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2. binomische Formel

Du sollst eine Differenz quadrieren. Dafür kannst du das Distributivgesetz verwenden. Doch schneller geht das mit der zweiten binomischen Formel.

Die zweite binomische Formel

Unter Verwendung der zweiten binomischen Formel kannst du das Quadrat einer Differenz berechnen: $(a-b)^{2}=a^{2} -2 \cdot a \cdot b +b^{2}$

In der 2.binomischen Formel werden Binome quadriert. Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome. Ein Monom ist ein eingliedriger Term. Monome sind zum Beispiel $3x$ oder $7$. Ein Monom ist also ein Produkt. Dieses besteht aus einem Koeffizienten, sowie einer Potenz mit einer Variablen als Basis. Die Terme in der Klammer $a-b$ werden als Binome bezeichnet.

Das Distributivgesetz definiert, wie eine Multiplikation ausgeführt wird, wenn einer der Faktoren eine Differenz ist. Formal lautet das Distributivgesetz wie folgt: $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

Die linke Seite der Gleichung sagt aus, dass du zuerst die Differenz von $a$ und $b$ bildest und das Ergebnis mit $c$ multiplizierst. Die rechte Seite sagt, dass du zuerst die Faktoren multiplizierst und dann die Produkte subtrahierst. Das Gleichheitszeichen sagt dir, dass das Ergebnis das Gleiche ist.

Im Folgenden wirst du zum einen die Herleitung und zum anderen Anwendungen der zweiten binomischen Formel sehen.

Herleitung der zweiten binomischen Formel

Im folgenden Abschnitt siehst du nun sowohl die rechnerische Herleitung der 2. binomischen Formel mittels Ausmultiplizieren als auch die anschauliche Herleitung.

Rechnerische Herleitung der 2. binomischen Gleichung

Der Term $(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)$ lässt sich mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

$\begin{array}{rcl} (a-b)\cdot (a-b)&=&(a-b)\cdot a-(a-b)\cdot b\\\ &=&a\cdot a-b\cdot a-a\cdot b+b\cdot b\\\ &=&a^2-a\cdot b-a \cdot b+b^2\\\ &=&a^2-2ab+b^{2} \end{array}$

Wenn du jedes Quadrat einer Differenz so berechnest, ist das sehr umständlich.Schneller kannst du die Differenz lösen, wenn du die zweite binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ verwendest.

Anschauliche Herleitung

Du kannst die zweite binomische Formel auch anschaulich erklären.

Hier siehst du ein Quadrat mit $a-b$. Dessen Flächeninhalt beträgt $(a-b)^2$. Das ist die linke Seite der zweiten binomischen Formel.

3039_2.bF_1.jpg

Fügst du diesem Quadrat einige Flächenstücke hinzu, erhältst du dieses bunte Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und dem Flächeninhalt $a^{2}$.

3039_2.b.F_2.jpg

Umgekehrt bedeutet dies, dass du zweimal den Flächeninhalt der Rechtecke, welche du rot und orange gefärbt erkennst, subtrahieren musst, um wieder zu $(a-b)^{2}$ zu gelangen. Du hast dann den Flächeninhalt $b^{2}$ des roten Quadrates einmal zu oft subtrahiert. Deshalb addierst du diesen wieder:

3039_2.b.F_3.jpg

Es gilt also $(a-b)^2=a^2-a\cdot b-b\cdot a+b^2$. Mit dem Kommutativgesetz gilt $a\cdot b=b\cdot a$. Das bedeutet, dass du bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darfst. Nun kannst du weiter zusammenfassen: $(a-b)^2=a^2-2a b+b^2$

Anwendung der zweiten binomischen Formel

Wenn du eine Differenz quadrieren möchtest, verwendest du die zweite binomische Formel. Im folgenden Abschnitt kannst du dein neues Wissen zur zweiten binomischen Formel an Beispielen anwenden.

2. binomische Formel Beispiel 1

Wende die zweite binomische Formel auf $(x-3)^2$ an:

  • Hier spielt $x$ die Rolle von $a$ und $3$ die von $b$.
  • So erhältst du $(x-3)^2=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2$.
  • Dies kannst du noch weiter zusammenfassen zu $(x-3)^2=x^2-6x+9$.

Beachte, dass $3$ die Rolle von $b$ spielt und nicht $-3$. Wenn du $-3$ betrachtest, kannst du die erste binomische Formel anwenden.

