Kausale Beziehungen von Ereignissen
Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung kennenlernen: Ereignisse können kausal äquivalent, unabhängig, voneinander abhängig oder sich gegenseitig ausschließen. Ein Beispiel: Das Ereignis "König sein" bedingt "Krone besitzen" und umgekehrt. Finde weitere Beispiele und Übungen auf dieser Seite. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im Text und den Übungen!

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Kausale Beziehungen von Ereignissen Übung
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Gib die mathematischen Schreibweisen für die jeweiligen Beziehungen zwischen den Ereignissen $A$ und $B$ an.
TippsZwei Ereignisse sind dann kausal äquivalent, wenn sie sich gegenseitig bedingen.
$A\Rightarrow B$ bedeutet:
Immer, wenn Ereignis $A$ eintritt, tritt auch Ereignis $B$ ein – aber nicht zwangsläufig umgekehrt.
LösungWenn du die Beziehungen und Verknüpfungen von Ereignissen untersuchen möchtest, dann ist es von Vorteil, die passenden mathematischen Ausdrücke zu kennen. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ können auf verschiedene Arten kausal zusammenhängen.
- Sie könnten sich gegenseitig bedingen. Dann sind sie kausal äquivalent.
- Sie könnten sich gegenseitig nicht ausschließen, aber auch nicht bedingen. Dann sind sie kausal unabhängig.
- Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ eintritt – aber nicht zwangsläufig umgekehrt. Dann bedingt Ereignis $A$ das Ereignis $B$ kausal.
- Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ nicht eintritt, und umgekehrt. Dann schließen sich die Ereignisse $A$ und $B$ kausal aus.
Die mathematischen Ausdrücke sind dann wie folgt gegeben:
- $A\Leftrightarrow B$: $\quad A$ und $B$ sind kausal äquivalent.
- $A\nLeftarrow B$: $\quad A$ ist kausal unabhängig von $B$.
- $A\Rightarrow B$: $\quad A$ bedingt $B$ kausal.
- $A\otimes B$: $\quad A$ und $B$ schließen sich kausal aus.
-
Bestimme die Beziehungen der gegebenen Ereignisse.
TippsZwei Ereignisse $A$ und $B$, die sich gegenseitig nicht ausschließen, allerdings auch nicht bedingen, sind kausal unabhängig. Dann gilt sowohl $A\nRightarrow B$ als auch $A\nLeftarrow B$.
Wenn Ereignis $B$ nur dann eintreten kann, wenn Ereignis $A$ eintritt, so sagt man, dass Ereignis $A$ Ereignis $B$ kausal bedingt – aber das gilt umgekehrt nicht zwangsläufig. Wir schreiben dann $A\Rightarrow B$.
Dem König ist Folgendes bekannt:
- Jeden Morgen betrachtet die Prinzessin aus ihrem Fenster den Sonnenaufgang. Die Prinzessin kann also aus dem Fenster blicken, ohne dass Hieronymus seine Audienz hat.
- Zudem kann Hieronymus seine Audienz haben, ohne dass die Prinzessin aus dem Fenster blickt.
- Aber beide Ereignisse könnten auch gleichzeitig eintreten.
LösungBevor wir die gegebenen Beispiele betrachten, fassen wir zunächst zusammen, welche Beziehungen zwischen zwei Ereignissen vorliegen können. Im Folgenden sind diese mit den dazugehörigen mathematischen Schreibweisen aufgeführt:
- $A\Leftrightarrow B$: $\quad A$ und $B$ sind kausal äquivalent.
- $A\nLeftarrow B$: $\quad A$ ist kausal unabhängig von $B$.
- $A\Rightarrow B$: $\quad A$ bedingt $B$ kausal.
- $A\otimes B$: $\quad A$ und $B$ schließen sich kausal aus.
Nun wenden wir uns an die gegebenen Ereignisse:
Beispiel 1
Gegeben sind die Ereignisse:
- $A$: König sein
- $B$: die Königskrone besitzen
Die beiden Ereignisse $A$ und $B$ bedingen sich also gegenseitig. Sind zwei Ereignisse kausal äquivalent, schreiben wir:
- $A\Leftrightarrow B$
Beispiel 2
Gegeben sind die Ereignisse:
- $A$: Schwert besitzen
- $B$: Schwert aus einem Stein ziehen
Das Ereignis $B$ bedingt demnach das Ereignis $A$ – aber das gilt umgekehrt nicht zwangsläufig. Wir schreiben dann:
- $A\Leftarrow B$ und
- $A\nRightarrow B$
Beispiel 3
Gegeben sind die Ereignisse:
- $A$: Hieronymus kommt zur Audienz.
- $B$: Die Prinzessin blickt aus dem Fenster.
Somit sind die Ereignisse $A$ und $B$ kausal unabhängig voneinander und wir schreiben:
- $A\nLeftarrow B$ und
- $A\nRightarrow B$
Beispiel 4
Gegeben sind die Ereignisse:
- $A$: Hieronymus hat den Drachen besiegt.
- $B$: Der Drache treibt immer noch sein Unwesen.
Die Ereignisse $A$ und $B$ schließen sich gegenseitig kausal aus und wir schreiben:
- $A\otimes B$
-
Erkläre die Bedeutung der Beziehung zwischen den Ereignissen $A$ und $B$.
TippsDie Ereignisse $A$ und $B$ sind kausal unabhängig voneinander.
Man schreibt $A\nRightarrow B$ und $A\nLeftarrow B$.Eine Person kann männlich sein, ohne Gitarre zu spielen. Auch muss eine Person, die Gitarre spielt, nicht zwingend männlich sein.
