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Ableitung – Erklärung 07:12 min

Textversion des Videos

Transkript Ableitung – Erklärung

Hallo, was ist eine Ableitung? Wenn man mit dem Thema anfängt, ist es vielleicht ganz praktisch, wenn man mal ein paar Details beiseitelässt und sich grundsätzlich überlegt, was so eine Ableitung ist. Dazu brauchen wir eine Funktion f(x), die hat einen solchen Funktionsgraphen. Welche Funktion das genau ist, soll jetzt mal egal sein. Wir können uns einen bestimmten Punkt des Graphen hier ausgucken, zum Beispiel den und eine Tagente an diesen Graphen, in diesem Punkt zeichnen und das habe ich schon mal vorbereitet. Da ist es. Hier ist der Punkt, den wir gewählt haben, da ist die Tagente an dem Graphen in diesem Punkt. Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen in nur einem einzigen Punkt berührt. Also sie schneidet hier natürlich den Graphen auch noch mal, aber es geht hier nur um diesen Bereich und da berührt diese Gerade diesen Graphen in diesem Punkt. Diese Tangente hat eine Steigung, vielleicht erinnerst du dich noch an lineare Funktionen, da hast du das mal gemacht, da hast du mit einem Steigungsdreieck die Steigung von solchen Geraden bestimmt. Diese Strecke geteilt durch diese Strecke ist die Steigung und die Steigung dieser Tangente ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Die Ableitung ist also nichts weiter als die Steigung der Tangente. So mal grundsätzlich gesehen. Das hab ich hier auch noch mal aufgeschrieben: "Die Ableitung ist die Steigung der Tangente." Wie berechnet man die Steigung einer Tangente? Das macht man, indem man eine Ableitungsfunktion bestimmt und eine Ableitungsfunktion bestimmt man, in der Regel, mit Ableitungsregeln. Das kann man sich folgendermaßen vorstellen. Wir nehmen uns eine bestimmte Funktion f(x)=x3 zum Beispiel. Das ist hier übrigens nicht diese Funktion, die hat, wenn sie überhaupt so ist, einen anderen Funktionsterm. Wir nehmen f(x)=x3. Auf diese Funktion können wir eine Ableitungsregel anwenden. Für den Anfang gibt es 3 Regeln, das ist die Faktorregel, die Summenregel und die Potenzregel. Damit ich hier ein bisschen was rechnen kann, nehme ich die Potenzregel. Die geht so: Wir haben eine Funktion xn, grundsätzlich, wenn wir für n 3 einsetzen, haben wir die Funktion x3. Wenn man die ableitet, scheibt man das so, große Klammer rum und hier einen Strich dran. Abgeleitet ergibt xn=n×xn-1. Und das ist immer richtig, egal welche Zahl man für n einsetzt. Für unsere konkrete Funktion bedeutet das, das wir mit dieser Formel hier, mit der Potenzregel die Ableitungsfunktion bestimmen können und die schreibt man f'(x) und die Ableitungsfunktion lautet dann, ja für n haben wir 3 eingesetzt, also 3×x2. 3×x2 ist die Ableitungsfunktion dieser Funktion hier. Wenn wir die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle ausrechnen wollen, dann müssen hier ein konkretes x einsetzen. Zum Beispiel könnte man 0,7 einsetzen. Hab ich mir jetzt so ausgedacht, reine Willkür und dann können wir Steigung der Tagente an der Stelle 0,7 der Funktion f(x)=x3 ausrechnen. Die lautet dann nämlich 3×0,72=1,47.1,47 ist die Tangentensteigung und das ist die Ableitung der Funktion f(x)=x3 an der Stelle 0,7. Oft sagt man für die Ableitungsfuntktion auch einfach Ableitung, wenn man genau weiß, wovon man redet und wenn der Zusammenhang so ist, dass man sich da nicht vertun kann, dann ist das auch völlig in Ordnung. Das führt normalerweise zu keinen Problemen. Ich habe jetzt hier mal einen Teil des Funktionsgraphen für x3 ausgedruckt. Das ist x=0 und da ist x=1 und ich möchte jetzt einfach mal zeigen wie das so graphisch funktioniert. Hier ist die Stelle 0,7 und hier ist der zugehörige Funktionswert. Der Punkt des Graphen an dieser Stelle, und wenn ich jetzt hier eine Tangente zeichne, ich hoffe, dann kannst du dich daran erinnern, dass eine Tangente, die eine Steigung von ca. 1,5 hat, so aussieht und das ist dann die Ableitung der Funktion f(x)=x3 an dieser Stelle, an dieser Stelle, an der Stelle 0,7. Ja, das wars dazu als einfach Version der Ableitung. Viel Spaß damit, tschüss.

