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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Wendestellen – Übungen

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Gegebenen ist die rationale Funktionenschar mit der Funktionsgleichung f_k(x) = (x² + 2x + k) / (x – 2). Der Definitionsbereich ist eingeschränkt auf R \ {2} – also: ganz R ohne die 2. An der Stelle x = 2 befindet sich also eine Definitionslücke der Funktionenschar.
Bei einer Kurvendiskussion zu dieser Funktionenschar muss sie auch auf Wendestellen untersucht werden. Auch wenn diese Funktionenschar keine einzige Wendestelle hat, gehört der Programmpunkt „Wendestellen“ in die Funktionsuntersuchung.

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Aufgaben in dieser Übung
Ergänze die Begründung dafür, dass für alle $k\neq -8$ kein Wendepunkt vorliegen kann.
Beschreibe, warum auch für $k=-8$ kein Wendepunkt vorliegt.
Bestimme die zweite Ableitung der Funktionenschar $f_k(x)=x-2+\frac{4-k^2}{x+2}$.
Untersuche die Funktionenschar $f_k(x)=x-2+\frac{4-k^2}{x+2}$ mithilfe der 2. Ableitung $f_k''(x)=\frac{8-2k^2}{(x+2)^3}$ auf Wendepunkte.
Gib die notwendige Bedingung für Wendepunkte an.
Prüfe, ob die Funktionenschar $f_k(x)=\frac{2x-k}{x^2}$ mit $\mathbb{D}_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ Wendepunkte besitzen kann.