LösungIm Folgenden betrachten wir diese zwei Ereignisse:
- $A$: Eine Person ist männlich
- $B$: Eine Person spielt Gitarre.
- Eine Person kann männlich sein, ohne Gitarre zu spielen.
- Auch muss eine Person, die Gitarre spielt, nicht zwingend männlich sein.
- Aber es ist selbstverständlich möglich, dass eine männliche Person Gitarre spielt.
- Zudem kann es sein, dass eine Person weder männlich ist noch Gitarre spielt.
- Durch das Eintreten von Ereignis $A$ wird das Eintreten von Ereignis $B$ weder bedingt noch ausgeschlossen.
- Ebenso wird durch das Eintreten von Ereignis $B$ das Eintreten von Ereignis $A$ weder bedingt noch ausgeschlossen.
- Daher könnte es sein, dass die Ereignisse $A$ und $B$ gleichzeitig eintreten.
- Es könnte aber auch weder Ereignis $A$ noch Ereignis $B$ eintreten.
- $A\nRightarrow B$ und
- $A\nLeftarrow B$
-
Ermittle die Beziehungen und Verknüpfungen zwischen den gegebenen Ereignissen.
Tipps$A\otimes B$ bedeutet, dass Ereignis $A$ und Ereignis $B$ sich kausal ausschließen.
Bedingen sich die Ereignisse gegenseitig, sind diese kausal äquivalent. Wir schreiben dann $A\Leftrightarrow B$.
Tritt Ereignis $B$ ein, sofern Ereignis $A$ eintritt – aber nicht zwangsläufig umgekehrt –, bedingt Ereignis $A$ das Ereignis $B$ kausal. Es gilt:
- $A\Rightarrow B$ und
- $A\nLeftarrow B$
LösungIn dieser Aufgabe betrachten wir die folgenden Ereignisse:
- $A$: an Fahrradführerschein-Prüfung teilgenommen
- $B$: Fahrradführerschein-Prüfung bestanden
- $C$: Fußballteam spielt im Viertelfinale
- $D$: Fußballteam hat im Achtelfinale gewonnen
Fahrradführerschein-Prüfung
Nimmt man an einer Fahrradführerschein-Prüfung teil, so heißt es noch lange nicht, dass man diese auch besteht. Ereignis $A$ ist also kausal unabhängig von Ereignis $B$. Wir schreiben dann $A\nRightarrow B$.
Hat man die Fahrradführerschein-Prüfung jedoch bestanden, muss man an dieser teilgenommen haben, sodass $B\Rightarrow A$ gilt. Das heißt, dass das Ereignis $B$ das Ereignis $A$ kausal bedingt.
Fußballteam
Ein Fußballteam, das im Achtelfinale gewonnen hat, kommt ins Viertelfinale. Das bedeutet, dass ein Fußballteam, das im Viertelfinale spielt, im Achtelfinale gewonnen haben muss. Diese Ereignisse sind also kausal äquivalent und wir schreiben $A\Leftrightarrow B$.
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Beschreibe die gegebenen Beziehungen und Verknüpfungen zwischen Ereignissen.
TippsDie folgenden beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus:
- $A$: Felix war heute um 14:00 Uhr im Kino.
- $B$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule.
Ereignis $C$ und $D$ sind kausal unabhängig:
- $C$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule.
- $D$: Felix hat heute um 14:00 Uhr geschlafen.
LösungEs sind folgende Beziehungen und Verknüpfungen zwischen Ereignissen möglich:
- Sie könnten sich gegenseitig bedingen. Dann sind sie kausal äquivalent.
- Sie könnten sich gegenseitig nicht ausschließen, aber auch nicht bedingen. Dann sind sie kausal unabhängig.
- Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ eintritt – aber nicht zwangsläufig umgekehrt. Dann bedingt Ereignis $A$ das Ereignis $B$ kausal.
- Ereignis $B$ könnte eintreten, sofern Ereignis $A$ nicht eintritt und umgekehrt. Dann schließen sich die Ereignisse $A$ und $B$ kausal aus.
Je ein Beispiel soll diese Beziehungen verdeutlichen:
$A$ und $B$ sind kausal äquivalent:
- $A$: Lena hat in der Prüfung alle Aufgaben richtig bearbeitet.
- $B$: Lena hat eine 1+ in der Prüfung.
- $C$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule.
- $D$: Felix hat heute um 14:00 Uhr geschlafen.
- $E$: Die Patrone ist leer.
- $F$: Der Füller schreibt nicht mehr.
- $G$: Felix war heute um 14:00 Uhr im Kino.
- $H$: Felix war heute um 14:00 Uhr in der Schule.
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Prüfe die Aussagen bezüglich ihrer Richtigkeit.
TippsWenn ein Ereignis $M$ ein Ereignis $N$ kausal bedingt, so tritt $N$ nur dann ein, wenn $M$ eingetreten ist. Man schreibt dann $M\Rightarrow N$.
Nicht immer, wenn es schneit, bleibt auch Schnee liegen.
LösungHier untersuchen wir die Beziehungen und Verknüpfungen folgender Ereignisse:
- $A$: Es hat geschneit.
- $B$: Es liegt Schnee.
- $C$: Kinder rodeln.
Nicht immer, wenn es schneit, bleibt auch Schnee liegen. Es gilt:
- $A\nRightarrow B$
- $A\Leftarrow B$
- $B\Leftarrow C$
- $A\nRightarrow C$
- $B\nRightarrow C$
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