5 Kommentare
  1. Klasse erklärt ! Weiter so!

    Von Claudiakoj, vor mehr als 2 Jahren
  2. Wie immer super erklärt! :)

    Von Aylin Ferati, vor etwa 6 Jahren
  3. Hallo, Find ich auch sehr gut erklärt.
    Aber ich habe mir wahrscheinlich etwas falsches im Unterricht aufgeschnappt. Du schreibst hier "Die Ableitung ist die Steigung der Tangente". Bezieht das sich nur auf die erste Ableitung also f'(x)=3x^2 oder auch auf die zweite Ableitung "f''(x)=6x" und die dritte Ableitung "f'''(x)=6"?

    Von Rimas, vor mehr als 6 Jahren
  4. Hallo Ganz phantastisch. Bin begeistert wie einfach und klar das erklärt wird. Das schaffe sogar ich mit meinen 57 Jahre. Gratulation

    Von Helmuth, vor fast 7 Jahren
  5. Danke. Mit nicht zu vielen Worten sehr viel gesagt. So und nicht anders !!

    Von Mischl, vor etwa 9 Jahren

Ableitung – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Ableitung.

    Tipps

    Tangere kommt aus dem Lateinischen und bedeutet berühren.

    Zeichne dir einen beliebigen Funktionsgraphen und mache dir die Aussage an diesem Beispiel klar.

    Die Funktionsgleichung zu einer Geraden lautet

    $y=m\cdot x+b$, wobei

    • $m$ die Steigung und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Lösung

    Wenn man sich einen Funktionsgraphen anschaut und dazu einen Punkt dieses Graphen, dann kann man in diesem Punkt eine Tangente an den Graphen einzeichnen.

    Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen in nur einem Punkt berührt.

    Eine Gerade hat eine Steigung, welche man zum Beispiel durch das Steigungsdreieck ermitteln kann.

    Die Steigung dieser Tangente ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle.

  • Fasse zusammen, was man anschaulich unter einer Ableitung versteht.

    Tipps

    Hier siehst du eine Ableitung anschaulich.

    • Eine Tangente berührt in einem Punkt.
    • Eine Passante geht an einer Kurve vorbei, besitzt also keine gemeinsamen Punkte mit der Kurve.
    • Eine Sekante schneidet eine Kurve in mindestens zwei Punkten.

    Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion.

    Lösung

    Da der Ableitungsbegriff ein sehr zentraler Begriff in der Mathematik ist, ist es wichtig, sich klarzumachen, wofür die Ableitung anschaulich steht:

    Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an einer festen Stelle ist die Steigung der Tangente an den Graphen dieser Funktion in dem zu dieser Stelle zugehörigen Punkt.

    Man kann sich dies abkürzend so merken: Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente.

    Dies ist insbesondere dann wichtig, wenn man sich zum Beispiel als Anwendung der Ableitung Extrema anschaut. Die Tangente in einem Extremum verläuft parallel zur x-Achse, hat also die Steigung $0$. Das ist gerade das notwendige Kriterium für Extrema: $f'(x)=0$.

  • Bestimme die Steigung der Tangente der Funktion an der Stelle $x=0,7$.

    Tipps

    Zur Ableitung von Potenzen verwendet man die Potenzregel

    $(x^n)=nx^{n-1}$.

    Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion an der entsprechenden Stelle, hier $x=0,7$.

    Du benötigst die y-Koordinate des Punktes für die Bestimmung der Tangentensteigung nicht.

    Lösung

    Es soll die Ableitung der Funktion $f(x)=x^3$ an der Stelle $0,7$ berechnet werden, also die Steigung der Tangente an dem Graphen der Funktion in dem Punkt $(0,7|f(0,7))$.

    Hierfür benötigt man zunächst die Ableitung der Funktion $f(x)$. Da es sich hier um eine Potenzfunktion handelt, verwendet man die Potenzregel

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Somit ist $f'(x)=(x^3)'=3x^2$.

    Es ist die Steigung der Tangente an dem Graphen von $f(x)$ im Punkt $0(0,7|f(0,7))$ gesucht. Diese ist gegeben durch

    $f'(0,7)$.

