Ableitung von x hoch x
Ableitung von x hoch x
Beschreibung Ableitung von x hoch x
Die Aufgabe, die Funktion f(x)=xx (x hoch x) abzuleiten, wirkt manchmal etwas unzugänglich, vielleicht deshalb, weil sich der Funktionsterm xx doch etwas eigen präsentiert. In diesem Video wird gezeigt, wie eine kleine Umformung das Problem vollständig löst.
Ableitung von x hoch x Übung
-
Gib die korrekten Umformungen der Funktion $f(x)=x^x$ an.
TippsEs gilt:
- $e^{\ln a}=a$
Es gilt das Potenzgesetz:
- $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$
LösungMit folgenden Regeln können wir die Funktion $f(x)=x^x$ umformen:
- Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der $e$-Funktion, daher gilt: $e^{\ln a}=a$
- Potenzgesetz für Potenzen im Exponenten: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
- Auch im Exponenten gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$
$f(x)=x^x=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$
-
Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x)=x^x$.
TippsNutze für die innere Ableitung die Produktregel. Diese ist allgemein wie folgt definiert:
$\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
Die Kettenregel ist wie folgt definiert:
$\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
Die Ableitung von $\ln x$ nach $x$ ist $\frac1x$.
LösungWir schreiben die Funktion um und nutzen dabei:
- $e^{\ln a}=a$
- $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
- $f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}$
- $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
- $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
- $v(x)=x\ln x$
- $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$
- $u(v)=e^v$
- $u'(v)=e^v$
- $f'(x)=(1+\ln x)e^{x\ln x}$
- $f'(x)=(1+\ln x)x^x$
-
Ermittle jeweils die erste Ableitung.
TippsDu kannst die erste Funktion wie folgt umschreiben:
- $f(x)=x^{x+1}=e^{(x+1)\ln x}$
Es gilt:
- $\big( e^x \big)'=e^x$
- $\big( \ln x \big)'=\frac 1x$
LösungBeispiel 1: $~f(x)=x^{x+1}$
Wir schreiben die Funktion zunächst um: $~f(x)=e^{(x+1)\ln x}$
Nun leiten wir mit der Kettenregel ab. Die Ableitung der inneren Funktion erhalten wir mit der Produktregel:
- $v(x)=(x+1)\ln x$
- $v'(x)=1\cdot \ln x+(x+1)\cdot \frac 1x=\ln x+ \frac {x+1}x=\frac 1x(x\ln x+x+1)$
- $u(v)=e^v$
- $u'(v)=e^v$
- $f'(x)=e^{(x+1)\ln x}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x+1}\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^{x}\cdot x\cdot \frac 1x(x\ln x+x+1)=x^x(x\ln x+x+1)$
Wir leiten die Funktion mit der Produktregel ab:
- $u(x)=x^x$
- $u'(x)=(1+\ln x)x^x$
- $v(v)=\ln x$
- $v'(v)=\frac 1x$
- $f'(x)=(1+\ln x)x^x\cdot \ln x+x^x\cdot \frac 1x=x^x\ln x(1+\ln x)+x^{x-1}$
-
Erschließe die erste Ableitung.
TippsSchreibe die Funktion wie folgt um:
- $\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$
- $\big( x^{\frac x2} \big)'=\big( e^{\frac x2\ln x} \big)'$
- $\big( x^{x+2} \big)'=\big( e^{(x+2)\ln x} \big)'$
- $\big( x^{x-2} \big)'=\big( e^{(x-2)\ln x} \big)'$
Nutze die Ketten- und Produktregel.
Es gilt:
$x^{x+1}\cdot \frac 1x=x^{x+1-1}=x^x$
LösungBeispiel 1: $~\big( x^{2x} \big)'$
Wir schreiben zunächst:
$\big( x^{2x} \big)'=\big( e^{2x\ln x} \big)'$
Für die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$ lauten die Ableitungen wie folgt:
- $v(x)=2x\ln x$
- $v'(x)=2\cdot \ln x+2x\cdot \frac 1x=2\ln x+2$
- $u(v)=e^v$
- $u'(v)=e^v$
- $ \big( x^{2x} \big)'=e^{2x\ln x}\cdot (2\ln x+2)=x^{2x}(2\ln x+2)$
- $\big( x^{\frac x2} \big)'=x^{\frac x2}\big(\frac{\ln x}{2}+\frac{1}{2} \big)$
- $\big( x^{x+2} \big)'=x^{x+2}\big( \ln x+\frac {x+2}x \big)$
- $\big( x^{x-2} \big)'=x^{x-2}\big( \ln x+\frac {x-2}x \big)$
