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Linearkombinationen, kollineare und komplanare Vektoren

Du kannst Vektoren mit Zahlen multiplizieren und die Produkte addieren. So erhältst du wieder einen Vektor.

Einführung Linearkombination?

Hier lernst du, was du unter einer Linearkombination verstehst. Darüber hinaus erfährst du den Zusammenhang zwischen dem Begriff der Linearkombination, sowie der linearen Abhängigkeit und der Komplanarität beziehungsweise der Kollinearität von Vektoren.

Ein Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ist in der Mathematik ein Objekt, das zu seinesgleichen addiert und mit Zahlen (allgemein mit Skalaren) multipliziert werden kann. Ein Vektor, der zwei Punkte miteinander verbindet, wird als Verbindungsvektor bezeichnet.

Kommen wir nun zu dem Begriff der Linearkombination von Vektoren. Dies ist die Summe von Vielfachen dieser Vektoren. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.

Die Darstellung eines Vektors mit Hilfe eines anderen Vektors und eines Skalars ist das „kleinste“ Beispiel für eine Linearkombination. Hier siehst du ein Beispiel für eine solche Linearkombination:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix}=3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

Der linke der beiden Vektoren lässt sich also durch den rechten kombiniert mit dem Skalar $3$ darstellen.

Der Begriff der Linearkombination kann noch weiter verallgemeinert werden. Dies schauen wir uns einmal im Zweidimensionalen am Beispiel der Linearkombination zweier Vektoren an. Ein Vektors kann durch zwei andere Vektoren mittels einer Linearkombination dargestellt werden. Dafür werden die beiden Vektoren jeweils mit einem Skalar kombiniert und die daraus entstehenden Vektoren werden addiert. Auf diese Weise entsteht wieder ein Vektor.

$2\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}$

1156_LK_2Vektoren.jpg

In dem Bild erkennst du das Zweifache des ersten Vektors (rot) und dazu addiert den zweiten Vektor (grün). Diese beiden Vektoren erreichen den gleichen Punkt wie der blaue Vektor, das Ergebnis der Linerarkombination.

Am Beispiel dreier Vektoren sieht das so aus. Gegeben seien die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$. Dann ist eine Linearkombination dieser Vektoren wie folgt gegeben:

$\vec d=r\cdot \vec a+s\cdot \vec b+t\cdot \vec c$

Dabei ist $r\cdot \vec a$ das Ergebnis der skalaren Multiplikation des Vektors $\vec a$ mit dem Skalar $r$. Hierfür multiplizierst du jede Koordinate des Vektors $\vec a$ mit dem Skalar $r$.

Schau dir dazu ein Beispiel mit folgenden Vektoren an:

$\vec a=\begin{pmatrix} 5 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix},~\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix}\text{und}~\vec c=\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\ 5 \end{pmatrix}$

Dann ist der Vektor $\vec d=2\cdot\vec a+3\cdot\vec b-\vec c$ eine Linearkombination dieser Vektoren.

$\vec d=2\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ 10\\ -9 \end{pmatrix}$

Kollinearität

Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sich einer der beiden Vektoren als Linearkombination, also als Vielfaches des anderen Vektors schreiben lässt.

Kollinearität anschaulich

Wenn zwei Vektoren kollinear zueinander sind, verlaufen sie parallel zueinander.

1156_Kollinearität.jpg

Der rote und der blaue Vektor sind kollinear zueinander. Im Folgenden siehst du, wie du rechnerisch nachweisen kannst, dass zwei Vektoren kollinear zueinander sind.

Kollinearität rechnerisch

Hier siehst du am Beispiel zweier Vektoren im Raum, wie du diese auf Kollinearität untersuchst:

$\vec a=\begin{pmatrix} 9 \\ 6\\ 12 \end{pmatrix}~\text{und}~\vec b=\begin{pmatrix} -6 \\ -4\\ -8 \end{pmatrix}$

Du musst also ein Skalar $r$ finden, so dass der linke der beiden Vektoren als Kombination des rechten Vektors sowie dieses Skalars darstellbar ist. Du löst also das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{pmatrix} 9 \\ 6\\ 12 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -4\\ -8 \end{pmatrix}$

Damit ist:

  • $9=-6r$, also $r=-\frac96=-\frac32$
  • $6=-4r$, also $r=-\frac64=-\frac32$
  • $12=-8r$, also $r=-\frac{12}8=-\frac32$

Die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind somit kollinear.

Komplanarität

Drei Vektoren heißen komplanar, einer der Vektoren sich durch die anderen beiden Vektoren als Linearkombination darstellen lässt.

1156_Komplanarität.jpg

Die folgenden Vektoren sollen auf Komplanarität untersucht werden:

$\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix},~\vec b=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}~\text{und}~\vec c=\begin{pmatrix} 7 \\ 3\\ -4 \end{pmatrix}$

Dies führt zu dem linearen Gleichungssystem

$\begin{pmatrix} 7 \\ 3\\ -4 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

  • Die zweite Gleichung lautet $3=r$.
  • Setze dieses $r$ in die erste Gleichung ein $7=3+2s$. Subtrahiere $3$ und dividiere anschließend durch $2$. So erhältst du $s=2$.
  • Führe die Probe mit der verbleibenden Gleichung durch: $-4=3\cdot (-2)+1\cdot 2$ ✓

Da das lineare Gleichungssystem lösbar ist, kannst du nun folgern, dass die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ komplanar sind.

Zusammenhang von linearer Abhängigkeit, Kollinearität und Komplanarität

Die Kollinearität und die Komplanarität können auch mit der linearen Abhängigkeit erklärt werden.

Die Vektoren $\vec v_1$, ..., $\vec v_n$ heißen linear abhängig, wenn das lineare Gleichungssystem

$k_1\cdot \vec v_1+...+k_n\cdot \vec v_n=\vec 0$

eine Lösung besitzt, welche nicht $k_1=...=k_n=0$ ist. Andernfalls, das heißt es gibt nur die Lösung $k_1=...=k_n=0$, heißen die Vektoren linear unabhängig.

Im Folgenden sei (mindestens!) $k_1\neq 0$. Forme das Gleichungssystem nach dem Vektor $\vec v_1$ um. So erhältst du

$\vec v_1=-\frac{k_2}{k_1}\vec v_2-...-\frac{k_n}{k_1}\cdot \vec v_n$

Der Vektor $\vec v_1$ lässt sich also als Linearkombination der Vektoren $\vec v_2$, ..., $\vec v_n$ darstellen.

  • Für den Fall $n=2$ entspricht dies der Definition der Kollinearität.
  • Für $n=3$ entspricht dies der Definition der Komplanarität.

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