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Strecken teilen

Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt und damit auch eine Länge. Diese kannst du aufteilen.

Was sind Strecken?

Eine Srecke ist die geradlinige Verbindung zwischen zwei Punkten. Eine Strecke hat also einen Anfangspunkt (hier zum Beispiel $A$) und einen Endpunkt ($B$). Eine Strecke wird mit den beiden Punkten und einem Strich darüber, also $\overline{AB}$ beschrieben.

Die Orientierung der Strecke kann auch anders herum sein. Dann ist $B$ der Anfangs- und $A$ der Endpunkt.

3030_Strecke.jpg

Du kannst die Länge einer Strecke messen. Hierfür verwendest du ein Lineal oder ein Geodreieck. Wenn du eine Strecke teilen sollst, teilst du also die Länge der Strecke. Wie das geht siehst du im Folgenden.

Strecken in gleiche Teile teilen

Zunächst schauen wir uns an, wie du Strecken in gleiche Teile teilen kannst. Du siehst hier, wie du eine Strecke in $4$ gleich große Teile teilen kannst. Du gehst wie folgt vor

  • Zeichne ausgehend von einem Endpunkt der Strecke (im folgenden Bild ist dies $A$) einen Hilfsstrahl. Dieser muss mit der Strecke einen spitzen Winkel einschließen.
  • Schätze ungefähr ein Viertel der Länge der Strecke ab. Stelle einen Zirkel auf diese geschätzte Größe ein. Nun zeichnest du um $A$ einen Kreisbogen mit dem Zirkel. Dieser Kreisbogen schneidet den Hilfsstrahl.
  • Zeichne um diesen Schnittpunkt wieder einen Kreisbogen mit dem gleichen Radius. Auch dieser schneidet den Hilfsstrahl.
  • Fahre so fort, bis du $4$ gleich große Abschnitte auf dem Hilfsstrahl konstruiert hast.
  • Verbinde nun den letzten Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl mit dem anderen Endpunkt der Strecke (im folgenden Bild ist dies $B$).
  • Schließlich verschiebst du diese Verbindung parallel in jeden der drei weiteren Schnittpunkte auf dem Hilfsstrahl. Jede der parallel verschobenen Verbindungen schneidet die Strecke $\overline{AB}$.
  • Die Schnittpunkte der Verbindungslinien mit der Strecke $\overline{AB}$ teilen diese in vier gleiche Teile. Du erhältst auf diese Weise also $4$ gleich große Abschnitte der Strecke $\overline{AB}$.

3030_Strecke_gleich_teilen.jpg

Warum sind diese Abschnitte tatsächlich gleich groß? Mit Hilfe des Strahlensatzes siehst du, dass zu gleich langen Abschnitten auf dem Strahl auch gleich lange Abschnitte auf der Strecke gehören müssen.

Innere und äußere Teilung einer Strecke

Du kannst Strecken auch in einem gegebenen Verhältnis teilen. Dabei wird die innere sowie die äußere Teilung unterschieden.

Strecken in Verhältnisse teilen - innere Teilung

Du sollst eine innere Teilung einer Strecke durchführen. Dabei ist das Teilungsverhältnis gegeben. Schauen wir uns die Strecke $\overline{AB}$ an. Diese Strecke soll im Verhältnis $3:2$ geteilt werden. Das bedeutet: Gesucht ist ein Punkt $P$ auf der Strecke $\overline{AB}$, welcher diese Strecke in dem gegebenen Verhältnis teilt.

  • Zunächst überlegst du dir, wie viele gleich große Teile der Strecke du benötigst: Da das Verhältnis $3:2$ vorgegeben ist, benötigst du einmal $3$ Teilstrecken und einmal $2$. Das sind zusammen $3+2=5$ Teilstrecken.
  • Nun teilst du, wie bereits beschrieben, die Strecke $\overline{AB}$ in $5$ gleich große Abschnitte.
  • Damit der Punkt $P$ die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $3:2$ per innerer Teilung teilt, muss die Strecke $\overline{AP}$ drei und die Strecke $\overline{PB}$ zwei der gleich großen Teilstrecken umfassen.

Die beschriebenen Konstruktionsschritte kannst du folgendem Bild entnehmen.

3030_Strecke_teilen_Verhältnis_(innen).jpg

Strecken in Verhältnisse teilen - äußere Teilung

Ähnlich wie bei der inneren Teilung gehst du auch bei der äußeren Teilung vor: Dieses Mal soll der Punkt $P$ außerhalb der Strecke $\overline{AB}$ liegen, zum Beispiel auf der von $A$ aus gesehen anderen Seite von $B$. Der Punkt $B$ soll die Strecke $\overline{AP}$ in einem gegebenen Verhältnis teilen. Das Vorgehen bei der äußeren Teilung schauen wir uns wieder an dem Teilungsverhältnis $3:2$ an. Die Strecke $\overline{AB}$ entspricht dann $3$ und die Strecke $\overline{BP}$ $2$ gleich großen Teilstrecken.

Du gehst auch hier so vor wie bei der Teilung von Strecken in gleich große Teile.

  • Du teilst hierzu die Strecke $\overline{AB}$ in $3$ gleich große Teilstrecken.
  • Nun verlängerst du sowohl die Strecke $\overline{AB}$ als auch den Hilfsstrahl.
  • Du trägst auf dem Hilfsstrahl noch zweimal einen Kreisbogen ab und zeichnest zwei weitere parallele Verbindungen über $B$ hinaus. So erhältst du den gesuchten Punkt $P$.

3030_Strecke_teilen_Verhältnis_(außen).jpg

Harmonische Teilung einer Strecke

Eine harmonische Teilung der Strecke $\overline{AB}$ ist gegeben, wenn der Punkt $S$ die Strecke innen im gleichen Verhältnis teilt, wie der Punkt $T$ außen. Du suchst also nach $4$ Punkten, in der Reihenfolge $A$, $S$, $B$ und $T$, auf einer Geraden. Diese $4$ Punkte sollen die folgenden Teilungsverhältnisse erfüllen:

$\overline{AS}:\overline{SB}=\overline{AB}:\overline{BT}$

In dem folgenden Bild gilt die Verhältnisgleichheit $1:1=1$ und $2:2=1$.

3030_harmonische_Teilung.jpg

Den Punkt $S$ auf der Strecke $\overline{AB}$ konstruierst du durch innere und den Punkt $T$ außerhalb durch äußere Teilung.