2. binomische Formel Beispiel 2

Du kannst die zweite binomische Formel auch verwenden um Quadrate von Zahlen zu berechnen:

  • $999^2=(1000-1)^2$
  • Du kannst nun die zweite binomische Formel anwenden: $(1000-1)^2=1000^2-2\cdot 1000\cdot 1+1^2=1000000-2000+1=998001$

2. binomische Formel Beispiel 3

Schließlich kannst du die zweite binomische Formel auch in der umgekehrten Reihenfolge anwenden. Lass uns dies einmal an dem Term $25x^2-30x+9$ üben.

  • Erkennst du bereits die rechte Seite der zweiten binomischen Formel?
  • Schreibe $25x^2=(5x)^2$ sowie $9=3^2$.
  • Damit ist $25x^2-30x+9=(5x)^2-30x+3^2$.
  • Nun kannst du noch den mittleren Term umformen: $-30x=-2\cdot (5x)\cdot 3$
  • Schon kannst du die zweite binomische Formel anwenden: $5x$ spielt die Rolle von $a$ und $3$ die von $b$.
  • $(5x)^2-2\cdot (5x)\cdot 3+9^2=(5x-3)^2$

Gesamt erhältst du schließlich $25x^2-30x+9=(5x-3)^2$.

Brüche kürzen mit der 2. binomischen Formel

Hierfür verwendest du den Term aus Beispiel 3, um in einem Bruch zu kürzen: $\frac{x(5x-3)}{25x^2-30x+9}$

Beachte, dass $x\neq \frac35$ sein muss. Für $\frac35$ nimmt der Nennerterm den Wert $0$ an. Die Division durch $0$ ist nicht erlaubt.

  • Forme den Nennerterm um: $25x^2-30x+9=(5x-3)^2$
  • Damit ist $\frac{x(5x-3)}{25x^2-30x+9}=\frac{x(5x-3)}{(5x-3)^2}$.
  • Nun siehst du, dass das Binom $5x-3$ sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm als Faktor auftaucht. Das bedeutet, dass du dies kürzen kannst:
  • $\frac{x(5x-3)}{25x^2-30x+9}=\frac{x(5x-3)}{(5x-3)^2}=\frac{x}{5x-3}$

Die binomischen Formeln

Hier siehst du die drei binomischen Formeln im Überblick:

Unterschiede der binomischen Formeln

Schau dir zunächst die jeweils linken Seiten an:

  • Bei der ersten binomischen Formel steht dort das Quadrat einer Summe.
  • Bei der zweiten binomischen Formel steht dort das Quadrat einer Differenz.
  • Bei der dritten binomischen Formel werden eine Summe und eine Differenz mit den gleichen Monomen multipliziert.

Wie rechnest du, wenn der Exponent größer ist als 2?

Du kannst auch solche Terme $(a-b)^n$ umformen, wenn $n>2$ ist. Lass uns dies einmal für $n=3$ machen.

$\begin{array}{rclll} (a-b)^3&=&(a-b)^2\cdot (a-b)&|&\text{2. binomische Formel}\\\ &=&(a^2-2ab+b^2)\cdot (a-b)\\\ &=&a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3\\\ &=&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{array}$

Das Pascal'sche Dreieck

Das Pascal'sche Dreieck ist wie folgt aufgebaut:

  • Es beginnt an der Spitze mit einer $1$.
  • Darunter, in der zweiten Zeile, folgen versetzt zwei weitere $1$-en.
  • In der dritten Zeile und jeder folgenden stehen links und rechts jeweils eine $1$. Die Zahlen dazwischen ergeben sich als Summe der beiden Zahlen darüber:

946_Pascal'sches_Dreieck.jpg

Das Schöne an diesem Dreieck ist, dass sich darin die Koeffizienten der Terme in der binomischen Formel verbergen:

  • In der dritten Zeile findest du die Zahlen $1$; $2$ und $1$. Dies sind die Koeffizienten in der zweiten binomischen Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Den Faktor $1$ vor $a^2$ und $b^2$ schreibst du nicht hin. Das erste Vorzeichen ist $+$ und dann wechselt dieses Vorzeichen immer.
  • In der vierten Zeile findest du die Zahlen $1$; $3$; $3$ und $1$. Das sind die Koeffizienten bei der Formel $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Du kannst erkennen, dass der Exponent der Potenzen mit $a$ als Basis von $3$ über $2$ zu $1$ und schließlich $0$ fällt. Der Exponent der Potenzen mit $b$ als Basis beginnt mit $0$ und wächst über $1$ und $2$ zu $3$. Das Vorzeichen ändert sich immer.

Abschließend kannst du noch die Formel für $(a-b)^4$ aufschreiben:

$\begin{array}{rcl} (a-b)^4&=&1\cdot a^4b^0-4\cdot a^3b^1+6\cdot a^2b^2-4\cdot a^1b^3+1\cdot a^0b^1\\\ &=&a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{array}$

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