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Steigung bei proportionalen Funktionen

Die Steigung einer proportionalen Funktion kann rechnerisch und graphisch mithilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden.

Was ist eine Steigung?

Aus proportionalen Zuordnungen erhalten wir lineare Funktionen. Ihre Graphen im Koordinatensystem sind Geraden, die unterschiedlich schräg verlaufen.

Diese Eigenschaft wird durch ihre Steigung beschrieben. Die Steigung lässt sich ablesen, mit Zahlen beschreiben und auch berechnen.

Steigungen bestimmen

Um den Zusammenhang zwischen proportionalen Zuordnungen, linearen Funktionen, Funktionsgraphen und deren Steigungen zu verstehen, schauen wir uns Anwendungsbeispiele an:

Beispiel 1

Rudi befindet sich im All und zerlasert $25$ Asteroiden in zwei Tagen. Seine Mission ist erst erfüllt, wenn er $1000$ Asteroiden abgeschossen hat. Wie viele Tage dauert das?

Wenn wir davon ausgehen, dass Rudi an zwei Tagen durchschnittlich $25$ Asteroiden zerlasert, können wir darauf schließen, dass es an einem Tag durchschnittlich $12,5$ und an vier Tagen $50$ sein werden. Dieser proportionale Zusammenhang lässt sich in einer Tabelle gut zusammenfassen:

Tabelle proportionale Zuordnung

Hier wird deutlich, dass die Zahl der Asteroiden pro Tag um $12,5$ ansteigt. So können wir die eine Größe, nämlich die Anzahl der Asteroiden als Produkt aus der anderen Größe, nämlich Anzahl der Tage und dem Proportionalitätsfaktor $12,5$ wie folgt schreiben:

$\text{Anzahl der Asteroiden} = 12,5\cdot \text{Anzahl der Tage}$

Diese Gleichung stellt eine Funktionsgleichung dar, die wir allgemein wie folgt aufschreiben:

$f(x) = m\cdot x$

Dabei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor, der die Anzahl zerstörter Asteroiden pro Tag angibt. Der Proportionalitätsfaktor $m$ gibt aber auch die Steigung des Funktionsgraphen an. Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Der Graph zu dem betrachteten Beispiel ist im Folgenden abgebildet.

Gerade bei proportionaler Zuordnung

Wir suchen uns einen beliebigen Punkt aus und zählen die Einheiten, die wir nach rechts und nach oben gehen, um den Graphen zu treffen. Gehen wir beispielsweise vom Ursprung aus $2$ Einheiten nach rechts (Tage), so müssen wir $25$ Einheiten nach oben (Asteroiden) nehmen, um auf den Graphen zu treffen. Genauso können wir auch vom Ursprung aus $4$ Einheiten nach rechts und $50$ Einheiten nach oben gehen. Die Steigung können wir aus dem Graphen also wie folgt ablesen:

$m = \frac{\text{Anzahl der Einheiten nach oben}}{\text{Anzahl der Einheiten nach rechts}} = \frac{f(x)}{x}$

Bei Ursprungsgeraden können wir die Steigung $m$ auch direkt an der $y$-Achse an der Stelle $x=1$ ablesen: $m = f(1) = 12,5$.

Steigungsdreieck

Wenn wir die Steigung einer Geraden graphisch bestimmen möchten, müssen wir mit dem Zählen der Einheiten nicht zwingend im Koordinatenursprung starten. Wir können auch einen hierfür günstigen Punkt auf dem Graphen auswählen.

Die Steigung $m$ bestimmen wir durch ein Steigungsdreieck aus zwei beliebigen Punkten $P_{1}(x_{1};y_{1})$ und $P_{2}(x_{2};y_{2})$ des Funktionsgraphen. Wir drücken die Steigung als Quotienten aus den Einheiten entlang der $y$-Achse und den Einheiten entlang der $x$-Achse aus:

$m= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Es spielt keine Rolle, welche zwei Punkte einer Geraden wir in die Steigungsformel einsetzen, das Ergebnis für die Steigung $m$ ist immer das Gleiche. Denn Steigungsdreiecke, die wir entlang derselben Geraden konstruieren, sind immer ähnliche Dreiecke, die in ihren Seitenverhältnissen und Winkeln übereinstimmen.

Steigende Geraden

Nun aber zurück zur ursprünglichen Aufgabenstellung: Es ging darum, wie viele Tage $x$ Rudi im All benötigt, um $1000$ Asteroiden $f(x)$ zu zerschießen. Wir schreiben zunächst unsere Gleichung wie folgt um:

$f(x)=12,5x$

Nun berechnen wir für $f(x)=1000$ den zugehörigen $x$-Wert:

$\begin{array}{llll} f(x) &=& 1000 & \\ 12,5\cdot x &=& 1000 & \vert :12,5 \\ x &=& \frac{1000}{12,5} \\ x &=& 80 \end{array}$

Folglich verbringt Rudi $80$ Tage im All, um $1000$ Asteroiden abzuschießen.

Fallende Geraden

Stellen wir uns zusätzlich die Frage nach Rudis Kaffeevorräten im All, so werden diese von Tag zu Tag weniger. Gehen wir davon aus, dass er durchschnittlich $20$ Tassen Kaffee pro Tag trinkt, lässt sich dies durch eine fallende Gerade (sinkende Vorräte) mit einer entsprechend negativen Steigung ausdrücken:

$m = \frac{\text{Anzahl der Einheiten nach unten}}{\text{Anzahl der Einheiten nach rechts}} = \frac{-20}{1} = -20$

Wir erhalten die Funktionsgleichung $f(x) = -20\cdot x$. Hiermit können wir den Kaffeeverbrauch nach $80$ Tagen durch Einsetzen von $x=80$ berechnen. Es folgt:

$f(80) = -20\cdot 80 = -1600$

Folglich trinkt Rudi in den $80$ Tagen $1600$ Tassen Kaffee. Die beiden entsprechenden Graphen im Koordinatensystem veranschaulichen den Zusammenhang:

steigende und fallende Gerade

Merke: Proportionale Funktionen haben die Form $f(x) = m\cdot x.$ Ihre Graphen sind Geraden und verlaufen durch den Ursprung. Die Steigung $m$ einer Geraden bestimmen wir mithilfe eines Steigungsdreiecks. Für steigende Geraden ist die Steigung $m$ positiv und für fallende Geraden negativ.

Steigungswinkel berechnen

Als Steigungswinkel bezeichnen wir den Winkel zwischen der Geraden und der $x-$Achse.

$0\leq \alpha\lt 180$

Um den Steigungswinkel $\alpha$ zu berechnen, nutzen wir den Tangenssatz für das rechtwinklige Steigungsdreieck und betrachten die Katheten:

$\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Um nun den Steigungswinkel $\alpha$ zu berechnen, bilden wir die Umkehrfunktion zum Tangens, also:

$\arctan (m) = \alpha$

Wir können die Umkehrfunktion aber auch wie folgt schreiben:

$\tan^{-1}(m) = \alpha$

Wird $\alpha\gt 90$, so haben wir mit einer negativen Steigung eine fallende Gerade.