Additionssätze cos(a+b) und cos(a-b) – Herleitung und Beweis

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Additionssätze cos(a+b) und cos(a-b) – Herleitung und Beweis Übung
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Gib die beiden Additionssätze für den Kosinus an.
TippsDer Additionssatz gibt eine Formel zur Berechnung des Kosinuswertes von Summen oder Differenzen von Winkeln an. Dabei werden die Kosinus- und Sinuswerte der einzelnen Winkel benötigt.
Der trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ lässt sich mit einem Kosinussatz herleiten, indem du in $\cos (\alpha -\beta)$ die Annahme $\beta =\alpha$ machst.
Beachte, dass $\cos (2\cdot \alpha)=\cos (\alpha +\alpha )= \cos^2 (\alpha ) -\sin^2 (\alpha ) $ ist.
Die Ausdrücke für $\cos (\alpha +\beta)$ und $\cos (\alpha -\beta)$ unterscheiden sich nur in einem Vorzeichen.
LösungDie Additionssätze für den Kosinus geben Formeln an für die Berechnung des Kosinus
- von Summen oder
- von Differenzen
- $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$ sowie
- $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.
-
Beschreibe, wie der Additionssatz $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$ bewiesen werden kann.
TippsBeginne mit einer der gegebenen Aussagen, wo der Kosinus als Funktion auftaucht. Schließlich willst du ja etwas über den Kosinus von $\alpha +\beta$ aussagen.
Die erste binomische Formel lautet allgemein:
Lösung- Man startet mit dem Kosinussatz $c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)$.
- Nach dem Winkelsummensatz ist $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ und damit $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$.
- Einer Formelsammlung kann entnommen werden, dass $\cos(180^\circ-(\alpha+\beta))=-\cos(\alpha+\beta)$ ist.
- Es gilt also: $c^2=a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.
- Mit dem Satz des Pythagoras kann
- in dem Dreieck $\Delta_{ADC}$: $b^2=\overline{AD}^2+\overline{DC}^2$ und damit $\overline{AD}^2=b^2-\overline{DC}^2$ hergeleitet werden und ebenso
- in dem Dreieck $\Delta_{DBC}$: $a^2=\overline{DB}^2+\overline{DC}^2$ und damit $\overline{DB}^2=a^2-\overline{DC}^2$.
- in $\Delta_{ADC}$: $\sin(\alpha)=\frac{\overline{DC}}{b}$ oder äquivalent dazu $\overline{DC}=\sin(\alpha)\cdot b$ sowie
- $\cos(\alpha)=\frac{\overline{AD}}{b}$ oder äquivalent dazu $\overline{AD}=\cos(\alpha)\cdot b$.
- In $\Delta_{DBC}$: $\sin(\beta)=\frac{\overline{DC}}{a}$ oder äquivalent dazu $\overline{DC}=\sin(\beta)\cdot a$ sowie
- $\cos(\beta)=\frac{\overline{DB}}{a}$ oder äquivalent dazu $\overline{DB}=\cos(\beta)\cdot a$.
- Nun kann der Additionssatz unter Verwendung der hergeleiteten Gleichungen bewiesen werden. Wir haben bereits gezeigt:
- Es gilt $c=\overline{AD}+\overline{DB}$, also ist
- Nun wird die 1. binomische Formel angewendet:
- Durch Einsetzen von $\overline{AD}^2=b^2-\overline{DC}^2$ sowie $\overline{DB}^2=a^2-\overline{DC}^2$ erhält man
- Es ist $\overline{AD}=\cos(\alpha)\cdot b$ sowie $\overline{DB}=\cos(\beta)\cdot a$. Dies führt zu
- Die Terme können zu
umgeformt werden.
- Mit $\overline{DC}=\sin(\alpha)\cdot b$ sowie $\overline{DC}=\sin(\beta)\cdot a$ erhält man
- Da auf beiden Seiten $a^2+b^2$ steht, kann dies subtrahiert werden zu
Zuletzt wird durch $2\cdot a\cdot b$ dividiert und man gelangt zu
$\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)- \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)=\cos(\alpha+\beta)$.
Dies ist der gesuchte Additionssatz.
-
Berechne $\cos(75^\circ)$ mit Hilfe des Additionssatzes $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.
TippsEs ist $75^\circ=30^\circ+45^\circ$.
Also ist $\cos(75^\circ)=\cos(30^\circ+45^\circ)$.
LösungEs ist $\cos(75^\circ)=\cos(30^\circ+45^\circ)$. Also kann der Additionssatz $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ verwendet werden, wobei $\alpha=30^\circ$ und $\beta=40^\circ$:
$\begin{align*} \cos(30^\circ+45^\circ)&=\cos(30^\circ)\cdot \cos(45^\circ)-\sin(30^\circ)\cdot \sin(45^\circ)\\ &=\frac12\cdot \sqrt3\cdot \frac12\cdot \sqrt2-\frac12\cdot \frac12\cdot \sqrt2\\ &=\frac14\cdot \sqrt2\cdot(\sqrt3-1)\\ &=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\\ &\approx 0,518. \end{align*}$
-
Begründe den trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ mit einem Additionssatz.
TippsDies ist der Verlauf der Kosinusfunktion.
Den Wert von $\cos (\alpha -\alpha )$ kannst du entweder direkt angeben oder über einen Additionssatz bestimmen.
LösungMit Hilfe des Additionssatzes
$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
kann der trigonometrische Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ bewiesen werden.
Hierfür verwendet man $0^\circ=\alpha-\alpha$ für einen beliebigen Winkel $\alpha$ sowie $\cos(0^\circ)=1$:
$\begin{align*} 1&=\cos(0^\circ)\\ &=\cos(\alpha-\alpha)\\ &=\cos(\alpha)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\alpha)\\ &=\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha). \end{align*}$
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Gib den Beweis des Additionssatzes $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ wieder.
TippsDie Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ersetze in der bekannten Formel für $\cos (\alpha +\beta )$ den Winkel $\beta$ durch $-\beta$.
LösungZum Nachweis des Additionssatzes $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ wird der Additionssatz $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ verwendet.
Zusätzlich benötigt man Symmetrieeigenschaften
- des Sinus: $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$, d.h. die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
- des Kosinus: $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, d.h. die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
$\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)& =\cos(\alpha)\cdot\cos(-\beta)- \sin(\alpha)\cdot \sin(-\beta) \\ & = \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)- \sin(\alpha)\cdot (-\sin(\beta))\\ & = \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+ \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta). \end{align*}$
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Leite eine Formel für $\cos(2\cdot \alpha)$ her.
TippsVerwende den Additionssatz
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.
Es ist $2\cdot \alpha=\alpha+\alpha$.
Verwende den trigonometrischen Pythagoras
$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.
Beachte, dass zwei Formeln richtig sind, da du den trigonometrischen Pythagoras sowohl nach $\sin^2(\alpha)$ als auch nach $\cos^2(\alpha)$ umstellen kannst.
LösungUnter Verwendung von $2\cdot \alpha=\alpha+\alpha$ sowie des Additionssatzes
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
mit $\beta=\alpha$ kann wie folgt umgeformt werden:
$\begin{align*} \cos(2\cdot \alpha)&=\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\\ &=\cos(\alpha)\cdot \cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\alpha)\\ &=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha). \end{align*}$
Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ erhältst du $\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$ bzw. $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$.
Setzt du dies in die obige Formel ein, so bekommst du $\cos(2\cdot \alpha) =2\cdot \cos^2(\alpha)-1$ bzw. $\cos(2\cdot \alpha) =1-2\cdot \sin^2(\alpha)$.
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