30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Abituraufgabe Grundkurs – Exponentialfunktionen (1) 07:55 min

Textversion des Videos

Transkript Abituraufgabe Grundkurs – Exponentialfunktionen (1)

Hallo. Wir machen eine Abituraufgabe zum Thema „Analysis“. Die soll mal heißen “Aufstieg und Fall einer mathematischen Größe”. Die soll bearbeitet werden mit einem normalen Taschenrechner, also nicht mit einem Computer Algebra-System und ist im Grundkurs in Nordrhein-Westphalen mit identischem Anforderungsniveau schon gestellt worden. Die Zahlen sind aus der Originalaufgabe, den Sachzusammenhang habe ich weggelassen. Warum? Weil ich glaube, erstens hast Du mehr davon, wenn ich hier die Mathematik zeige und zweitens ist der Sachzusammenhang sowieso ziemlich belanglos in dieser Aufgabe und in allen Abituraufgaben, die in Nordrhein-Westphalen gestellt werden. Warum? Weil niemand, der irgendwelche Spezialkenntnisse hat über ein Fachgebiet einen Vorteil haben soll, beim Lösen dieser Aufgabe. Es geht hier wirklich nur um die Mathematik und nicht um den Sachzusammenhang an sich. Und, naja, das führt dann dazu, dass die halt immer etwas an den Rand gedrängt sind, die Sachzusammenhänge. Also, was haben wir hier? Wir haben eine Funktionsschar gegeben. Fa(x) = a × (1 – e-0,25x). x soll größer, gleich 0 sein und a soll größer als 0 sein. Wir haben auch drei Graphen gegeben, die habe ich hier schon mal so angedeutet. Wir können hier sehen, dass diese Graphen steigend sind. Wir können sehen, dass f15 gegen 15 konvergiert, also zumindest sieht das so aus, das müsste man dann natürlich noch nachweisen, wenn das so sein sollte. Und hier geht f10 gegen 10 und f5 geht gegen 5 und die steigen alle an, habe ich schon gesagt. Man kann sich hier alles Mögliche als Sachzusammenhang auch vorstellen. Dass ein Druck ansteigt, dass ein magnetischer Fluss ansteigt, dass ein Stromfluss ansteigt oder Stromstärke steigt an beim Einschalten vielleicht oder die Konzentration eines Medikamentes, eines Wirkstoffes im Blut steigt an oder eine Temperatur steigt an. Das kann sonst was sein, das ist völlig egal hier. Die erste Aufgabe ist, zu zeigen, dass die Funktionen dieser Funktionsschar alle steigend sind, und dass sie alle konvergieren. Für x gegen plus unendlich sollen alle diese Funktionen dieser Funktionsschar einen Grenzwert haben. Und ja, dass das so ist, sollen wir hier zeigen. Ja, wie macht man das? Wenn es um die Steigung geht sollte bei Dir Schublade aufgehen, da denkst Du gleich an die Ableitung. Machen wir mal die Ableitung dieser Funktion. Oder der Funktionen dieser Funktionenschar. Um die Ableitung zu machen, möchte ich eine kleine, eine kleine Formel anwenden, das Distributivgesetz, ja das kennst Du noch. Ich möchte ausmultiplizieren hier a×1 = a und a×(-e) hoch irgendwas ist -a×e hoch, ja, das Irgendwas ist -0,25x. So, wenn wir jetzt ableiten, dann müssen wir einmal die Summenregel anwenden, das ist ein Summand, das ist der andere Summand. Die Ableitung von a ist 0, denn a ist bei uns ja einfach irgendeine Zahl. Das heißt, das kann ich also bei der Ableitung schon mal weglassen. Und dann haben wir -a×e hoch irgendwas. Und -a bleibt stehen, nach Faktorregel. Und e-0,25x ist eine verkettete Funktion. Ja, wenn ich das eben nochmal aufmalen darf, wenn Du e-0,25x ausrechnen wolltest, würdest Du ja erst eine Zahl für x einsetzen, dann würdest Du -0,25×x rechnen. Ich hoffe das sieht man alles hier so. Und danach würdest Du erst das Ergebnis hiervon in den Exponenten von e von X einsetzen, also in den Exponenten von e einsetzen und dann steht da e-0,25x. Und das, was man erst rechnet ist die innere Funktion und das, was man danach rechnet ist die äußere Funktion. Also haben wir hier innere Funktion ist -0,25×x, die müssen wir nach Kettenregel dann ableiten. Das ist -0,25 und das muss ich hier multiplizieren. -a ×(-0,25). Ja, dann weiß ich ja gleich, naja dann kann ich hier minus mal minus ist plus, ja kann ich das Minuszeichen weglassen und meistens schreibt man dann 0,25 davor. Und dann muss ich hier noch die äußere Funktion ableiten. Und weil das eine solche e-Funktion ist, bleibt die Ableitung der äußeren Funktion einfach e hoch innere Funktion und das ist dann e-0,25x. Wenn Dir das ein bisschen schnell gegangen ist, kannst Du gerne nochmal bei den Filmen über die Ableitung gucken, wo wir die Kettenregel, das ist ausführlicher, weil wir ja hier eine Abituraufgabe haben, setze ich das mal voraus, dass Du das im Prinzip kannst. So und dann haben wir fa‘(x)=0,25×a×e-0,25x. Ja, was bringt uns das jetzt? Wir sollten nachweisen, dass alle Funktionen steigend sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Ableitungen positiv sind. Sind sie denn positiv? Wir haben e-0,25x. Das ist immer positiv, haben wir so gelernt über Exponentialfunktionen, darfst Du hier voraussetzen, musst Du nicht weiter zeigen. Das Ding ist positiv, a ist positiv, das steht hier. 0,25 ist positiv. Wenn man das alles multipliziert kommt was positives raus und zwar für alle a, um die es ja geht, für alle x, die größer, gleich 0 sind, also um die es hier geht. Und deshalb sind alle Funktionen dieser Funktionenschar steigend. Dann sollten wir noch sagen, dass sie alle konvergieren. Und ja, da müssen wir uns mal die Funktionen hier scharf angucken. Ich möchte mal mit dieser Version hier weitermachen. Wir haben e-0,25x. Es geht ja jetzt darum, dass x gegen plus unendlich geht. Und dann geht e hoch minus etwas das gegen unendlich geht, gegen 0. Ja, das schreibe ich jetzt auch einfach so hier hin, ohne das noch genauer zu erklären. Aber da darfst Du das Wissen über Exponentialfunktionen, was Du im Unterricht erworben hast hier einfach dann reinhauen, das darfst Du so voraussetzen. Dann haben wir, dass dieses Ding hier mit -a multipliziert wird. Da e-0,25x gegen 0 geht, geht das hier auch gegen 0 für x gegen plus unendlich. Und dann bleibt nur noch a übrig. Und deshalb konvergiert fa(x) gegen a, für x gegen plus unendlich. Ob Du das so aufschreiben sollst, weiß ich nicht. Vielleicht möchte dein Lehrer was anderes haben. Dann mach es bitte anders. Die Schreibweisen sind hier nicht so standardisiert, deshalb können die auch bei deiner konkreten Lösung dann von meiner Schreibweise hier abweichen. Ja, im nächsten Film geht es weiter mit der zweiten Aufgabe dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.