-
Gib jeweils die erste Ableitung der gegebenen Funktionsterme an.
TippsLeite $x\ln x$ mit der Produktregel ab.
Es gilt:
- $\big(\ln x\big)'=\frac 1x$
LösungWir können einige der Funktionsterme mittels Ketten- und Produktregel ableiten. Diese sind wie folgt definiert:
- $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
- $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
Beispiel 1: $~e^x$
Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$. Das Besondere an der $e$-Funktion ist, dass sie sich selbst als Ableitung hat.
Beispiel 2: $~\ln x$
Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac 1x$.
Beispiel 3: $~x \ln x$
Hier nutzen wir die Produktregel. Wir setzen $u(x)=x$ und $v(x)=\ln x$. Damit gilt:
- $\big(x \ln x\big)'=\underbrace{1}_{u'(x)}\cdot \underbrace{\ln x}_{v(x)} + \underbrace{x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac 1x}_{v'(x)}=\ln x +1=1+\ln x$
Wir schreiben die Funktion um zu $x^x=e^{x\ln x}$.
Dann können wir diese Funktion mittels Kettenregel und Produktregel ableiten. Für die innere Funktion gilt:
- $v(x)=x\ln x$
- $v'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac 1x=\ln x+1=1+\ln x$
- $u(v)=e^v$
- $u'(v)=e^v$
- $\big( x^x \big)'=(1+\ln x)e^{x\ln x}=(1+\ln x)x^ x$
-
Bestimme die erste Ableitung.
TippsSchreibe die Funktion zunächst wie folgt:
$f(x)=e^{2x^2\ln x}+x^2$
Leite mit der Kettenregel die Funktion $e^{(2x^2)\ln x}$ ab. Die innere Funktion ist $(2x^2)\ln x$. Du kannst sie mit der Produktregel ableiten. Die äußere Funktion ist die $e$-Funktion.
LösungWir schreiben die Funktion wie folgt um:
- $f(x)=x^{2x^2}+x^2=e^{2x^2\ln x}+x^2$
- $\big(u(v(x))\big)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
- $\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
- $v(x)=(2x^2)\ln x$
- $v'(x)=4x\cdot \ln x+(2x^2)\cdot \frac 1x=4x\cdot \ln x+2x$
- $u(v)=e^v$
- $u'(v)=e^v$
- $(4x\cdot \ln x+2x)e^{2x^2\ln x}=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}$
- $f'(x)=(4x\cdot \ln x+2x)x^{2x^2}+2x$

Eulersche Zahl e – Erklärung mit Ableitung

Natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x

Ableitung von x hoch x

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-e^x+x

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-3e+2e^x

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=(e^x-3x³)/3

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=5e^(6x)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=3x+e^(-2x)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^(4x)-e^(-4x)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2(x²-⅓e^(½x))

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^(3x-2)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-3e^(-3x-3)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=0,3•e^(-0,4x)+√ ̅x

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=0,5e^(4,6x+4,6)+x^(-1)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=1/(e^(-6x))

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x•x

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^(-x)•x^(-1)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=⅓x^(-⅓)•e^(-⅓x) (Teil 1)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=⅓x^(-⅓)•e^(-⅓x) (Teil 2)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=0,5e^x•0,2x^(-17)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-2x^(-2)/(-2e^(-2x))

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x/(x-1)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2e^(-½x)/(x-2) (Teil 1)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2e^(-½x)/(x-2) (Teil 2)

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=5(x-1)/e^(⅓x-⅓)