Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren Übung

• Gib die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren wieder.

  Tipps

  Bei der Berechnung der Länge eines Vektors kann der Satz des Pythagoras verwendet werden.

  Die Kosinusform kann auch umgestellt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

  Lösung

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ sowie $\vec{b}$ kann

  • in der Kosinusform $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
  • oder der Koordinatenform $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

  angegeben werden.

  Die Länge eines Vektors $\vec{a}$ kann so berechnet werden: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$. Die Länge wird auch als der Betrag des Vektors bezeichnet.

• Bestimme den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels lautet

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.

  Berechne zunächst das Skalarprodukt in der Koordinatenform

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

  Berechne dann die Längen der Vektoren mit der Formel

  $|\vec{a}|=\sqrt{\small{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}$.

  Berechne nun den Quotienten und kehre den Kosinus um. Runde den Winkel auf die erste Stelle hinter dem Komma.

  Beachte, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels lautet

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.

  Diese erhältst durch Umstellung der Definition des Skalarproduktes über die Kosinusform.

  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist

  $\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\4 \end{pmatrix}=1\cdot1+2\cdot(-2)+1\cdot4=1$

  Die Längen sind

  $\left|\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$

  sowie

  $\left|\begin{pmatrix} 1\\-2\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{21}$.

  Damit ist

  $\begin{align*} && \cos(\alpha)&=\frac{1}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{21}} &|& cos^{-1}(~ )\\ &\Leftrightarrow& \alpha&\approx84,9^\circ \end{align*}$

  Zur Umkehrung des Kosinus „$\cos^{-1}$“ oder „$\arccos$“ muss der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt sein.

• Berechne das Skalarprodukt und die Länge der Vektoren.

  Tipps

  Verwende zur Berechnung des Skalarproduktes die Definition in Koordinatenform

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

  Verwende zur Berechnung der Länge des Vektors die Definition

  $|\vec{a}|=\sqrt{\small{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}$.

  Beachte, dass du beim Quadrieren von negativen Zahlen die Klammern setzen musst, denn $(-2)^2=4$ aber $-2^2=-4$.

  Lösung

  Gemäß der Definition in der Koordinatenform werden zur Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren die Produkte der einzelnen Komponenten addiert:

  $\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\-3\\ 6 \end{pmatrix}=1\cdot (-2)+2\cdot(-3)+(-2)\cdot6=-20$.

  Die Längen der Vektoren berechnen sich als die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten:

  $\left|\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3$

  sowie

  $\left|\begin{pmatrix} -2\\-3\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{49}=7$.

  Wichtig: Bei der Eingabe in den Taschenrechner solltest du die Klammern bei negativen Komponenten nicht vergessen.

• Bestimme alle Winkel in dem Dreieck.

  Tipps

  Welche Bedeutung hat es, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$ ist?

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Winkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

  Ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, so ist die Summe der beiden übrigen $90^\circ$.

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner bei der Verwendung von trigonometrischen Funktionen auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

  Lösung

  Um die Winkel zu berechnen, wird die folgende Formel benötigt:

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.

  Da die Summe der drei Winkel in einem Dreieck nach dem Innenwinkelsummensatz $180^\circ$ beträgt, genügt es, zwei Winkel zu berechnen. Der letzte Winkel ist dann gerade die Differenz von $180^\circ$ und der Summe der beiden anderen Winkel.

  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ ist

  $\begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\ 0 \end{pmatrix}=0\cdot(-1)+2\cdot0+2\cdot0=0$.

  Das bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen bzw. orthogonal sind. Also ist $\beta=90^\circ$.

  Es genügt nun also $\alpha$ zu berechnen, da $\gamma=180^\circ-90^\circ-\alpha$.

  $\begin{align*} && \cos(\alpha)&=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|}\\ &\Leftrightarrow& \cos(\alpha)&=\frac{\begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|}\\ &\Leftrightarrow& \cos(\alpha)&=\frac{1}{3\cdot 1} &|& cos^{-1}(~ )\\ &\Leftrightarrow& \alpha&\approx70,5^\circ \end{align*}$

  Der Einfachheit halber haben wir auf die erste Stelle hinter dem Komma gerundet. Damit ist $\alpha \approx 90^\circ-70,5^\circ \approx 19,5^\circ$.

  Zu beachten ist, dass der Taschenrechner bei der Verwendung von trigonometrischen Funktionen auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

• Gib an, wie der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden kann.

  Tipps

  Die Formel erhältst du, indem du eine Definition des Skalarproduktes umstellst.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ sowie $\vec{b}$ ist in der Kosinusform definiert als

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

  Lösung

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ sowie $\vec{b}$ ist in der Kosinusform definiert als

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

  Durch Umstellen dieser Formel gelangt man zu der Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren:

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.

• Untersuche, welchen Winkel zwei kollineare Vektoren einschließen.

  Tipps

  Wenn $\vec{a}=r\cdot \vec{b}$, dann heißt dies:

  $\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r \cdot b_1\\r \cdot b_2\\ r \cdot b_3 \end{pmatrix}$

  Es gilt: $|\vec{a}|^2={\vec{a}}^2$.

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=r\cdot \vec{b} \cdot \vec{b}$.

  Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$.

  Lösung

  Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigt man die folgende Formel

  $\large{cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$.

  Da die beiden Vektoren kollinear sind, also $\vec{a}=r \cdot \vec{b}$, gilt:

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=r \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}=r\cdot \vec{b}^2=r \cdot |\vec{b}|^2$

  sowie

  $|\vec{a}|=|r \cdot \vec{b}|=\sqrt{(r \cdot b_1)^2+(r \cdot b_2)^2+(r \cdot b_2)^2}=\sqrt{r^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)}=|r|\cdot |\vec{b}|$.

  Die letzten beiden Ergebnisse eingesetzt in der obigen Formel ergeben:

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{r \cdot |\vec{b}|^2}{|r|\cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{b}|}}=\frac{r}{|r|}$.

  Sei nun $r>1$, so ist $\frac{r}{|r|}=1$. Die Umkehrung von $\cos$ liefert $\alpha=0^\circ$.

  Falls $r<0$, ist $\frac{r}{|r|}=-1$. Hier liefert die Umkehrung von $\cos$ den Winkel $\alpha=180^\circ$.