    Das bedeutet, dass in der obigen Ableitung für $x=0,7$ eingesetzt wird. Die Steigung ist somit

    $f'(0,7)=3\cdot 0,7^2=1,47$.

  • Arbeite die Gleichung der Tangente an der Stelle $x=2$ heraus.

    Tipps

    Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet

    $y=mx+b$, dabei

    • ist $m$ die Steigung und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, benötigst du den Berührpunkt. Die x-Koordinate ist gegeben, die y-Koordinate erhältst du durch Einsetzen in der Funktionsgleichung.

    Der Berührpunkt lautet $(2|2)$.

    Setze bei gegebener Steigung die y-Koordinate für $y$ und die x-Koordinate für $x$ in der Gleichung

    $y=mx+b$

    ein und forme diese nach $b$ um.

    Lösung

    Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung einer Tangente. Oft wird in Aufgaben die gesamte Gleichung der Tangente verlangt.

    Diese lautet $y=mx+b$. Dabei ist

    • $m$ die Steigung gerade die Ableitung der Funktion an der gegebenen Stelle $x=2$ und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt.
    Zunächst benötigt man die Ableitung. Diese erhält man durch die Potenz- und Summenregel:

    $f(x)=2x^2-3x$, also

    $f'(x)=4x-3$.

    Damit kann $m$ wie folgt berechnet werden:

    $m=f'(2)=4\cdot 2-3=5$.

    Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, benötigt man den Berührpunkt. Die x-Koordinate $x=2$ ist bekannt, die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x=2$ in der Funktionsgleichung

    $y=2\cdot 2^2-3\cdot 2=8-6=2$.

    Es muss also die folgende Gleichung gelöst werden

    $2=5\cdot 2+n$.

    Durch Subtraktion von $10$ erhält man $n=-8$ und somit die Tangentengleichung

    $y=5x-8$.

  • Leite die jeweilige Funktion jeweils einmal ab.

    Tipps

    Die Potenzregel der Differentiation lautet $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist die Summe (Differenz) der Ableitungen der beiden Funktionen.

    Die Ableitung einer Konstanten ist $0$.

    Die Ableitung des Vielfachen einer Funktion ist das Vielfache der Ableitung der Funktion.

    Lösung

    Da die Steigung einer Tangente an einen Funktionsgraphen gerade die Ableitung der Funktion an der gegebenen Stelle ist, oder umgekehrt, die Steigung der Tangente die anschauliche Erklärung der Ableitung ist, ist es wichtig zu einer gegebenen Funktion die Ableitung bestimmen zu können.

    Hierfür gibt es verschiedene Ableitungsregeln:

    • die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
    • die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$,
    • die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
    • die Konstantenregel: $(c)'=0$.
    1. $f(x)=2x^4-3x$, dann ist $f'(x)=8x^3-3$
    2. $f(x)=-3x^2+2$, dann ist $f'(x)=-6x$
    3. $f(x)=2x^{-2}+3x^3$, dann ist $f'(x)=-4x^{-3}+9x^2$
    4. $f(x)=\frac12 x^4+\frac23 x^3$, dann ist $f'(x)=2x^3+2x^2$

  • Entscheide, für welches $a$ die Steigung der Tangente an der Stelle $x=0,25$ gerade $1$ ist.

    Tipps

    Verwende zur Ableitung die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Die Unbekannte $a$ wird wie ein Faktor verwendet.

    Es ist zum Beispiel

    $(ax^3)'=3ax^2$.

    Wenn du die vorgegebene Stelle in der ersten Ableitung einsetzt, erhältst du einen Term, der von $a$ abhängt.

    Lösung

    Man kann sich den folgenden Satz merken: Die Steigung einer Tangente ist die Ableitung der Funktion an der entsprechenden Stelle.

    Das bedeutet, dass zu der Funktion $f(x)=ax^2$ die Ableitung benötigt wird. Diese ist $f'(x)=2ax$.

    Gefragt ist nach der Steigung der Tangente an der Stelle $x=0,25$. Man muss also $0,25$ in der obigen Ableitung einsetzen: $2a\cdot 0,25=0,5a$.

    Es muss somit die Gleichung $0,5a=1$ gelöst werden. Division durch $0,5$ führt zu $a=2$.

    Die gesuchte Funktion ist also $f(x)=2x^2$.