhalten wir die folgende Ableitung:

    • $\big( x^x \big)'=(1+\ln x)e^{x\ln x}=(1+\ln x)x^ x$
  • Bestimme die erste Ableitung.

    Tipps

    Schreibe die Funktion zunächst wie folgt:

    $f(x)=e^{2x^2\ln x}+x^2$

    Leite mit der Kettenregel die Funktion $e^{(2x^2)\ln x}$ ab. Die innere Funktion ist $(2x^2)\ln x$. Du kannst sie mit der Produktregel ableiten. Die äußere Funktion ist die $e$-Funktion.

    Lösung

    Wir schreiben die Funktion wie folgt um:

    • $f(x)=x^{2x^2}+x^2=e^{2x^2\ln x}+x^2$
    Dann können wir den ersten Summanden dieser Funktion mittels Kettenregel ableiten. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
    Für die Ableitung der inneren Funktion $v$ nutzen wir die Produktregel. Diese ist wie folgt definiert:

    • $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
    Für die innere Funktion gilt also:

    • $v(x)=(2x^2)\ln x$
    • $v'(x)=4x\cdot \ln x+(2x^2)\cdot \frac 1x=4x\cdot \ln x+2x$
    Für die äußere Funktion gilt:

    • $u(v)=e^v$
    • $u'(v)=e^v$
    Damit erhalten wir für den ersten Summanden die folgende Ableitung:

    • $(4x\cdot \ln x+2x)e^{2x^2\ln x}=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}$
    Insgesamt ist also:

    • $f'(x)=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}+2x$
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