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3. binomische Formel

Wie kannst du $102\cdot 98$ rechnen, wenn du deinen Taschenrechner vergessen hast? Du kannst dafür die dritte binomische Formel verwenden.

Die dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel benötigst du, wenn du zwei Binome multiplizieren möchtest: $(a+b)\cdot(a-b)=a^{2} -b^{2}$.

Was ist eigentlich ein Binom?

Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome. Monome sind eingliedrige Terme wie zum Beispiel $7y$ oder auch eine Zahl $13$. Ein Monom ist also ein Produkt. Dieses besteht aus einem Koeffizienten, sowie einer Potenz mit einer Variablen als Basis.

Die Terme, welche in der dritten binomischen Formel multipliziert werden, $a+b$ sowie $a-b$ werden als Binome bezeichnet.

Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Multiplikation durchführen, wenn einer der Faktoren eine Summe ist.

Formal lautet das Distributivgesetz wie folgt: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Die linke Seite der Gleichung sagt aus, dass du zuerst die Summe von $b$ und $c$ bildest und das Ergebnis mit $a$ multiplizierst. Bei der rechte Seite multiplizierst du die Faktoren zuerst und addierst du die Produkte miteinander. Das Gleichheitszeichen sagt dir, dass das Ergebnis das Gleiche ist.

Herleitung der dritten binomischen Formel

Du kannst die dritte binomische Formel durch Ausmultiplizieren herleiten. Ebenso kannst du diese anschaulich erklären.

Rechnerische Herleitung der dritten binomischen Formel

Du weißt bereits, wie du das Produkt $(a+b)\cdot (a-b)$ mit Hilfe des Distributivgesetzes ausrechnest:

$\begin{array}{rcl} (a+b)\cdot (a-b)&=&(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b\\\ &=&a\cdot a+b\cdot a-a\cdot b-b\cdot b\\\ &=&a^2-ab+ab-b^2\\\ &=&a^2-b^2 \end{array}$

Nun ist es sehr aufwändig, jedes Mal so zu rechnen. Deshalb verwendest du die dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Anschauliche Herleitung der dritten binomischen Formel

Du kannst die dritte binomische Formel auch anschaulich erklären:

Du startest mit einem Rechteck mit den Seitenlängen $a+b$ und $a-b$. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt $(a+b)\cdot (a-b)$. Dies ist die linke Seite der dritten binomischen Formel.

3038_3.bF_1.jpg

Das grüne Rechteck rechts wird ausgeschnitten und oben an das Ausgangsrechteck angefügt.

3038_3.bF_2.jpg

Wenn du nun noch das orange Quadrat mit dem Flächeninhalt $b^{2}$ zufügst, erhältst du ein Quadrat mit den Seitenlängen $a$ und dem Flächeninhalt $a^{2}$.

3038_3.bF_3.jpg

Gesamt gilt dann $a^2=(a+b)\cdot (a-b)+b^2$. Subtrahiere nun auf beiden Seiten $b^2$. Dies führt zu $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

Anwendungsaufgaben der 3. binomischen Formel

Wenn du die Summe zweier Monome mit der Differenz dieser beiden Monome multiplizieren sollst, verwendest du die dritte binomische Formel.

3. binomische Formel Einstiegsbeispiel

Schau dir dieses Produkt an: $(4x+5z)\cdot (4x-5z)$

  • Hier spielt $4x$ die Rolle von $a$ und $5z$ die von $b$.
  • Du erhältst somit $(4x+5z)\cdot (4x-5z)=(4x)^2-(5z)^2$.
  • Beachte, dass du beim Quadrieren von Produkten jeden Faktor quadrieren musst:
  • $(4x+5z)\cdot (4x-5z)=16x^2-25z^2$

3. binomische Formel zur Bestimmung des Produktes zweier Zahlen

Du kannst die dritte binomische Formel auch verwenden um das Produkt zweier Zahlen zu berechnen:

  • $53\cdot 47=(50+3)\cdot (50-3)$
  • Du kannst nun die dritte binomische Formel anwenden: $(50+3)\cdot (50-3)=50^2-3^2=2500-9=2491$

3. binomische Formel in umgekehrten Reihenfolge

Du kannst die dritte binomische Formel auch in der umgekehrten Reihenfolge anwenden. Du erkennst die rechte Seite der dritten binomischen Formel daran, dass dort die Differenz zweier Quadrate steht. Lass uns dies einmal an dem Term $25x^2-16a^2$ üben.

  • Erkennst du bereits die rechte Seite der dritten binomischen Formel?
  • Schreibe $25x^2=(5x)^2$ sowie $16a^2=(4a)^2$.
  • Damit ist $25x^2-16a^2=(5x)^2-(4a)^2$.
  • Jetzt kannst die dritte binomische Formel anwenden: $5x$ spielt die Rolle von $a$ und $4a$ die von $b$.
  • $25x^2-16a^2=(5x)^2-(4a)^2=(5x+4a)\cdot(5x-4a)$

Gesamt erhältst du schließlich $25x^2-16a^2=(5x+4a)\cdot(5x-4a)$.

Brüche kürzen mit der 3. binomischen Formel

Schau dir den Bruch $\frac{x(5x+4a)}{25x^2-16a^2}$ an. Wenn du den Nennerterm faktorisierst, kannst du den Bruch zu kürzen:

Beachte, dass $x\neq \pm\frac{4}{5}a$ sein muss. Andernfalls würde der Nennerterm den Wert $0$ annehmen und du weißt sicher, dass du durch $0$ nicht dividieren darfst.

  • Forme den Nennerterm um: $25x^2-16a^2=(5x+4a)\cdot (5x-4a)$
  • Damit ist $\frac{x(5x+4a)}{25x^2-16a^2}=\frac{x(5x+4a)}{(5x+4a)\cdot (5x-4a)}$.
  • Nun siehst du, dass das Binom $5x+4a$ sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm als Faktor auftaucht. Das bedeutet, dass du diesen kürzen kannst:
  • $\frac{x(5x+4a)}{25x^2-16a^2}=\frac{x(5x+4a)}{(5x+4a)\cdot (5x-4a)}=\frac{x}{5x-4a}$

Die binomischen Formeln

Hier siehst du die drei binomischen Formeln im Überblick:

Zusammenfassung binomische Formeln

Unterschiede der binomischen Formeln

Schau dir die jeweils linken Seiten an:

  • Bei der ersten binomischen Formel steht dort das Quadrat einer Summe.
  • Bei der zweiten binomischen Formel steht dort das Quadrat einer Differenz.
  • Bei der dritten binomischen Formel werden eine Summe und eine Differenz mit den gleichen Monomen multipliziert.

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3. binomische Formel (1 Video)

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